精品解析：广东省惠州市实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

惠州市实验中学2025~2026学年高二年级上学期期中考试 （数学）试题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 5. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】应用等差中项的性质得，再由即可得出. 【详解】由题设，而， 所以. 故选：B 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 7. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. | 故选：C 8. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法、联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】双曲线对应，， 设，则， 两式相减并化简得， 由于，所以， 而B选项中，点，对应，所以B选项错误. C选项中，点，对应，所以C选项错误. A选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得，， 所以方程组无解，所以A选项错误. D选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得， ，所以D选项正确. 故选：D 【点睛】关键点睛： 中点坐标与代数运算结合的应用：利用中点坐标公式结合代数运算进行求解，可以有效判断给定点是否为中点，正确设定中点的坐标并代入验证，是解题的关键. 消去法的运用：在代入方程并进行化简时，消去法是确保推导过程严谨的重要方法，通过逐步消去不相关的变量，最终确定符合条件的解. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，合计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求. 9. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 10. 已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线与双曲线仅有一个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】将点的坐标代入双曲线方程，可求出的值，可判断A选项；求出、、的值，结合双曲线的离心率公式可判断B选项；根据双曲线的方程可求出渐近线方程，可判断C选项；将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式可判断D选项. 【详解】双曲线的标准方程为， 对于A选项，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知，双曲线的标准方程为，则，，， 双曲线的离心率为，B错； 对于C选项，双曲线的渐近线方程为，C错； 对于D选项，联立可得，则， 所以直线与双曲线仅有一个交点，D对. 故选：AD. 11. 如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 C. 周长的最小值为12 D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】求解曲线方程后，利用过原点求得，可判断A；联立方程组，结合其解唯一求出k的范围，可判断B；利用基本不等式求解的范围，即可求解周长范围，判断C；根据面积公式，结合正弦函数性质可判断D. 【详解】由定义，即， 即，该曲线过原点，所以， 又，所以，故选项A正确； 故方程为， 所以曲线C的方程为， 直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为， 即时，无解， 故，即实数的取值范围为，故B错误； 由，仅当时等号成立， 此时点P在的垂直平分线上，故点P与原点O重合，不能形成三角形， 所以，所以周长， 等号取不到，故C错误； ， 当且仅当，等号成立，此时点P的纵坐标为， 方程可化为， 令，则方程， 由判别式，可得， 故面积能取到最大值，故D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点与直线平行的直线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程． 【详解】设过点与直线平行的直线方程为， 代入点坐标，得，解得， 所求直线方程为． 故答案为：． 13. 已知数列的前n项和为，则的通项公式是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 不满足，， 故答案为：. 14. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由得，设，，得，，利用椭圆的定义得，，最后利用余弦定理求解，进而求解. 【详解】由题意有：，， 由，所以，设，， 所以，， 由椭圆的定义有：， 所以，， 在中，由余弦定理有①， 在中，由余弦定理有②， 由①②解得：，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【小问1详解】 设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴， ∴ ； 【小问2详解】 由已知， 时，； 时，； 综上. 17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长． 【小问1详解】 依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； 【小问2详解】 由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长． 18. 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 【答案】（1） 因为为直三棱柱，所以， 又D，E，分别为AB，BC的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，且，则， 则，， 由可得，即，且，解得， 设，则，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又，即， 所以点E到平面的距离. 19. 已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点. （i）求直线的斜率； （ii）证明：直线与交于定点. 【答案】（1） （2）（i）2；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题意结合弦长列式求解即可； （2）（i）设，联立方程可得韦达定理，求得，，根据斜率相等运算求解即可；（ⅱ）分析可知直线与的交点即为直线与的交点，求直线的方程运算求解即可. 【小问1详解】 设圆心为， 由题意可得：，整理可得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可知：直线的斜率不为0， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 可知直线， 联立方程，消去x可得， 由题意可知：，即， 且，可得， 同理可得：， 则 ， 因为，则，即， 整理可得， 由题意可知：点不在直线上，则，即， 可得，即，所以直线的斜率； （ii）由（i）可知：，则的中点， 又因为，即，则的中点， 即直线， 由梯形的性质可知：直线与的交点即为直线与的交点， 因为直线的斜率， 则直线， 令可得 ， 即直线与直线的交点为， 所以直线与交于定点. 【点睛】方法点睛：1.过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题.解法：设动直线方程（斜率存在）为由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题.解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 2.求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市实验中学2025~2026学年高二年级上学期期中考试 （数学）试题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，合计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求. 9. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 10. 已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线与双曲线仅有一个交点 11. 如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 C. 周长的最小值为12 D. 面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点与直线平行的直线方程为_____． 13. 已知数列的前n项和为，则的通项公式是__________. 14. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 18. 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 19. 已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点. （i）求直线的斜率； （ii）证明：直线与交于定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $