精品解析：甘肃省定西市安定区公园路中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

公园路中学2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若方程是一元二次方程，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 随着的增大先增大后减小 D. 随着的增大先减小后增大 6. 某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A. 20元 B. 45元 C. 50元 D. 70元 7. 以原点为中心，将点逆时针方向旋转，得到的点处标为（　　）． A. B. C. D. 8. 2023年下半年金价为每克452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元，设这两年金价的年平均增长率为x，则列方程为（　　）． A. B. C. D. 9. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6小题，每空3分，共18分． 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 12. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为___________． 13. 点关于原点的对称点的坐标为______． 14. 若一元二次方程的两个根为1和，则___________． 15. 函数，当时，的取值范围________． 16. 如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为________ 三、解答题：本大题共11题，共72分．解答时，应写出必要的文字说明、演算步骤． 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 18. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）当时，的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）写出各顶点的坐标． 20. 将二次函数化为顶点式，并求其顶点坐标和对称轴． 21. 若一元二次方程有实数根，求的取值范围． 22. 已知二次函数的图象过点、、，求该函数的解析式． 23. 用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 24. 已知一元二次方程的两个根为，求的值． 25. 某网店销售一种成本为每件40元的商品，当售价为每件60元时，每月可售出100件，经市场调查发现：售价每降低1元，每月可多售出10件，设每件商品的售价为元（），每月的销售利润为元，求每月销售的最大利润． 26. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长． （1）若鸡场的面积为，求鸡场的长与宽； （2）鸡场的面积能达到吗？请说明理由． 27. 已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C. （1）求A、B、C的坐标； （2）设抛物线的顶点为，求四边形的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公园路中学2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心）逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是中心对称图形，故选项符合题意； C、不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 若方程是一元二次方程，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是熟练应用； 根据一元二次方程的定义，方程最高次项必须为次，且二次项系数不能为． 【详解】解：化简原方程得：， ∵方程为一元二次方程， ∴ 且 ， 由，得 或 ， 又∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为，当时，y取最大值，最大值是5， ∴二次函数图象的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，a＝1，b＝−4，c＝5， ∴Δ＝b2−4ac＝（−4）2−4×5=-4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与b2−4ac有如下关系：当Δ＝b2−4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2−4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2−4ac＜0时，方程无实数根． 5. 二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 随着的增大先增大后减小 D. 随着的增大先减小后增大 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 6. 某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A. 20元 B. 45元 C. 50元 D. 70元 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的最值，首先判断出二次项系数为负，故抛物线开口向下，存在最大值，最大值在顶点处取得，进而求解即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向下， ∵函数的顶点横坐标为， ∴代入，得． ∴最大利润为 45 元． 故选：B． 7. 以原点为中心，将点逆时针方向旋转，得到的点处标为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化一旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．旋转180°相当于关于原点对称，坐标取反．根据旋转的性质，点绕原点旋转180°后，坐标变为原坐标的相反数． 【详解】解：点绕原点逆时针旋转， 新点的坐标为． 故选：C． 8. 2023年下半年金价为每克452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元，设这两年金价的年平均增长率为x，则列方程为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年金价的年平均增长率为x，根据“2023年下半年金价为每克452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元”列方程求解即可． 【详解】设这两年金价的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：A． 9. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握其性质是做题的关键．根据二次函数的图象与系数之间的关系，逐个结论判断即可． 【详解】解：由图象可知， 当时，，即， 故①正确； 二次函数的图象与轴有两个交点， ， 故②错误； 二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线， ，即， 故③正确； 二次函数的图象与轴交于正半轴， 故④正确； 综上，正确的有：①③④，即正确的个数是个． 故选：C 二、填空题：本大题共6小题，每空3分，共18分． 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 12. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象，根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， 得到的函数解析式为． 故答案为：． 13. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 14. 若一元二次方程的两个根为1和，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系为：，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】设方程的两根为 和 ． 由根与系数的关系，得 ，． 代入数值，得 ，， 所以，． 所以． 故答案为 ． 15. 函数，当时，的取值范围________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵二次函数的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0）， ∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：，故答案为． 考点：二次函数与不等式（组）． 16. 如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理；连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可. 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：. 三、解答题：本大题共11题，共72分．解答时，应写出必要的文字说明、演算步骤． 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）运用因式分解法求解； （2）运用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 18. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）当时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将代入计算即可； （2）将代入求解即可． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：当时， ， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 如图， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的作图，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤． （1）由旋转的性质，可得出各顶点的对应点，再顺次连接各对应点即可画出； （2）由（1）即可得出各顶点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转可得，． 20. 将二次函数化为顶点式，并求其顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点式为，顶点坐标为，对称轴为直线． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数一般式，顶点式，顶点坐标的计算，掌握配方法的运用是关键． 运用配方法将一般式化为顶点式，根据顶点式的特点求解即可． 【详解】解： ∴顶点式为，顶点坐标为，对称轴为直线． 21. 若一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列不等式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 22. 已知二次函数的图象过点、、，求该函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 设二次函数解析式为，直接将点、、代入计算即可． 【详解】解：设二次函数解析式为，代入点、、得： ， 解得， 故解析式为． 23. 用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，设矩形一边长为，则另一边长为，利用面积公式建立二次函数，进而求解即可． 【详解】解：设矩形一边长为，则另一边长为． ∴面积， ∵， ∴当时，S有最大值25， ∴ 矩形花圃面积的最大值为． 24. 已知一元二次方程的两个根为，求的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，根据根与系数的关系得到，，再由进行求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，， ∴． 25. 某网店销售一种成本为每件40元的商品，当售价为每件60元时，每月可售出100件，经市场调查发现：售价每降低1元，每月可多售出10件，设每件商品的售价为元（），每月的销售利润为元，求每月销售的最大利润． 【答案】最大利润为2250元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数是解题关键．设每件商品的售价为x元（），则每月的销售量为件，根据利润每件的售价每件的成本销量，列出二次函数求解即可． 【详解】解：设每件商品的售价为x元（），则每月的销售量为件． ∴每月的销售利润， ∵ ∴当时，y取得最大值2250． 答：每月销售的最大利润为2250元． 26. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长． （1）若鸡场的面积为，求鸡场的长与宽； （2）鸡场的面积能达到吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为，宽为 （2）鸡场的面积能达到 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，根据题意列方程． （1）设鸡场垂直于墙的一边的长为x米，然后根据题意可得方程，即可求得x的值，又由墙长，可得即可求解； （2）由（1）的方法列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设鸡场垂直于墙的一边的长为x米，则： ， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ， 答：鸡场的长为，宽为； 【小问2详解】 解：养鸡场面积能达到，理由如下： 由（1）可得， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 故养鸡场面积能达到． 27. 已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C. （1）求A、B、C的坐标； （2）设抛物线的顶点为，求四边形的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）9 （3）存在，点P的坐标为，，， 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点． （1）分别令和，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）先求出故顶点，过点作轴于点，再由即可求解； （3）先求出，然后分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； 【小问2详解】 解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $