精品解析：甘肃定西市安定区城区学校联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

安定区城区2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 围棋起源于中国，古代称为“弈”．以下是两位同学的部分对弈图．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合，即可选出正确选项． 【详解】、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，也是轴对称图形，故此选项正确． 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：∵ 方程中的最高次数为1，∴ 不是一元二次方程； B选项： ∵ 方程整理得，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，∴ 是一元二次方程； C选项：∵ 方程的分母含有未知数，∴ 不是一元二次方程； D选项：∵ 方程未限定，当时无二次项，∴ 不是一元二次方程． 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 抛物线为顶点式的形式，其中，， ∴ 顶点坐标为. 5. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数（k是常数且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵正比例函数的图象过原点，当时，正比例函数和反比例函数均过一，三象限，当时，正比例函数和反比例函数均过二，四象限； ∴满足题意的只有选项A的图象. 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7. 对于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解： ∵， ∴图象开口向下，A正确，不符合题意. 由顶点式可知，顶点坐标为，对称轴为直线，故B、C正确，不符合题意. ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴当时，随的增大而减小，D错误，符合题意. 8. 为加强劳动教育，拓宽学生实践渠道，培养学生实践能力，安定区积极规划建设了多处劳动实践基地．我校学生在“开心农场”实践时，准备用总长5米的篱笆，在两面足够长的直角围墙一角，围出一块6平方米的矩形菜地种植作物，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题依托直角墙角围矩形，篱笆只围两条邻边，已知篱笆总长，用含的式子表示另一边，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：矩形一边长为米，篱笆总长5米，则相邻的另一边长为米． 矩形面积等于长乘宽，面积为6平方米， 因此列方程：． 9. 如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为( ) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变，可计算出△ABO的面积为：×4=2 故选D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握比例系数k的几何意义①在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． ②在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 10. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数且）；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象判断系数的符号判断①，对称轴判断②，特殊点结合对称轴和对称性判断③，最值判断④，图象法判断⑤即可. 【详解】解：抛物线的开口向下，故， 对称轴为直线， ∴， ∴；故②错误； ∵抛物线与轴的交点位于正半轴， ∴， ∴；故①正确； 当时，函数有最大值为， ∴（m为实数且）， ∴（m为实数且）；故④正确； ∵抛物线与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，，故③正确； 由图象可知，在2和3之间时，有一部分的函数值小于0，故⑤错误． 综上：正确的是①③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个点关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的一个根为3，则它的另一个根为___________， ___________． 【答案】 ①. 1 ②. 3 【解析】 【分析】设方程的另一个根为未知数，借助一元二次方程根与系数的关系，结合已知根的数值，分别求解未知根与参数的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵ 一元二次方程中，，，， ∴ 两根之和满足， 解得， ∵ 两根之积满足， ∴ 代入，得． 13. 在反比例函数的图象每一条分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是________． 【答案】k＜1 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围． 【详解】由题意可知：k-1＜0， ∴k＜1. 故答案为k＜1． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型． 14. 定西作为全国马铃薯之乡，马铃薯种植面积持续增长：年为万亩，到年达到万亩．设这两年种植面积的年平均增长率相同，则这两年种植面积的年平均增长率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知年马铃薯种植面积为万亩，连续两年按相同年平均增长率增长后年达到万亩，可通过连续增长的数量关系列一元二次方程求解． 【详解】解：设这两年种植面积的年平均增长率为，依题意可得： ， ， ， 或， ，， 种植面积的增长率为正， ． 15. 关于x的二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是_____． 【答案】且##且 【解析】 【分析】二次函数与x轴有两个不同交点，等价于方程有两个不等实数根，也就是其根的判别式，即可得关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：∵关于x的二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不同的解， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次函数与方程之间的关系，解题的关键是函数图象与x轴的交点横坐标就是时的一元二次方程的解． 16. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共5小题，共32分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明） 17. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， 解得，． 18. 已知二次函数； （1）将此解析式化为顶点式； （2）直接写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】（1） （2）当时，随的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式． （2）结合抛物线开口方向与对称轴，确定随增大而增大的的取值范围． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向上． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a、b是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）用根的判别式进行求解； （2）将转化为，用根与系数的关系进行求解，同时验证是否满足（1）． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， ； 【小问2详解】 、b是方程的两个实数根， ，， ， ， ． 经检验，满足，符合题意． 20. 在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在网格中画出关于原点O成中心对称的（点A、B、C的对应点分别为、、），并直接写出、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）作图如下： （2）4 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找到、、三点并写出坐标，然后连接即可； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 21. 近年来，青少年近视患病率持续上升，科学用眼、做好近视防控十分重要．近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； （2）若某同学近视眼镜的镜片为度，求其焦距． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）先设出反比例函数解析式，再把图象上已知点的坐标代入，求出比例系数，确定函数解析式； （2）把度数代入已经求出的函数解析式，解方程求出对应的焦距的值． 【小问1详解】 解：设，代入， ， 解得：， 解析式：； 【小问2详解】 解：将代入解析式， 得， 解得：， 答：若某同学近视眼镜的镜片为度，其焦距为米． 四、解答题（二）（本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明） 22. 如图，在等边中，D为内的一点，，，将绕点A逆时针旋转得，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转得， 是等边三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，从而可得为等边三角形，由等边三角形性质可得出结论； （2）先利用已知证明，再利用含角直角三角形的性质和勾股定理求出求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴由旋转得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点代入一次函数解析式求出纵坐标，再用待定系数法求出反比例函数表达式； （2）先求出点坐标、一次函数与轴交点的坐标，算出的面积，再根据面积关系得到的面积，设出点坐标，利用三角形面积公式列含绝对值的方程求解，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：在上，，故， ， 反比例函数：， 将代入：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：是与轴交点， ， ，， 设， ， ， 解得：或， 或． 24. 2023年，定西宽粉成功注册国家地理标志证明商标，品牌享誉全国、走向世界．某超市销售某品牌定西宽粉，进价为每件20元，当售价为每件25元时，每天可售出250件；据市场调查：售价每上涨1元，每天销量减少10件（每件售价不低于进价）． （1）若超市计划某天销售定西宽粉获利2000元，且为了让顾客得到实惠，售价应定为每件多少元？ （2）当售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）30元 （2）当售价定为每件35元时，每天获得的利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于单件利润乘以销量列方程即可求解，并考虑为了让顾客得到实惠进行取舍； （2）总利润等于单件利润乘以销量列出函数解析式，再根据二次函数最值求解． 【小问1详解】 解：设每件涨价x元，则每件售价元，每天销量件，依题意得： ， 解得， 为了让顾客得到实惠，选，此时售价：元， 答：售价应定为每件元． 【小问2详解】 解：设每件涨价x元，每天获得的利润为w元，依题意得： ， 当时，售价元， 元， 答：当售价定为每件35元时，每天获得的利润最大，最大利润是2250元． 25. 阅读材料： 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，满足，我们称这个方程为“友好方程”，两根叫做一对“友好根”． 根据定义，完成下列问题： （1）判断方程是否是“友好方程”，并说明理由； （2）已知方程的一根是3，且该方程是友好方程，求的值； 【答案】（1）不是友好方程，理由如下： 由题意得， 解得，， ∴， ∴不是友好方程； （2）或1 【解析】 【分析】（1）先求出方程的根，再根据题意判断即可； （2）根据友好方程的定义分为两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程是友好方程， ∴当另一根为时，此时， ∴，， ∴； 当另一根为时，此时， ∴，， ∴， 或1， 综上所述，的值为或1． 26. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为M，求的面积． （3）若点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作于点D，是否存在点P使得最大？若存在，求出点P的坐标及的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的垂线与直线交于，先求出点坐标，直线解析式，再求出点坐标，即可求出的面积； （3）设，过P作轴交于，交轴于点，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，再利用二次函数性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线与直线交于， ∵解析式， ∴顶点 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵过点作轴的垂线与直线交于， ∴点的横坐标为， ∴代入直线的解析式可得到， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在． 设，过P作轴交于，交轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴当时最大，此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安定区城区2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 围棋起源于中国，古代称为“弈”．以下是两位同学的部分对弈图．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数（k是常数且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 7. 对于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 为加强劳动教育，拓宽学生实践渠道，培养学生实践能力，安定区积极规划建设了多处劳动实践基地．我校学生在“开心农场”实践时，准备用总长5米的篱笆，在两面足够长的直角围墙一角，围出一块6平方米的矩形菜地种植作物，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为( ) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 10. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数且）；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标为______． 12. 已知一元二次方程的一个根为3，则它的另一个根为___________， ___________． 13. 在反比例函数的图象每一条分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是________． 14. 定西作为全国马铃薯之乡，马铃薯种植面积持续增长：年为万亩，到年达到万亩．设这两年种植面积的年平均增长率相同，则这两年种植面积的年平均增长率为___________． 15. 关于x的二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是_____． 16. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________． 三、解答题（一）（本大题共5小题，共32分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明） 17. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知二次函数； （1）将此解析式化为顶点式； （2）直接写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a、b是方程的两个实数根，且，求m的值． 20. 在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在网格中画出关于原点O成中心对称的（点A、B、C的对应点分别为、、），并直接写出、、的坐标； （2）求的面积． 21. 近年来，青少年近视患病率持续上升，科学用眼、做好近视防控十分重要．近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； （2）若某同学近视眼镜的镜片为度，求其焦距． 四、解答题（二）（本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明） 22. 如图，在等边中，D为内的一点，，，将绕点A逆时针旋转得，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 24. 2023年，定西宽粉成功注册国家地理标志证明商标，品牌享誉全国、走向世界．某超市销售某品牌定西宽粉，进价为每件20元，当售价为每件25元时，每天可售出250件；据市场调查：售价每上涨1元，每天销量减少10件（每件售价不低于进价）． （1）若超市计划某天销售定西宽粉获利2000元，且为了让顾客得到实惠，售价应定为每件多少元？ （2）当售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润． 25. 阅读材料： 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，满足，我们称这个方程为“友好方程”，两根叫做一对“友好根”． 根据定义，完成下列问题： （1）判断方程是否是“友好方程”，并说明理由； （2）已知方程的一根是3，且该方程是友好方程，求的值； 26. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为M，求的面积． （3）若点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作于点D，是否存在点P使得最大？若存在，求出点P的坐标及的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $