精品解析：广东清远市清新区第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

2026—2027学年高二第一学期11月月测 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为（ ） A. 1 B. 1.25 C. 2.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出数据的平均值，由方差公式计算方差. 【详解】样本数据的平均数， 方差. 故选：B. 2. 有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中位数是5 B. 上四分位数为6 C. 极差为6 D. 60%分位数为3 【答案】B 【解析】 【详解】将样本数据重新排列得到，，，，，，，， 样本共有七个数据，中位数为第位数，故中位数为， ，因此上四分位数为第六个数，为， 极差， 因为，因此第分位数应为第五个数，为5. 3. 与向量共线的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量. 【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或. 故选：D 4. 已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出在的投影 即可. 【详解】由题可知点到平面的距离即为在的投影， ，， ，， 在的投影为． 故选：B. 【点睛】本题考查向量法求点面距离，属于基础题. 5. 向量，，若，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的公式可求出的值，根据可求出的值，从而可求出的值. 【详解】因为向量，，所以，解得， 所以向量， 因为，所以，所以， 所以的值为. 故选：C. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B. 若，为两个事件，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，满足，则与相互对立 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D. 【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立， 但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，为两个事件，则，故B错误； 对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”， 事件，，两两互斥，但.故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误. 故选：A. 7. 下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若，，则点到直线的距离为 D. 向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据面对称点性质可判断，对于B，利用空间向量判断线面关系即可；对于C，根据向量投影坐标公式，勾股定理求解判断即可；对于D，根据向量投影坐标公式即可判断. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误； 对于B，，所以，则或，故B错误； 对于C，，所以， 则点到直线的距离为，故C正确； 对于D，根据向量投影坐标公式，故D错误. 故选：C 8. 已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的数量积计算即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 所以当时，. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设构成空间的一个基底，下列说法中不正确的是（ ） A. ，，两两共面，但，，不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，不能构成空间的另一个基底 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由基底的定义知，，不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以，，不共面， 所以不存在实数，，使得，故B错误； 对于C，因为是空间一个基底， 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使得，故C正确； 对于D，因为，，不共面，且与平行，与平行，与平行， 所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D错误． 10. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ） A. B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式、互斥及对立事件的定义判断选项即可求解. 【详解】由题意，，故A正确； ，故B错误； 事件A，B可能同时发生，所以事件与不是互斥事件，故C错误； 事件是否发生，不影响事件B发生的概率，所以事件与是相互独立事件，故D正确. 故选：. 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取上一点H，使得，证得四边形为平行四边形，结合空间向量基本定理可知，可判定A正确；当时，得到，得到P的轨迹长度为线段EG的长，可判定B正确；当时，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合，可判定C错误；当时，由，可得，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于A中，取上一点H，使得，连接EH，FH，HB， 可得且，且， 所以四边形和四边形是平行四边形，所以， 所以四边形为平行四边形， 因为，由空间向量基本定理可知，所以在四边形内（或边界上），所以A正确； 对于B中，当时，，所以，即， 所以P在线段EG上，点P的轨迹长度为线段EG的长，所以，所以B正确； 对于C中，当时，可得点P为线段AF的中点， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得， 则，可得， 所以不成立，所以C错误； 对于D中，当时，，分别取的中点， 连接，在线段上，, 由，可得， 平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以， 设，因为，则， 则，代入可得， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，若，则_____________． 【答案】-4 【解析】 【分析】由空间向量共线定理求解. 【详解】解：因为，且， 所以，解得， 故答案为：-4 13. 已知、是相互独立事件，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生，来求交事件概率即可. 【详解】由、是相互独立事件，可得， 因为，， 所以， 故答案为： 14. 已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由空间向量基本定理即可求解. 【详解】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 ，，， ， 又，且， ∴存在非零实数，使得， ，， 或． 【小问2详解】 ，， ， ∵向量与互相垂直， ，解得，故的值为． 16. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； （2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率 【答案】（1），（2） 【解析】 【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个， 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个． 因此所求事件的概率为. （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n， 其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个， 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝ 故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝. 17. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ， ， 所以． 18. 某校高一年级某次测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩．将成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计本次考试的平均分；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）已知样本成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求样本成绩在内的平均数与方差． （3）若采用分层抽样的方法，从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈交流，求这人成绩均在的概率． 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为，，，，，，记两组数据的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】（1）， （2）平均数为，方差为 （3） 【解析】 【分析】（1）由各组频率和为1以及平均数的定义即可求解； （2）由样本成绩在，的频率比求解样本成绩在内的平均数，再由方差公式求解即可； （3）由成绩在与的频率之比为，通过分层抽样随机抽取，求出总的样本空间即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质，得， 解得， 本次考试的平均分为 ． 【小问2详解】 由频率分布直方图，得样本成绩在，的频率比为， 则样本成绩在内的平均数为， 样本成绩在内的方差为． 【小问3详解】 由（2），得成绩在与的频率之比为， 所以人中有人成绩在，记为，，， 有人成绩在，记为，． 设事件“座谈交流的人成绩均在”， 样本空间，共有个等可能的样本点， 事件，共有个样本点， 所以这人成绩均在的概率． 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】（1）证明：由折叠的性质，且两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 故， 故，即； （2） （3）存在，点为的中点 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出两平面的法向量，利用平面夹角向量公式进行求解； （3）设，，利用线面角的夹角公式得到方程，求出，得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然平面的一个法向量为， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 则； 【小问3详解】 动点在线段上，设，， 则， 设直线与平面的夹角为， 则， 由题意得，整理得，解得或（舍去）， 所以，即点为的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高二第一学期11月月测 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为（ ） A. 1 B. 1.25 C. 2.5 D. 4 2. 有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中位数是5 B. 上四分位数为6 C. 极差为6 D. 60%分位数为3 3. 与向量共线的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 5. 向量，，若，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B. 若，为两个事件，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，满足，则与相互对立 7. 下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若，，则点到直线的距离为 D. 向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 8. 已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设构成空间的一个基底，下列说法中不正确的是（ ） A. ，，两两共面，但，，不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，不能构成空间的另一个基底 10. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ） A. B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，若，则_____________． 13. 已知、是相互独立事件，且，，则______． 14. 已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值． 16. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； （2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率 17. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 18. 某校高一年级某次测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩．将成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计本次考试的平均分；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）已知样本成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求样本成绩在内的平均数与方差． （3）若采用分层抽样的方法，从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈交流，求这人成绩均在的概率． 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为，，，，，，记两组数据的样本平均数为，样本方差为，则． 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $