江苏省泰州市泰兴市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋学期九年级期中学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．一元二次方程的一个根为2，则p的值为 A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点O是的外心，若，则的度数为 A． B． C． D． 4．若关于x的方程有实数根，则n的取值范围是 A． B． C． D． 5．大自然中到处可见黄金分割的美．如图是一种海螺，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为 A． B． C． D． 6．如图，中，，，，点D、E分别是、的中点，以为直径的交于点F、G，则的长度为 A． B． C． D． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．若，是方程的两个实数根，则 ▲ ． 8．两个相似三角形的周长比是，则这两个三角形的相似比是 ▲ ． 9．已知的半径是2，若点在外，则的长可能为 ▲ ．（填一个符合条件的数即可） 10．如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为 ▲ ． 甲、乙两组进球数折线统计图 11．某中学举办“定点投篮比赛”，甲、乙两组各选出5名选手组成代表队参加决赛，两组选手进球数如图所示．则 ▲ 组的得分较稳定．（填“甲”或“乙”） 12．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，则 ▲ ． 13．根据下列圆规作图痕迹，仅借助无刻度直尺能找到三角形的重心的图形是 ▲ ．（填序号） 14．如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为 ▲ ． 15．已知5个连续整数的和是，它们的平方和是，且，则的值为 ▲ ． 16．在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） 解方程：（1）； （2）． 18．（本题满分8分） “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，现有甲、乙两人做“石头、剪子、布”游戏，其规则是：甲、乙两人都做出“石头、剪子、布”3种手势中的一种，其中“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同不分胜负．假设甲、乙两人每次都随意且同时做出3种手势中的一种． （1）甲出“石头”的概率为 ▲ ； （2）请用“画树状图”或“列表”的方法，求乙获胜的概率． 19．（本题满分8分） 江苏省首届城市足球联赛爆火，被网民热捧为“苏超联赛”．为积极响应足球热潮，某中学在全校七、八年级学生中开展了足球知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分）进行收集、整理、描述和分析（成绩用x分表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩在C组的有4人，成绩分别是：86，86，88，89． 八年级10名学生的竞赛成绩分别是：85，85，87，97，85，76，88，77，87，88． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.5 a 83 46.05 八年级 85.5 86 b 31.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ▲ ， ▲ ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 20．（本题满分8分） 2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车，常泰两地从“地理相邻”向“经济相融”深度迈进．某超市于今年八月初购进一批商品，八月份销售256件．常泰长江大桥通车后，九、十月该商品十分畅销，销售量持续走高，十月底的销售量达到400件．求九、十这两个月的月平均增长率． 21．（本题满分10分） 如图，已知，点E在的延长线上，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 22．（本题满分10分） 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 23．（本题满分10分） 已知，如图，是的直径，是半径，点在的延长线上，点在上，和交于点．有以下3条信息：①；②；③是的切线． （1）从上面3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论；你选择的条件是： ▲ ，结论是 ▲ ；（填序号） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 24．（本题满分10分） 如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． （1）若，，求的度数； （2）作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 25．（本题满分12分） 综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”． 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，将纸片沿着折叠，点的对应点为点，折痕交于点． 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，继续折叠纸片，使与在同一条直线上，点的对应点为点，折痕交边于点． 问题解决 任务1 在操作一中，试判断与的大小关系 ▲ ； 连接，研究小组通过改变点的位置发现的大小不变，其度数为 ▲ °； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若，，求正方形的边长； 任务3 在操作二中，若，，，求的长． 26．（本题满分14分） 定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． （1）如图1，、是的一组“垂弦”，点A为“垂弦点”， ▲ （填“是”或“不是”）直径； （2）如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； （3）如图3，点D是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （4）如图4，、是的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $2025年秋学期八年级期中学情调查 数学试题 参考答案及评分标准 一、 选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.） 题号 1 4 5 答案 B c C 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.) 7.48.写一个大于2小于8的值即可9.2.5×104 10.40° 11.< 12.213.2214.1-√13 15.8 16.6或10 三、解答题（本大题共有10题，共102分.） 17.(本题满分10分) (1)解原式=-(-1)+(-2)-5 3分 =1-2-5. …4分 =-6… 5分 2)解原式=一4 9÷6.. …8分 3 1 =-二X9× 4 6 …9分 9 10分 8 18.(本题满分8分) (1)解：x2=9 …2分 x=3或x=-3 。。。。。。。。。。。。。 …4分 (2)解：x-1=-3 …6分 .X=-2 …8分 19.（本题满分10分) (1)由题意：(3a-7)+(a+3)=0. …1分 解得：0=1。 …2分 ∴.a+3=4 … 3分 ∴m=(a+3)2=16. .4分 (2)b+4的立方根为2，.b+4=8,.b=4. 。。。。。。。。。。。 6分 :√5<1<V16,.3<Vi<4,c=3.… …8分 ∴.a+3b+c=1+3×4+3=16. …9分 .a+3b十C的平方根是士4.… …10分 20.(本题满分8分) 条件为①②，结论为③或条件为②③，结论为① 2分 条件为①②，结论为③证明： AEIDF,∠A=∠D.… …3分 :BEl/CF,∴∠EBC=∠FCB :∠EBC+∠EBA=180°，∠FCB+∠FCD=180° .∠EBA=∠FCD …4分 在△ABE和△DCF中 「∠A=∠D ∠EBA=∠FCD BE=CF ∴.△ABE≌△DCF, …6分 AB=DC,… …7分 ∴.AB+BC=DC+BC. 即AC=DB :8分 说明：(1)条件为①③，结论为②为假命题，不给分： (2)填“条件为②③，结论为①”证明过程参考给分， 21.(本题满分10分) 解：设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺 由勾股定理得：AC2+B'C2=AB2 x2+52=(x+1)2 …6分 解得x=12 8分 .x+1=13 …9分 答：水深12尺：芦苇长13尺. ..…10分 22.(本题满分10分) (1)如图，点E即为所找的点 4分 A F B E D C (2)∠GEC=∠B+∠1， ∴.∠1=∠GEC-∠B=70°-30°=40° .EGIIAD ∴.∠2=∠1=40° :AD是∠BAC的角平分线， ∴.∠BAC=2∠2=80° :∠BAC+∠B+∠C=180° .∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-80°-30°=70° …10分 说明：本题中(2)问将作图“AF=AG”或“EG∥AD”作为角的计算依据都算正确 23.(本题满分10分) (1)如图，点Q即为所找的格点… …4分 B 图1 图2 (2)方法一：如图1，在网格内构造Rt△ACB和Rt△QDP 由网格可得：BC=PD=2,AC=QD=3,∠C=∠D=90° 易证：Rt△ACB≌△QDP…8分 ∴.∠A=∠PQD .∠1+∠PQD=90° 又∠1=∠2，.∠2+∠A=90° .∠AEQ=90° 即PQ⊥AB .…10分 方法二：如图2，将线段P卫向下平移1个单位向右平移3个单位得到线段BC,连接AC 易求：AB2=32+22=13,BC2=32+22=13,AC2=1P+52=26 .'.AB2+BC2=AC2. .∠ABC=90° …8分 .PQ/BC」 ∴.∠ADP=ABC=90° 即PQ⊥AB …l0分 24.(本题满分10分) (1)证明：“S大正方形=S小正方形+S△， 即(a+b}=c2+4b, 整理得a2+2ab+b2=c2+2ab, 故a2+b2=c2. 5分 （2)45。=Se-Sg六42b=19-7=12, .ab=6 6分 S正方形=S五4Bc0E-2S△，.c2=19-6=13,.c=V13 7分 a2+b2=c2,∴a2+b2=(a+b)}2-2ab=13. .(a+b)2=13+2ab=25. .a+b=5 …9分 ∴C五ARCDE=2a+2b+2c=2(a+b)+2c=10+2V13 10分 25.(本题满分12分) (1)①方法一：如图1，连接CC D B 图1 :∠ACB=90°，D是边AB的中点， :CD=AD=BD=AB】 :∠CDC'=90°」 ∴.∠DCC'+∠C'CD=90° 由图1可知∠ACD+∠DCB=90°. ∴.∠ACC'+∠BCC'=∠AC'D+∠DCB+∠DCC'+∠CCD=I80° ∴.AC/BC.… …4分 方法二：如图2，过点D作DF⊥BC,DF的反向延长交AC于E, E C 2 D 1 图2 DF⊥BC,∠1+∠C=90 :∠1+∠CDC+∠2=180°，又：∠CDC'=90°， ∴.∠1+∠2=90°，.∠2=∠C」 由图1可知∠C'+∠C=90° .∠C'+∠2=90°. ∴.∠CED=90°=∠DFB ∴.AC∥BC 说明：方法二中若过点D分别AC、BC的垂线段，需要证明E、D、F三点共线，否则不给分； LCDC=90 DC-DC-AR=5, .CC2=DC2+DC2=52+52=50. :∠ADB+∠ADC'+∠CDC'+∠BDC=360°，∠ADC'+∠BDC=180°，∠CDC'=90°， ∴.∠ADB=90° 同理：AB2=50 .AB2+CC2=50+50=100. 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 …8分 (2)AB2+CC2的值是定值 方法一：如图3，过点D作DM⊥AB,垂足为M;作DN⊥CC',垂足为N, A 图3 :DM⊥AB,DN⊥CC, .∠AMD=∠DNC'=90°， .DA=DB,DM⊥AB. ∠2=∠ADB, 2 AB=2AM' 月3∠cC.CC-2Cw ∠ADB+∠CDC'=180°， 2+3-ADB+CDC-(4DB+ZCDC)-9 又∠1+∠2=90°，∠1=∠3， 在△AMD和△DNC'中， ∠1=∠3 ∠AMD=∠DNC'. AD=DC :△AMD≌△DNC', .NC'=DM 在Rt△AMD中，AM2+MD2=AD2, .AM2+NC=AD2. AB2+CC2=(2AM）+(2C"W)}2=4(AM2+CW2）=4AD2=100…12分 方法二：思路：△DAB与△DCC'通过旋转其中一个与另一个也能拼成一个与原题中的图1斜边相等的 直角三角形 如图4，延长BD至点P,使DP=BD,连接AP A 图4 易证△DAP≌△DCC,.AP=CC 易得：∠DaP=∠DcC-0P-∠CDC)=90-CDC DB=0w-}D8. ∴.∠BAP=∠DAB+∠DAP -90-AD8+90-CDc =180°-（∠ADB+∠CDC) =180°-5x180° =90° .AB2+AP2 =BP2 ∴.AB2+CC2=BP2=(2BD)2=100 .…12分 26.(本题满分14分) (1)m+n=0或m=-n. …2分 (2)①0'(0,4) 3分 A(-3,7）… …4分 ②p+9=4或其它变形形式… …6分 (3)①D(a,b)在一、三象限角平分线上，.a=b① …7分 D(a,b)在直线0A上，由(2)②可得a+b=4②… …8分 a=b ①、②联立方程组得： a+b=4 a=2 解得 b=2 。。,…” 点D的坐标为(2,2)」 10分 说明：直接写D的坐标不说理给1分 ②△PD卫是等腰直角三角形… …11分 方法一： 过点P作x轴的平行线交直线OA'于点K,则yK=yp=1,由(2)②可得xk=3 ·K的坐标为(3,1) 过点Q作y轴的平行线交直线 同理可求得V的坐标为(1,3) 两条平行线的交点为M(1,1) P、Q在△0OE内， ∴点Q在N的下方， ..Yo<yN, .4-t<3, ∴.t>1. .1<t<4. ·点P在M的右侧， ∴MP=xp-xM=t-1」 N0=yw-yo=3-(4-t)=t-1 ∴.MP=NQ 又MN=yw-yM=3-1=2, MK=xK-xM=3-1=2, ∴.MN=MK ∴△NMK是等腰直角三角形 MK1Ix轴， ∠Dk=∠D0c=∠DN=300c=45. ∴.∠DNK=∠DMP=45°，DN=DM,∠MDQ=90°， 易证△DNQ≌△DMP ∴.DQ=DP,∠NDQ=∠MDP :∠NDQ+∠QDM=90°. ∴.∠MDP+∠QDM=90° 即∠QDP=90° .△PD视是等腰直角三角形…14分 方法二： 过点D作DH⊥直线MP,垂足为H, 过点D作DG⊥直线MQ,垂足为G, 在Rt△DGQ中， DO2=0G2+DG2 =(yo-ye+(xD-x)月 =(4-t-2)2+(2-1)月 =2-4t+5 同理：DP2=t2-4t+5, .DO2=DP2 即DQ=DP, 同理：Qp2=(4-t-1)2+t-1)月 =2t2-8t+10 又D02+Dp2=(-4t+5)+(-4t+5) =2t2-8t+10, .DO2+DP2 OP2 ∴.∠QDP=90° 综上所述：△PD是等腰直角三角形.… .…14分