河北省NT20名校联合体2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

11月高二期中考试 数学参考答案 1B【解折】椭圆的标准方程为二+二-1，所以公-1，-分，则c=。-6-分解得 11 2 2,所以椭圆的焦距2c=V万.故选B 2.B【解析】直线2x-y+3=0的一个方向向量为(1,2)，因为直线1与该直线垂直，所以直线 1的一个方向向量与该直线的方向向量垂直，可以取(2，-1).故选B 3C【解折】由愿意可知，因为F码为直径，则∠RP吗=在R△PrE中，=2c,可 得PE,=2csim工=c,PE=2ccos”=√3c.根据椭圆的定义，PE+PF=2a,即 6 6 Bc+c-2aa3c,则椭圆的离心率266-1放法0 2 4.A【解析】设AB=a,AD-b,AA=c,由题意可知4=1，b=2,C=3,且它们两 两夹角均为写即a,c-=(么，c=a,c=写体对角线AC=a+b+c,则4C-(a+b+c a2+b+c2+2a.b+2bc+2ac,代入数据可得 网-+2++2[2xm+233o到}1+449+2f+3+-25 因此体对角线AC,的长度为5.故选A. 5.C【解析】设点A(-2,1)关于x轴的对称点为A'(-2,-1),则光线经x轴反射后所在的直线 经过点A'.易知反射直线的斜率存在，设直线的方程为y+1=k(x+2),即c-y+2k-1=0. 因为该直线与圆C:(x-3)+y2=1相切，所以圆心(3,0)到该直线的距离等于半径1，即 B-0+2-1=1,化简得5k-=V+1两边平方并整理得24k2-10k=0,解得=0（舍 √k2+1 高二数学第1页共14页 去，此时直线为y=-1,与x轴无交点)或k=5 ,此时宜线方程为5x-12y-2=0,令 y=0可得与x轴交点的横坐标为二故选C 】 6.D【解析】设点P(1,1)关于直线x+y-3=0的对称点为2(x,),则线段P9的中点在已 知直线上，且直线PQ与己知直线垂直线段PQ的中点坐标为 x+1%+1 代入直线方程 2’2 得+1+h+1-3=0,即x,+%=4.又直线P吧的斜率为% ,直线x+y-3=0的斜率为 22 x-1 -1,由垂直关系可得×-)=-1，即%1=61，从而6=⅓联立方程5+%=4解 -1 =0, 得x=2,=2,故点0的坐标为(2,2)故选D. 7.C【解析】由题意知，圆C:x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径R=2.圆心C(0,0)到直 线1：xsi6+ycos0+1=0的距离d= =1<2,故当直线AB与直线x-y+2=0 √sin20+cos20 平行时，圆心C(O,0)到直线AB的距离最大，如图所示设线段AB的中点为M,因为 OM⊥AB,所以OM=d=1,所以点M的轨迹为以点C(0,0)为圆心，1为半径的圆，故点 M的轨迹方程为x2+y=1. 6 x-y+2=0 5 4 3 2 3456x 对于x-y+2+x-+2,可理解为交点A,B到直线x-y+2=0的距离和的V2倍，即 x-y+2V2d,x-为+2非V2d,则x-y+2+x,-y+2=√2(d+d).设直线4B 高二数学第2页共14页 的方程为x-y+b=0,则d= =1，解得b=±V2,易知当b=√2时，交点A,B到直 √12+12 线-y12=0的饰离和最大，所以V(d+d,)的最大值为2wM=255:_ √2 4+22.故选C. 8.D【解析】以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设 a=AB= 2，则A(a,0,0),C(0,a,0,B(aa,a),D(00,a).设P(x,y=）,由P4=2PC 得PA=4PC,则(x-a+y2+z2=4x2+(y-a2+z2,整理得动点P的轨迹方程为 (〔-90，其为以a〔a0为球o,半径R= a的球面 3 平面B,CD的一个法向量为n=(1,-l,-1),球心M到平面B,CD,的距离d -a+ 3 3 2V5 32 V1+(-1)2+(-1)月 ，g圆径R-8花 2 代入得，=30 3 则截面面积S=r=10r故选D. 3 9A0D【】6在a上份提影向蛋为8asaa治创日。，计行 ba-1,46,所以设影狗量为君2-小-（合局寻益A正确： 因为a=(1,2,-1),b=（2,-1,1),c=a+b,所以c=(1+2,2-,-1+2),因为c⊥a,所 以ca=0,即(1+22)+2(2-2)+(-1)(-1+2)=0，解得元=6，故B正确； 当元=6时，c=(13,-4,5),其模长为4=V132+(-4)}'+52=√210≠66，故C错误： 高二数学第3页共14页 因为b=（2,-1,1),c·b=35>0,且两向量不共线，所以c与b的夹角为锐角，故D正确 故选ABD 10.ACD【解析】将直线方程变形为m(+y-1)+(2x-y叶4)=0，由x+y-1=0,解得x=-1 2x-y+4=0 y=2, 故直线恒过定点P(-1,2).易知圆C:(x-2)+(y-2)3=18,圆心C(2,2),半径R=3√2. 对于A,因为PC=V(-1-2)?+(2-2)}'=3<32，,所以点P(-1,2)在圆C的内部，则直线1 与圆C必相交，故A正确： 对于B,当m=0时，直线1：2x-+4=0,圆心C(2,2)到直线的距离d=2x2-2+4 V2+(-10 等5，与直线平行且到直线的南离等于2的直线有两条，与圆心C(2,2)的距离分别为 6 4-65+2>35(与圆无交点)和d 65 <3√2（与圆有2个交点），故圆C上有2 5 5 个点到直线的距离等于2，故B错误 6 5 d 3 2 d 4-32-101234576 对于C,设点C到直线的距离为d,根据勾股定理，AB=2√R2-d2,当d最大时，即 1⊥PC时，AB取得最小值，最小值为2VR-PC=2×V8-9=6,故C正确： 高二数学第4页共14页 B 5 3 d P-2 C +R 1012345/6x 对于D,当直线与x轴垂直时，其方程为x=-1,代入圆的方程得(-1-2)+(y-2)=18, 解得)=5或y=-1,散E15),因为3号-1，所以切线斜率为太-1，初线方程 为y-5=1×(x+1),即x-y+6=0,故D正确.故选ACD. y 6 5 4 3 P 21 1- A -4-3-21 0 1234576x 11.ABC【解析】由题意知，圆M:(x-m)2+(y-n)3=1,圆心为M(m,n),半径R=1. 对于A,若m=0,n=2，则圆M:x2+(y-2)2=-1.易知直线的斜率存在，设直线的斜率为 即-y+1一=0因为直线5圆M相切，所以圆心 2 2+1- M(0,2)到直线1的距离d= 2=1,即k+3到=2√k2+1,整理得3k2-6k-5=0,解 Vk2+1 高二数学第5页共14页 得k=6±⑨6 1±26 6 3,故A正确 对于B,因为u⊥v,所以uv=mx1+nx0+1×(-1)=-1=0,解得m=1,故圆心为 M(1,n),不在直线x-y=0上，故B正确： 生+= 对于C,设E(x,y),F(x,),由 4 两式相减得伍一：++ (为)(y+为)=0因为点P)）为F的中点，所以x+x,=1,y+y,=1,代入可 22 得斜车及-式一子此时直线1y人x》即+40：故C正确： ￥-x24 对于D,当m2+n2=0时，m=n=0,圆M:x2+y2=1,圆心为M(0,0),半径R=l,此时 点1)】 22 在圆M内，所以直线I与圆M相交，不符合题意，故D错误.故选ABC 125江【解析】由题可得)：-5x-2N5设直线的倾斜角为x(05a<m.则ma一 5 6 3 3 所以直线的倾斜角为5π 【解析】设向量的基底为AB,AC,AD，AN=1AD(2∈[0,1])，所以 4=-D,丽-M+a=-D+=-D+,丽+4C),所以a.-(而列 [40+4-Ac4-2--号子D,当-时，取最小值子当 2=1时，取最大值2，故NA·NM的取值范围是 2 145i-4m2=4(或r-m+1) (第一空2分，第二空3分) 高二数学第6页共14页 【解析】联立直线x=网+1与精圆方程手+y-1,消去x得m+4到+2m心+？-4=0设 A(x,,B(,),由韦达定理得y+为=-2t =4因为∠A0B=,所以 m+4为为=m2+4 OA.OB=xx+y=0.将x=my+t,x2=my2+t代入得，(y+t)(my,+)+2 mm)4=0,代入韦达定理得m+4 t2-4 mt 2mt +t2=0, 解得5-4-4=0即=（m+1)原点0到直线的距离4=一L, 弦长 Vm2+1 48到=+my-又因为f-号m+,且-为-+-4，可得△04B 的面积8---小2m+m+1 .令k=m2+4≥4，则 m2+4 二次函数在u=。处取得最大值S。a=1,在u=二处取 P 得最小值Sn= 放△Q1B面积的取值就围为 15.解：(1)若直线1的斜率为1，且经过点P(0,2),则直线的方程为y=x+2. y=x+2, 联立直线与椭圆方程， +y=1 代入消元得，号++2=1 4 整理得5x2+16x+12=0.… …2分 5’2 设4，)，B(,),由韦达定理得，飞+5=-16， 由弦长公式可得，=任-F名+)广4- …4分 5 (2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0,代入椭圆方程得y=±1，不妨令 A(0,1),B(0,-1),则OAOB=-1≠0，故舍去：…5分 高二数学第7页共14页 y=x+2, 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=x+2,联立 消去y得， +y2=1, (1+4k2）x2+16x+12=0. 由△=(16k)-48(1+42)=64k2-48>0,解得2>3 …7分 4 设4小8（则5斯 12 因为OA.OB=0,所以xx+y=0, 又y,=(+2)(x+2)=kxx+2k(5+x)+4, 所以(1+k2)x2+2k(3+x)+4=0.… …9分 代入韦达定理得(+)1+快+2必， 12 -16k +4=0, 1+4k2 化简得-4k+16=0,解得k2=4,即k=±2（满足△>0）， 因此，直线1的方程为y=2x+2或y=-2x+2,即2x-y+2=0或2x+y-2=0.13分 16解：(1)由题可知，旋转体2为圆台，设其上底面半径为r,下底面半径为r, 则体积为r-2+r7+r)-号x2x+31+3)-2 …2分 母线长1=Vr-)+=√3-1)2+22=22， 表面积为S=S上+S下+S侧=π(2+r2+r1+）=(10+8V2)π. ………4分 (2)因为AD⊥下底面圆周所在平面，所以以D为坐标原点，DC,DA所在直线分别为 y轴、二轴，过点D且垂直于平面ABCD所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，则D(0,0,0),A(0,0,2),B(0,1,2),C(0,3,0),…7分 高二数学第8页共14页 B 动点P在上底面圆周上，其坐标可设为P(cos6,sin8,2),则CP-(cos6,sin0-3,2) 由直线PC与轴4D所成角为，得cos CP.AD -4 1 CPAD Vcos8+(sin6-3)}2+4x22 化简得，cos20+sin6-6sin6+9+4=16,解得sin6=-1， 31 221 所以点P的坐标为 …l0分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,=),由BC=(0,2,-2),BP=± 224 0得 3,30 n·BC=2y-2z=0, -BP=±22x-4v=0令=l,则z=1,x=士2， 3y=0 3 可求得法向量为n=(±v2l,1. …12分 旋转体底面所在平面的一个法向量为m=(0,0,1), 设平面PBC与旋转体底面所成角为B,则cosB= n·m rm V2)+1+121 因此，平面PC与旋转体底面所成角的余弦值为 …15分 2 17.解：(1)圆C1:(x-2)2+(y-2)2=4,圆心C(2,2),半径1=2； 高二数学第9页共14页 圆C2:(x-1)+(y+1)=4,圆心C(1,-1),半径r,=2. 将两圆方程相减，得-2x-6y+6=0,即公共弦所在直线的方程为x+3y-3=0.2分 圆心C(2,2)到直线x+3y-3=0的距离d-2+3×2-3_10 …4分 V√12+32 所以公共弦长为2F-d正=240=V6 …7分 (2)直线1：c-y+b=0,设圆心C(2,2)和C,(1,-1)到直线的距离分别为d41,d 因为A=CD且r=片=2，由勾股定理，得4=d,即2k-2+A_k+1+4, Vk2+1Vk2+1 所以2k-2+b=k+1+b, 10分 两边平方得，(2k-2+b)=(k+1+b),即(2k-2+b+k+1+b)(2k-2+b-k-1-b)=0, 故(3k+2b-1)(k-3)=0.…11分 当k=3时，直线1：3x-y+b=0. 因为直线与圆C,和圆C,相交，所以4=d=6-2+ 2 V32+(1)2 解得-4-210<b<-4+210.…13分 当直线经过点 3时，3×3+b=0,解得6=4，舍去， 22 22 故b的取值范围为(-4-210，-4)U(-4,-4+210) 2 22 不 符合题意，舍去。… …15分 高二数学第10页共14页 18.(1)证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,且BCC平面ABCD, 所以BC⊥平面PAB.…2分 又因为BCC平面PCB,所以平面PCB⊥平面PAB.…4分 (2)解：如图，取AB的中点O,连接PO. A 因为PA=PB=√2，所以PO⊥AB 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PO⊥平面ABCD. 在Rt△POA中，PO=1,得AO=VPA-PO=1,故AB=2.5分 因为矩形ABCD的面积为4√2，所以BC=AD=2√2 以O为坐标原点，直线OB为x轴，过点O且平行于AD的直线为y轴，直线OP为z轴，建 立空间直角坐标系，则A(-1,0,0),C1,2W2,0,D-1,22,0,P(0,0,1). …7分 设平面PD的法向量为n=(xy,由A0=(0,25.0,PA=(←1,0，-1)得m=0即 n·AD=0, 〔--=0取x=1,得n=(仙，0-)， …9分 2W2y=0, 设PE=元PC(0≤≤1)，则E元，22,1-元，故DE=(+1,2W2-2W2,1-元 高二数学第11页共14页 设直线DE与平面PD所成角为9，因为c0sB=2N5 ，所以n0={ …10分 3 DE.n 12 由sin0= DE:WV2V1022-16+103 整理得42+82-5=0，解得元=或元=- (舍去)， ………2分 故点E在线段PC上，且满足PE=1 …13分 PC 2 (3)解：取线段AD的中点M-L,V2,0),则M为以AD为直径的球的球心. 因为AD=2√2，所以球的半径R=√2.… …14分 由(1)知，BC⊥平面PAB,且BC∥AD,故AD⊥平面PAB,即AD⊥PA,作图 如图所示，设PD与半圆交于点E,则截面面积S=S扇形BAw+S△MD E M D 设∠PDA=x,∠EMA=B=2a,则cosx 2V5 3 放c0sB=cos2ax=2cosu-1=亏所以B≈53， 53元.4 故S=S扇形BAM+S△BMD= 3xxxx4 360 5180+5 53元，4 故截得的不规则图形的面积为 …17分 1805 19.（1)解：因为右顶点为N(2,0),所以a=2. 高二数学第12页共14页 又离心率e=S- ,所以C=√5.…2分 a 2 由b2=a2-c2=4-3=1,得b=1, 故椭圆的方程为X十…………4 4 (2)证明：由(1)可知，椭圆上顶点为M(0,1).设直线1：y=kx+1,直线1，：y=kx+1, y=kx+1, 其中k1+k2=1.联立 t? 消去y得，(1+42)x2+8kx=0,解得点A的坐标为 +y2=1, 4 8k1-4k 6分 、1+4k’1+4k2 同理可得点B的坐标为B 8k,1-4 …7分 1+431+4k号 当≠时，直线AB的斜率为=-业=在=，1 …9分 x4-x31-4kk31-4kk3 18k 直线AB的方程为yy⅓=如-》化简整理可得y土44kX+士话 x+ 去分母并展开整理得，(1-4k)1+4)y-(1-4kk)1-4=1+4+8k, 将k=1-k,即飞k=飞-k代入化简(1-4+4)儿(1+4)y-1-4)】=1+4）x+8%, 整理得，（y-x-1)+4k(-y-1)+4(2y-x+16（y-1+16ky+1上0. y-1-x=0, 由于上式对任意满足条件的k恒成立，故有y+1=0,解得 x=-2, y=-1. 2y-x=0, 所以过A,B两点的动直线恒过定点(-2，-1) ………12分 高二数学第13页共14页 (3)证明：设垂直于x轴的动直线的方程为x=t(t>0).分别联立1,1和1,4的方程可得点 C的坐标为(t,kt+1),点D的坐标为(tkt+1).…14分 设H(a)小，因为H为线段CD的中点，则g=1,4-低+)医+)_因++2， 2 2 15分 又因为k+所=1，所以4=+2_1 2+1, 2- …16分 故动点H恒在定直线y=2+1上 …17分 高二数学第14页共14页11月高二期中考试 数学 考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.椭圆2x2+y2=1的焦距为 A.1 B.√2 C.3 D.2 2.已知直线1经过点A(1,2),且与直线2x一y+3=0垂直，则直线1的一个方向 向量是 A.(1,2) B.(2,-1) C.(2,1) D.(1,-2) 3. 已知椭圆C: 2+ 方=1(>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F,F,为直径 的圆与椭圆C在第一象限交于点P,且∠PF,F:=晋，则椭圆C的离心率为 B号 C.√3-1 D.2-√3 4.在平行六面体ABCD一A1B,C1D1中，从顶点A出发的三条棱AB,AD,AA1 的长度分别为1,2,3，且它们两两夹角均为，则体对角线AC1的长度为 A.5 B.√14 C.6 D.2√6 5.光线从点A(一2,1)出发，经x轴反射后与圆C:(x一3)2+y2=1相切，则入射 光线与x轴交点的横坐标为 A B.1 C.5 D. 3 6.已知点P(1,1),则点P关于直线x+y一3=0的对称点Q的坐标为 A.（1,2) B.(3,0) C.(2,1) D.(2,2) 7.已知直线l:xsin0+ycos0+1=0(0∈R),圆C:x2+y2=4,l与C相交于 A(x1y1),B(x2y2)两点，则x1-y1十2+x2-y2十2|的最大值为 A.4+2√3 B.3+2√2 C.4+2J2 D.3+2√3 8.在正方体ABCD-ABCD1中，AB-32,空间中点P满足PA=2PC,则 3√2 平面B,CD1截动点P轨迹的面积为 A号 10π C.3π D. 3 高二数学第1页共4页 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a=(1,2,一1)，b=(2,一1,1)，若c=a十λb,且c⊥a,则下列结 论正确的是 A6在a上的投影向量为百了，》 B.入=6 C.c=6√6 D.c与b的夹角为锐角 10.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+4-m=0(m∈R),圆C:x2+y2-4x 4y一10=0，则下列结论正确的是 A.直线1与圆C相交 B.当m=0时，圆C上有四个点到直线1的距离等于2 C.当直线l与圆C相交于A,B两点时，AB的最小值为6 D.直线l与x轴垂直时，直线l与圆C的交点中位置较上的交点为E,则过点 E且与圆C相切的直线方程是x一y十6=0 1.已知圆M:x2+y2-2mx-2y十m2+n2-1=0,过点P(分，) 的直线1与 圆M相切，椭圆C:之+y2=1,空间向量u=(m,,),=,0,1),则下 列说法正确的是 A.若m=0,n=2,则直线1的斜率为1士2,6 3 B.若u⊥v,则圆M的圆心不在直线x一y=0上 C.若直线l与椭圆C相交于E,F两点，点P为EF中点，则l的方程是x+ y多-0 D.若圆M与椭圆C有且仅有两个公共点，则m2十n2∈[0,9) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线x十√3y+6=0的倾斜角为 13.在正四面体A一BCD中，AB=2,M是BC的中点，N是线段AD(含端点)上 一动点，则NA·NM的取值范围是 高二数学第2页共4页 14.已知椭圆C:+y-1,0为坐标原点，直线x=my+4与椭圆C交于A,B 两点，且∠A0B=5,则2与m2满足的关系式为 ,△OAB面积的 取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 知椭圆C:+y=1,直线1经过点P(0,2)且与椭圆C交于A,B两 (1)若直线1的斜率为1，求弦AB的长； (2)若OA·OB=0(O为坐标原点)，求直线1的方程. 16.(本小题满分15分) 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,CD=3, 以AD所在直线为轴，将梯形ABCD旋转一周得到一个旋转体（记为2），点P为 旋转体上底面圆周上的动点，如图2. D 图1 图2 (1)求旋转体Ω的体积与表面积； (2)当直线PC与旋转体的轴AD所成角为时，求平面PBC与旋转体底面 所成角的余弦值. 高二数学第3页共4页 17.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系中，已知圆C1:x2+y2一4x一4y十4=0，圆C2:x2+y2- 2x+2y一2=0，直线l:y=kx+b. (1)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程及公共弦长； (2)直线1与圆C1相交于A,B两点，与圆C2相交于C,D两点，且AB= CD,若直线/不经过点（号，》，求及的值及对应的的取值范围. 18.(本小题满分17分) 如图，在高为1的四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=√2， 底面ABCD是面积为4√2的矩形 (1)证明：平面PCB⊥平面PAB; (2)若点E在线段PC上，直线DE与平面 PAD所成角的余弦值是3，指出点 E的位置； (3)求以AD为直径的球被侧面PAD截得 的不规则图形的面积. (参考数据：c0s53°≈0.6) B 19.(本小题满分17分) 已知椭圆+ 2=1(ab>0)的离心率为，V(2,0)是椭圆的右顶点， 是椭圆的上顶点，过点M且斜率为k1,k2的直线11,12分别交椭圆于A,B两 点，满足k1十k2=1,y轴右侧且垂直于x轴的动直线13分别交11，l2于C,D 两点，H为线段CD的中点 (1)求椭圆的方程； (2)证明：过A,B两点的动直线恒过定点； (3)证明：动点H在一条定直线上 高二数学第4页共4页