邯郸市永年区第二中学2026-2027学年高二上学期数学期中考试复习专项练习03—椭圆、双曲线的离心率

期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 邯郸市永年区第二中学高二期中考试复习专项练习03 测试范围——椭圆（双曲线）的离心率 一、单选题 1、【人教A版选择性必修一第3.2.2节例3改编】双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】把双曲线的方程化为标准方程．由此可知，实半轴长，虚半轴长；由，故其离心率． 2、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第5题改编】椭圆与更接近于圆的是（ ） A．无法比较 B．椭圆与接近圆的程度一样 C．椭圆 D．椭圆 【答案】D 【详解】因为椭圆的离心率，所以越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆.椭圆，即，其离心率，椭圆的离心率，因为，所以椭圆更接近于圆； 3．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，则，，由轴且是等腰直角三角形得，，故，即，因此的离心率． 4、已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 答案：A 解析：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝.因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝2a或c＝a(舍去)，所以C的离心率e＝＝2. 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，，由椭圆定义可知，，则，，，且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得，即离心率为. 6．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知，双曲线定义和的面积，最后利用双曲线离心率公式计算得到离心率. 【详解】设，双曲线焦点，，由，得，又因为的面积，所以，平方得：，因为在双曲线上，满足，所以，所以 化简得，代入，得：， ，约去得，即,代入得，因此. 7、已知点F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(1,3] C． D． 答案：B 解析：设PF中点为M，双曲线E的左焦点为H，由题意知|OM|＝|PF|，当点P异于双曲线E的右顶点时，连接PH，由三角形中位线性质，可得|PH|＝|PF|，且|PH|－|PF|＝2a，则|PF|＝2a，又因为|HF|＝2c，由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得1＜＜3. 当点P是双曲线E 的右顶点时，|OM|＝a＋，|PF|＝c－a， 由题意得a＋＝c－a，解得＝3.综上，得1<≤3，即1＜e≤3. 8．如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义写出各焦半径，用勾股定理求出m与a的关系，进而得到a,c关系式求出离心率. 【详解】 连接，设，则，，，因为，所以在中，由勾股定理得，即，①在中，由勾股定理得，即，整理得，将代入①式得，整理得，所以离心率. 二、多选题 9、【人教A版选择性必修一习题3.1第4题（3）】焦距是8且离心率等于0.8的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意求出、，再根据，求出，最后根据焦点的位置分类讨论即可； 【详解】根据题意，即，又，所以，因为，所以 若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为．若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为． 10．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求出离心率. 【详解】椭圆的焦距，即，当焦点在轴上时，其短半轴长， 则长半轴长，离心率；当焦点在轴上时，其长半轴长，则离心率，所以椭圆的离心率为或. 11．（2026·河北邯郸·二模）点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的可能取值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】BD 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则，得，解得,的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点，则，即，进一步推导：，得，代入，解得，又，所以. 三、填空题 12、【人教A版选择性必修一习题3.2第7题】求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程 . 【答案】 【分析】根据题意双曲线方程可设为，可得关于a，b的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程. 【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是，，故双曲线方程可设为，又双曲线的离心率，∴，解之得，，故双曲线的方程为. 13、【人教A版选择性必修一习题3.2第12题改编】设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得范围，进而可得的范围，根据椭圆、双曲线离心率的公式，化简整理，即可得答案. 【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则，所以， ,故的取值范围为。 14．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 【答案】或 【分析】先由直线斜率得到的余弦值，结合椭圆定义和已知边长比例，在中用余弦定理求出，再代入离心率公式计算结果. 【详解】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得；根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得，解得或，均满足题意，当时，；当时，. 四、解答题 15．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，求的离心率. 【答案】 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率. 【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以.由直线与的一条渐近线平行可得，所以，又由双曲线定义可得，所以，得，所以.由得，即，整理得，所以，，离心率. 16．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，求椭圆的离心率的取值范围. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且，若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得，则，可得，且，即，可得，可得，所以椭圆的离心率的取值范围是. 17．（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，求C的离心率。 【答案】 【分析】延长交椭圆于点，则与关于原点对称，进而推得，由椭圆定义及勾股定理求得的长度，进一步求出点的坐标，代入椭圆方程化简可得离心率. 【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知， 由椭圆的对称性可知，，， 因为，所以，所以， 设，则，所以， 则，即，解得， 所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为， 则，所以，即， 由得，所以的离心率 18．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，求椭圆的离心率． 【答案】 【分析】利用向量共线定比分点公式求出点坐标，结合中垂线性质建立参数关系，最后代入椭圆方程求解离心率. 【详解】设（），由得， 整理得.因的中垂线过点，故，即. 即.化简得，解得. 从而点的纵坐标平方为，横坐标平方为.将点坐标代入椭圆方程，得.两边同乘并利用及变形得.令，整理得，即.解得或，因，故，即.    19．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，用两种方法求的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线的右顶点， 不妨取渐近线方程为.设，则，. 由，得，整理得.由题意知该关于的方程有解，所以.化简可得，即， 所以，又.所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上.由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即，所以，所以.所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 邯郸市永年区第二中学高二期中考试复习专项练习03 测试范围——椭圆（双曲线）的离心率 一、单选题 1、【人教A版选择性必修一第3.2.2节例3改编】双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第5题改编】椭圆与更接近于圆的是（ ） A．无法比较 B．椭圆与接近圆的程度一样 C．椭圆 D．椭圆 3．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 4、已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7、已知点F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(1,3] C． D． 8．如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9、【人教A版选择性必修一习题3.1第4题（3）】焦距是8且离心率等于0.8的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A． B． C． D． 11．（2026·河北邯郸·二模）点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的可能取值是（   ） A．1 B． C． D．2 三、填空题 12、【人教A版选择性必修一习题3.2第7题】求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程 . 13、【人教A版选择性必修一习题3.2第12题改编】设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为 ． 14．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 四、解答题 15．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，求的离心率. 16．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，求椭圆的离心率的取值范围. 17．（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，求C的离心率。 18．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，求椭圆的离心率． 19．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，用两种方法求的离心率的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $