2027年普通高中数学学业水平合格考考前模拟卷01（全国通用）

2027年数学学业水平合格考考前模拟卷01（全国通用） （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列元素与集合的关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】对于A：是负整数，不属于非负整数集，故，A错误； 对于B：是无限不循环小数，不是整数，不属于整数集，故，B错误； 对于C：是分数，属于有理数集，故，C正确； 对于D：是无理数，不属于有理数集，故，D错误. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故定义域为 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的概念，复数的虚部为，即可求出该复数虚部. 【详解】复数为的虚部为. 4．已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 5．二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【答案】D 【分析】由函数零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，即，解得，， 所以函数的零点是和. 6．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正切型函数的周期定义求解即可. 【详解】由可知最小正周期公式为. 7．已知向量，，且，则（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【详解】由可得，解得，所以. 8．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型即可. 【详解】记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为. 则样本空间为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的概率为. 9．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 10．不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为， 解得， 所以不等式的解集是. 11．已知，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非必要非充分 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合时的解的情况判断条件类型. 【详解】充分性验证： 若，满足，代入正弦函数可得，因此由可以推出，充分性成立， 必要性验证： 已知，若，根据正弦函数在上的取值特征，解得或，即由不能唯一推出，必要性不成立， 综上，是的充分非必要条件. 12．为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从3000名省外游客和2000名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为250的样本.则样本中省外游客的人数为（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【详解】由题意得总人数为，且抽样比为， 可得样本中省外游客的人数为，故C正确. 13．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正弦定理得. 14．已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直， 所以，，， 所以. 所以. 15．已知实数，，，满足，，，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确已知条件，逐个分析选项，利用特值法或性质推导即可. 【详解】对于A：当，，，，此时，并不满足题意； 对于B：，，即，故，B正确； 对于C：，，当，，，，此时，并不满足题意； 对于D: ，，当，，，，此时，并不满足题意； 16．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【详解】作出原图如图，在直观图中，， 则在原图形平行四边形中， 所以原图形的面积为. 17．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得. 又因为，所以，解得. 18．某科技公司对一批新型锂电池的续航时间（单位：小时）进行测试，随机抽取100个电池，其续航时间的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数约为（     ） A．8.2 B．8.3 C．8.5 D．8.6 【答案】C 【分析】根据频率和为1可得，分析可知这组样本数据的分位数在区间内，结合百分位数的定义列式求解即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 因为，， 所以这组样本数据的分位数在区间内，设其为t， 则，解得. 19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，由线面平行的性质得到线线平行，结合边长之间的比例关系得到答案 【详解】连接，与相交于点， 因为四棱锥的底面是平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20．已知函数的对应值如表所示，则等于___________. x 0 1 2 3 4 5 3 6 5 4 2 7 【答案】7 【详解】由表可知，． 21．在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 【答案】/ 【详解】8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011中， 统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组是，共三组， 所以若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为. 22．如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 【答案】166.5 【分析】直接利用百分位数计算公式即可； 【详解】由茎叶图可知共10个数据， ，是整数，第百分位数为第 6 项和第 7 项数据的平均值. 由茎叶图，可知第6项：166；第7项：167. 故第百分位数为. 23．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 三、解答题: 本题共 3 小题， 共 27 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 24．（9分）在中，，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）利用正弦定理求解即可. （2）利用余弦定理求出，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，，所以, 因为，所以,解得： （2）若，由，可得， 所以，即，解得或， 当时，，当时，. 25．（9分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. (1)证明：平面PCD； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）利用正方形对角线交点是中点、是中点，得到是的中位线从而推得，再结合线面平行的判定定理证明平面； （2）由平面得是四棱锥的高，先计算底面正方形的面积，再代入四棱锥体积公式计算体积. 【详解】（1）证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点， ∴ 在中，是中位线，可得 ， ∵ 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得 平面. （2）由平面，得四棱锥的高； 底面是边长为2的正方形，底面积， 因此体积. 26．（9分）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用特殊值求出，再根据奇函数定义验证即可； (2)先分别求出的最小值，通过转化得到，求解即可. 【详解】（1）∵是奇函数，且定义域为，∴，即， 解得，将代入函数得， ，符合奇函数定义，∴. （2）∵，单调递增， ∴在定义域上单调递增，又， ，∴， ∵， ∴令，则， 又，，函数对称轴为， 开口向上，∴， ∵对任意的，总存在， 使得成立，即， 即，∴. 所以实数的取值范围为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年数学学业水平合格考考前模拟卷01（全国通用） （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列元素与集合的关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 5．二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 6．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，且，则（    ） A． B． C．6 D．10 8．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 9．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 10．不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 11．已知，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非必要非充分 12．为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从3000名省外游客和2000名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为250的样本.则样本中省外游客的人数为（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 13．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 15．已知实数，，，满足，，，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 16．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D．12 17．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 18．某科技公司对一批新型锂电池的续航时间（单位：小时）进行测试，随机抽取100个电池，其续航时间的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数约为（     ） A．8.2 B．8.3 C．8.5 D．8.6 19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20．已知函数的对应值如表所示，则等于___________. x 0 1 2 3 4 5 3 6 5 4 2 7 21．在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 22．如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 23．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 三、解答题: 本题共 3 小题， 共 27 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 24．（9分）在中，，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 25．（9分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. (1)证明：平面PCD； (2)求四棱锥的体积. 26．（9分）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $