专题07 立体几何初步（学考真题汇编，全国通用）2027年高中数学

专题07 立体几何初步·参考答案 4类高频考点 目 录 ✅考点一 空间几何体 ✅考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 ✅考点三 直线、平面平行的判定与性质 ✅考点四 直线、平面垂直的判定与性质 考点一 空间几何体（共35题） 1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 13．B 14．C 15．A 16．B 17．D 18．（多选题）ABD 19．（多选题）ABD 20．①②③ 21． 22． 23． 24． 25． 26．锐角 27． 28． 29．直角 30． 31．【详解】 对于①，结合平面几何知识，根据正方形可得；对于②，结合线面平行判定定理可知应选平面；对于③④⑤，结合面面垂直、线面垂直、线线垂直的性质定理求解；对于⑥，结合全等三角形的性质以及需要证明的结论可知. 对于①，侧面为正方形，因此对边平行，故选A. 对于②，根据线面平行判定定理，结合图形可知平面，故选B. 对于③，根据面面垂直性质定理可知，应当为，故选A. 对于④，根据面面垂直性质定理可知,由面面垂直得到线面垂直，故选B. 对于⑤，由线面垂直性质定理可知，由平面可以得到，故选B. 对于⑥，题目要证，因此由全等三角形得到，所以应当选A. 32．【详解】 （1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 33．【详解】 （1）利用线面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三棱锥的体积公式即可求解； （3）过点作于点，由面面垂直的性质定理得平面，进而得，再由线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的定义即可得证. (1)小问详解： 由平面，平面， 所以， 所以异面直线与所成角大小为； (2)小问详解： 由三棱锥的体积为， 所以； (3)小问详解： 略. 34．【详解】 （1）由 平面得高为，正三角形面积公式求底面积，代入柱体体积公式即得； （2）正三角形中；由底面得；两条相交直线确定平面，故平面. (1)小问详解： 已知平面，因此三棱柱的高， 底面是边长为的正三角形，其面积， 三棱柱体积公式为，代入得. (2)小问详解： 略. 35．【详解】 （1）先由平面推出，再结合得到，最后借助线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据棱锥的体积公式即可求得. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 因为平面，所以是三棱锥的高， 所以. 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系（共14题） 1．D 2．D 3．A 4．A 5．A 6．B 7．D 8．B 9．D 10．D 11．A 12．D 13．（多选题）ABD 14．#.2 考点三 直线、平面平行的判定与性质（共5题） 1．C 2．【详解】 （1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 3．【详解】 （1）先证明，然后证明平面. （2）先证明平面，然后证明四边形为直角梯形，用锥体的体积公式计算四棱锥的体积. (1)小问详解： 略. (2)小问详解： 如图所示； 平面，平面，， 又，平面,平面. 平面，平面，， 四边形为直角梯形， ， . 4．【详解】 根据题目条件逐项将证明过程补充完整即可. (1)小问详解： ①线线平行，即，所以选A； ②直线在平面外，即平面，所以选A. 故选：A，A. (2)小问详解： ③等腰三角形底边上“三线合一”，即，所以选A； ④直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选A； ⑤直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面，即平面，所以选B； ⑥直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选B. 故选：A，A，B，B. 5．【详解】 （1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. (1)小问详解： 在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. (2)小问详解： 设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 考点四 直线、平面垂直的判定与性质（共14题） 1．C 2．B 3．B 4．（多选题）AC 5．【详解】 （1）要证明线面平行，需要通过证明线线平行进而得出线面平行，即证明． （2）先证明平面，然后求出的面积，进而根据三棱锥的体积公式求出结果即可. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： ，，， 、平面，平面， 平面． ，平面，平面． ，，，，． ， ． 平面，．． 6．【详解】 （1）根据棱锥体积公式直接计算即可， （2）作，利用面面垂直性质可知平面，再由线面垂直判定定理证明可得结论. (1)小问详解： 因为平面， 所以三棱锥是以为高，为底面积的三棱锥， 其体积为. (2)小问详解： 略 7．【详解】 （1）由线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）作，连接，证得为平面与平面所成角，再求的正切值即可. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 作，连接， ，，, 平面 平面， 又平面, 平面平面， 为平面与平面所成角， 在中，，，， 根据勾股定理可得：， 由三角形面积公式，可得， ， 所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 8．【详解】 （1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 9．【详解】 （1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 10．【详解】 （1）由和得到线面平行，进而得到面面平行； （2）（Ⅰ）先得到⊥，且，⊥，又，所以⊥平面； （Ⅱ）可视作直四棱柱，作出辅助线，求出等腰梯形的面积，利用柱体体积公式进行求解. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： （Ⅰ）略 （Ⅱ）可视作直四棱柱， 其中，， 所以，，故四边形为等腰梯形， 过点分别作⊥，⊥于点， 故，， 由勾股定理得， 故等腰梯形的面积为， 又， 故. 11．【详解】 （1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 12．【详解】 （1）由题可得，，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）由题可得，利用三棱锥的体积公式求解即可. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 因为平面，为中点， 所以到平面的距离为， 因为为的中点， 所以， 所以. 13．【详解】 （1）根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； （2）先求出底面面积，再根据四棱锥的体积公式即可求解. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 设底面的面积为，则， 又因，，所以， 根据四棱锥的体积公式，由题意知, 所以， 所以四棱锥的体积为. 14．【详解】 （1）由平面得出，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，利用是的中位线得，再用线面平行的判定定理即可证明. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何初步 4类高频考点 目 录 ✅考点一 空间几何体 ✅考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 ✅考点三 直线、平面平行的判定与性质 ✅考点四 直线、平面垂直的判定与性质 考点一 空间几何体（共35题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（       ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【详解】 对于AB，由于与相交，，因此直线与直线异面，AB错误， 对于C，若与直线垂直，,平面， 故平面，而平面，故， 这与四棱锥为正四棱锥矛盾，故与直线不可能垂直，C错误， 对于D， 由于与相交，，因此直线与直线异面，D正确， 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 借助体积公式计算即可得. 【详解】 . 3．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】 利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】 因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 利用长方体的结构特征直接判断得解. 【分析】 在长方体中，与平面垂直的棱有、、、，共条. 5．（2025·黑龙江·学业水平合格考）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（       ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】 由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D 6．（2025·辽宁·学业水平合格考）我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题中中点条件得到2个小“阳马”的高度、底面积与“阳马”的高度和底面积的关系，结合棱锥的体积公式得到结果. 【详解】 设底面的面积为，高为h（即的长度），则“阳马”的体积为， 因为分别为、、、的中点，分别为、、、的中点， 所以小“阳马”与的底面都是底面积的，高是“阳马”的高的一半， 因此，每个小阳马的体积为：， 两个小阳马的总体积为：2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 所以2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 故选：C. 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用球的表面积公式求解. 【详解】 依题意，球的表面积为（）. 故选：C 8．（2025·四川·学业水平合格考）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（       ） A．棱柱的侧棱互相平行 B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥 C．正三棱锥的各个面都是正三角形 D．棱台各侧棱所在直线会交于一点 【答案】C 【分析】 根据相应几何体的定义和性质判断即可. 【详解】 根据棱柱的性质可知A正确； 当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确； 正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误； 棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确. 故选：C 9．（2025·湖南·学业水平合格考）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（       ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】 根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】 由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B． 10．（2025·江苏·学业水平合格考）在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】 因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 11．（2025·贵州·学业水平合格考）下列几何体为多面体的是（       ） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 【答案】A 【分析】 由多面体的概念可得结果. 【详解】 由多面体的概念可知，长方体为多面体，圆锥、圆柱、圆台都不是多面体. 故选：A. 12．（2025·贵州·学业水平合格考）已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设上、下两个底面的中心分别为、，连接，则正三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积. 【详解】 设上、下两个底面的中心分别为、，连接， 因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以正三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C. 13．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据球的体积公式计算即可求解. 【详解】 由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 14．（2025·福建·学业水平合格考）已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（       ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 【答案】C 【详解】 设两个球的半径分别为，则. 所以这两个球的表面积比为. 15．（2025·湖北·学业水平合格考）如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（     ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【详解】 由题意正四棱锥的高，， 所以正四棱锥的斜高， 所以 所以这座金字塔的侧面积，故①正确； 所以这座金字塔的体积，故②正确. 16．（2025·山东·学业水平合格考）已知圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作出圆锥的轴截面，根据已知求出圆锥的高，进而根据体积公式即可求解. 【详解】 作出圆锥的轴截面如图， 由已知可得. 在中，. 所以圆锥的体积为. 17．（2025·山东·学业水平合格考）如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（       ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 【答案】D 【详解】 由正方体的展开图，将其还原为正方体后如图所示： 对于A项，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以，故A错误； 对于B项，由图可知四点不共面，故B错误； 对于C项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故C错误； 对于D项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故D正确. 18．（多选题）（2025·浙江·学业水平合格考）用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（       ） A．六边形 B．五边形 C．直角三角形 D．矩形 【答案】ABD 【分析】 根据题意分别用一个平面去截正方体，可对A、B、D判断求解；截面为，假设为直角三角形，可通过计算证明假设不成立，即可对C判断. 【详解】 A：如图，用一个平面去截正方体，截面为六边形，故A正确； B：如图，用一个平面去截正方体，截面为五边形，故B正确； C：如图，截面为，点O为正方体的顶点，在三棱锥中，，，两两垂直， 若为直角三角形，不妨令，则， 因，，，化简得，故矛盾， 则不为直角三角形，故C错误； D：如图，用一个平面去截正方体，截面为矩形，故D正确； 故答案为：ABD. 19．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段，的中点，过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆.（       ） A．圆锥的轴截面面积为 B．沿着该圆锥表面从到的最短距离为 C．圆台的体积为 D．圆台的外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】 圆锥的轴截面为等腰，求之判断A；由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角，由展开图求线段判断B；直接出圆台的体积判断C；设圆台的外接球球心为，且在上，半径为，根据可得的值，从而可解. 【详解】 圆锥的轴截面为等腰， ，A正确； 由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角， 如图为圆锥侧面展开图，接，    可得，，，则，故B正确. 圆台的体积为，C错误； 设圆台的外接球球心为，且在上，半径为， 设，则， 则，解得， 所以， 所以圆台的外接球表面积为，D正确. 故选：ABD 20．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】①②③ 【分析】 由长方体的体积公式和表面积公式即可求解. 【详解】 图1表面积： 图2体积为：，①正确； 图2表面积： ， 图3体积为：，②正确； 图3表面积：， 故图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多： ，正确. 21．（2026·广东·学业水平合格考）已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据圆台的侧面积公式求值. 【详解】 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为. 因为圆台上底面积为，则， 下底面积为，则， 高为1，则， 则圆台的侧面积为． 故答案为： 22．（2026·浙江·学业水平合格考）已知圆锥的底面半径，母线长为2，则该圆锥的侧面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查圆锥的侧面积公式.圆锥的侧面积，其中为底面半径，为母线长，代入数据即可. 【详解】 圆锥的侧面积. 23．（2026·湖南·学业水平合格考）将一个棱长为的正方体铁块切削成一个球体零件，则可能制成的最大零件的体积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据正方体的内切球的性质，结合球的体积公式进行求解即可. 【详解】 由题意可知：该球为正方体的内切球，所以该球的半径为， 所以可能制成的最大零件的体积为. 24．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）某班数学兴趣小组用空间几何体的图案美化教室．图案中有一个球体，它的半径为3cm，则这个球体的体积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由球的体积公式求解即可. 【详解】 设球的体积为，由球的体积公式可得： ， 所以这个球的体积为. 故答案为： 25．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用侧面积与轴截面面积的比值以及勾股定理找出母线长为，圆锥的高为，从而求出母线与底面所成角的正切值. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，母线与底面所成角为， 根据题意，圆锥的侧面积和轴截面面积的比值为， 由侧面积，轴截面面积， 因此，简化得， 由勾股定理得，代入得到， 从而，解得， 由定义知，将代入得： . 故答案为：. 26．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是　　　　　　　　三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【分析】 根据勾股定理可知三角形为等边三角形得解. 【详解】 因为，，两两互相垂直，， 所以， 所以，即是等边三角形， 故答案为：锐角 27．（2025·黑龙江·学业水平合格考）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面，. 故答案为：. 28．（2025·四川·学业水平合格考）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由圆柱的底面积公式、侧面积公式、体积公式可解. 【详解】 设圆柱的底面半径为r，高为h， 由题意可知 ，解得. 所以该圆柱的体积为. 故答案为：. 29．（2025·湖南·学业水平合格考）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是　　　　　三角形． 【答案】直角 【分析】 设，，则，由勾股定理逆定理可得结论. 【详解】 ，设，，则， 故，所以为直角三角形 故答案为：直角 30．（2025·河南·学业水平合格考）设长方体的长、宽、高分别为3，4，5，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据长方体的特征和勾股定理求出外接球半径，然后根据公式求出球的表面积即可. 【详解】 设长方体外接球的直径为， 则根据勾股定理可得. 所以长方体外接球的半径为. 所以长方体外接球的表面积为. 故答案为：. 31．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）阅读下面题目及其解答过程． 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求证：． 证明：（1）因为侧面为正方形，所以          ①          ． 又          ②          ，平面， 所以平面． （2）因为侧面为正方形，所以          ③          ． 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以          ④          ． 又因为平面，所以          ⑤          ． 因为，，，所以． 所以          ⑥          ．所以． 以上题目的解答过程中，设置了①～⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A）平面 （B）平面 ③ （A） （B） ④ （A）平面 （B）平面 ⑤ （A） （B） ⑥ （A） （B） 【答案】①A       ②B       ③A       ④B       ⑤B       ⑥A 【分析】 对于①，结合平面几何知识，根据正方形可得；对于②，结合线面平行判定定理可知应选平面；对于③④⑤，结合面面垂直、线面垂直、线线垂直的性质定理求解；对于⑥，结合全等三角形的性质以及需要证明的结论可知. 【详解】 对于①，侧面为正方形，因此对边平行，故选A. 对于②，根据线面平行判定定理，结合图形可知平面，故选B. 对于③，根据面面垂直性质定理可知，应当为，故选A. 对于④，根据面面垂直性质定理可知,由面面垂直得到线面垂直，故选B. 对于⑤，由线面垂直性质定理可知，由平面可以得到，故选B. 对于⑥，题目要证，因此由全等三角形得到，所以应当选A. 32．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明:因为，，平面，所以平面.     （2）20      【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 33．（2025·贵州·学业水平合格考）如图，在三棱锥中，平面. （1）异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） （2）若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； （3）若平面平面，证明：. 【答案】（1）     （2）     （3）证明:过点作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以. 【分析】 （1）利用线面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三棱锥的体积公式即可求解； （3）过点作于点，由面面垂直的性质定理得平面，进而得，再由线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的定义即可得证. (1)小问详解： 由平面，平面， 所以， 所以异面直线与所成角大小为； (2)小问详解： 由三棱锥的体积为， 所以； (3)小问详解： 略. 34．（2025·福建·学业水平合格考）如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求：    （1）若，求三棱柱体积． （2）若是中点，求证：平面． 【答案】（1）     （2）根据线面垂直的判定定理，只需证明垂直于平面内的两条相交直线.因为是正三角形，是中点，由正三角形三线合一得；又平面，平面，因此.由于，且平面，因此平面.      【分析】 （1）由 平面得高为，正三角形面积公式求底面积，代入柱体体积公式即得； （2）正三角形中；由底面得；两条相交直线确定平面，故平面. (1)小问详解： 已知平面，因此三棱柱的高， 底面是边长为的正三角形，其面积， 三棱柱体积公式为，代入得. (2)小问详解： 略. 35．（2025·湖北·学业水平合格考）如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以；又因为，即，又，平面，所以平面.     （2）      【分析】 （1）先由平面推出，再结合得到，最后借助线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据棱锥的体积公式即可求得. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 因为平面，所以是三棱锥的高， 所以. 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系（共14题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）在空间中，若直线平面，直线平面，则与（       ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【详解】 由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 2．（2026·湖南·学业水平合格考）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取的中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形将异面直线平移至，从而在中求解线线角. 【详解】 取的中点，连接，. 因为为的中点，为的中点， 所以在中，为中位线， 所以且. 又因为在直三棱柱中，且， 且为的中点，即， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以. 所以异面直线与所成的角等于直线与所成的角，即（或其补角）. 因为，所以为等边三角形， 又为的中点， 所以平分， 所以. 故异面直线与所成角的大小为. 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（       ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】 根据空间线面位置关系可得出结论. 【详解】 如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】 根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】 A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）如图，在正方体中，直线与直线（     ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】 由图正方体结构特点及异面直线的定义可得答案. 【详解】 由图知平面，平面，， 根据异面直线的定义，直线与直线异面. 故选：A 6．（2025·浙江·学业水平合格考）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】 解法一：由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立 ，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 解法二：在直三棱柱中，D是的中点，则相似于，所以， 作于F，作交于H，连接BH，如图， 则，， 所以，，， 所以，所以与所成的角的大小为. 故选：B. 7．（2025·陕西·学业水平合格考）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（       ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】 对于ABC，由答案不完备即可判断错误；对于D，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可判断正确. 【详解】 对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，则或相交或，故C错误； 对于D， 如图，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，，且， 所以，，又， 所以，又， 所以，故正确. 故选：D. 8．（2025·河南·学业水平合格考）在正方体中，直线与所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据，可得即为直线与所成角（或其补角），求出的大小即可. 【详解】 因为，所以即为直线与所成角（或其补角）， 在等腰直角三角形中，， 所以直线与所成的角的大小为. 故选：B. 9．（2025·贵州·学业水平合格考）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（       ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【答案】D 【分析】 根据线面、面面位置关系可判断ABC选项；利用线面垂直的性质可判断D选项. 【详解】 对于A选项，若，，则或、异面，A错； 对于B选项，若，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则或、异面或、相交，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）在正方体中，异面直线与所成的角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用正方体的特征计算即可. 【详解】 由正方体的特征可知侧棱垂直于底面， 又底面，所以，即异面直线与所成的角为. 故选：D 11．（2025·福建·学业水平合格考）已知，，，则下列说法错误的是（       ） A．与相交 B．与平行 C．与异面 D．与垂直 【答案】A 【详解】 因为，所以与无公共点， 又因为，，所以与无公共点， 故与不相交，可能平行或异面（异面时两直线也可能垂直）， 12．（2025·福建·学业水平合格考）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】 如图，连接    在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 13．（多选题）（2026·浙江·学业水平合格考）如图所示长方体中，下列结论正确的有（     ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】 本题考查长方体的几何性质，涉及线线垂直、线面平行、线面垂直以及面面平行的判定。利用长方体的结构特征及空间线面关系的判定定理逐一判断即可。 【详解】 在长方体中，侧棱底面，而平面，所以，故选项A正确； 在长方体中，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项B正确； 在长方体中，，平面，平面，故平面， 所以不垂直于平面，故选项C错误； 在长方体中，因为且，所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 同理，由且可知四边形是平行四边形，则， 因为且，所以四边形是平行四边形，故； 又平面，平面，所以平面； 因为，且平面，根据面面平行的判定定理，平面平面，故选项D正确. 14．（2025·湖南·学业水平合格考）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为　　　　　． 【答案】#.2 【分析】 连接，先证明，可得（或其补角）为直线和所成角，进而结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 则异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 考点三 直线、平面平行的判定与性质（共5题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）已知三棱锥，点M为棱的中点，点P在线段上，且，点Q为棱上一点，且平面，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，作中点，连接， 所以的交点为的重心，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，所以； 可知，所以与不共线，没有固定的长度关系. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面； （2）在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】（1）因为底面为正方形，所以.又平面平面，所以平面.     （2）在直线上存在点，使得，证明如下：因为底面为正方形，所以，因为平面，所以，又平面，平面，，所以平面.因为平面，所以.所以当点与点重合时，.      【分析】 （1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 3．（2026·湖南·学业水平合格考）如图，在四棱锥中，，，和都垂直于平面． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1）如图所示； 平面，平面，，又平面，平面，平面.     （2）2      【分析】 （1）先证明，然后证明平面. （2）先证明平面，然后证明四边形为直角梯形，用锥体的体积公式计算四棱锥的体积. (1)小问详解： 略. (2)小问详解： 如图所示； 平面，平面，， 又，平面,平面. 平面，平面，， 四边形为直角梯形， ， . 4．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. （1）求证：平面；    （2）求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A. B. ② A.平面 B.平面 ③ A. B. ④ A. B. ⑤ A.平面 B.平面 ⑥ A. B. 【答案】（1）①A，②A     （2）③A，④A，⑤B，⑥B      【分析】 根据题目条件逐项将证明过程补充完整即可. (1)小问详解： ①线线平行，即，所以选A； ②直线在平面外，即平面，所以选A. 故选：A，A. (2)小问详解： ③等腰三角形底边上“三线合一”，即，所以选A； ④直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选A； ⑤直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面，即平面，所以选B； ⑥直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选B. 故选：A，A，B，B. 5．（2025·湖南·学业水平合格考）如图，在正三棱柱中，为的中点． （1）在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； （2）若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）点 为 的中点；     （2）      【分析】 （1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. (1)小问详解： 在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. (2)小问详解： 设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 考点四 直线、平面垂直的判定与性质（共14题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）已知两个相交平面，二者形成的锐二面角大小为，点A在平面内，，在交线上取一点C，连接，，与所成的角为，求点A到平面的距离（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】 通过作辅助线构建二面角的平面角，将点到平面的距离转化为直角三角形中的边长，利用三角函数关系求解。 【详解】 如图，过点在平面内作，垂足为， 在中，因为与所成的角为，即，且， 所以 过点作平面，垂足为，连接，因为平面，平面， 所以，又因为，，所以平面， 因为平面，所以，故为二面角的平面角， 由题意可知，二面角的大小为，即，在中， ， 所以点到平面的距离 故选：C. 2．（2025·江苏·学业水平合格考）在正方体中，二面角的大小为（     ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】 利用二面角的定义可得结果. 【详解】 如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 3．（2025·江苏·学业水平合格考）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，推导出，求出的长，再利用梯形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】 分别过点、在平面内作，，垂足分别为、， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，故，，， 因为，，，所以， 所以， 因为，由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，故四边形的面积为. 故选：B. 4．（多选题）（2025·湖北·学业水平合格考）下列命题正确的是（       ） A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 【答案】AC 【分析】 对于A，根据线面垂直的定义进行判断；对于B，过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；对于C，由线面垂直的定义判断；对于D，由平行公理得判断． 【详解】 对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A正确；对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行， 在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B不正确；对于C，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；对于D，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D不正确． 故选：AC 5．（2026·广东·学业水平合格考）在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点．    （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明:、分别为、的中点，．∵在直三棱柱中，，．平面，平面，平面．     （2）      【分析】 （1）要证明线面平行，需要通过证明线线平行进而得出线面平行，即证明． （2）先证明平面，然后求出的面积，进而根据三棱锥的体积公式求出结果即可. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： ，，， 、平面，平面， 平面． ，平面，平面． ，，，，． ， ． 平面，．． 6．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）如图，在三棱锥中，平面，平面平面．    （1）若，的面积等于3，求三棱锥的体积； （2）证明：平面． 【答案】（1）3     （2）作交于点，如下图所示：    因为平面平面，且平面平面，又，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面，平面，所以，易知平面，，所以平面.      【分析】 （1）根据棱锥体积公式直接计算即可， （2）作，利用面面垂直性质可知平面，再由线面垂直判定定理证明可得结论. (1)小问详解： 因为平面， 所以三棱锥是以为高，为底面积的三棱锥， 其体积为. (2)小问详解： 略 7．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）如图，三棱锥中，，，，． （1）求证：； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 【答案】（1），,又，且平面平面，又平面,     （2）.      【分析】 （1）由线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）作，连接，证得为平面与平面所成角，再求的正切值即可. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 作，连接， ，，, 平面 平面， 又平面, 平面平面， 为平面与平面所成角， 在中，，，， 根据勾股定理可得：， 由三角形面积公式，可得， ， 所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在正方体中，点在上. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明：因为为正方体，所以平面，又平面，所以.     （2）证明：因为为正方体，所以平面平面，又平面，所以平面.      【分析】 （1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 9．（2025·辽宁·学业水平合格考）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为、分别为、的中点，则，因为，则，因为平面，平面，故平面.     （2）      【分析】 （1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 10．（2025·浙江·学业水平合格考）如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： （1）证明：平面平面； （2）若，且，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）试求的体积． 【答案】（1）证明：，平面，平面，所以平面，又为正方形，故，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面；     （2）（Ⅰ）证明：正方形的平行投影有四种情况，正方形，矩形，平行四边形或线段，显然投影不是线段，由于，故正方形的投影为矩形，即四边形为矩形，要想投影为矩形，需满足⊥，且，⊥，又，，平面，所以⊥平面， （Ⅱ）      【分析】 （1）由和得到线面平行，进而得到面面平行； （2）（Ⅰ）先得到⊥，且，⊥，又，所以⊥平面； （Ⅱ）可视作直四棱柱，作出辅助线，求出等腰梯形的面积，利用柱体体积公式进行求解. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： （Ⅰ）略 （Ⅱ）可视作直四棱柱， 其中，， 所以，，故四边形为等腰梯形， 过点分别作⊥，⊥于点， 故，， 由勾股定理得， 故等腰梯形的面积为， 又， 故. 11．（2025·陕西·学业水平合格考）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：，，，是直角三角形，       又为的外心，为的中点.连接，又为的中点，所以中，又平面，平面，平面.     （2）      【分析】 （1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 12．（2025·河南·学业水平合格考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以．又底面为正方形，所以．又平面，平面，，故平面．     （2）      【分析】 （1）由题可得，，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）由题可得，利用三棱锥的体积公式求解即可. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 因为平面，为中点， 所以到平面的距离为， 因为为的中点， 所以， 所以. 13．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）如图，在四棱锥中，底面，，.    （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积. 【答案】（1）因为底面，平面，所以可得，而，且，平面,平面所以平面.     （2）      【分析】 （1）根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； （2）先求出底面面积，再根据四棱锥的体积公式即可求解. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 设底面的面积为，则， 又因，，所以， 根据四棱锥的体积公式，由题意知, 所以， 所以四棱锥的体积为. 14．（2025·山东·学业水平合格考）如图，在三棱锥中，，平面. （1）求证：平面； （2）是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】（1）因为平面，平面，所以，，即，又平面，平面，，所以平面.     （2）存在，点是的中点.取的中点，连接， 因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.      【分析】 （1）由平面得出，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，利用是的中位线得，再用线面平行的判定定理即可证明. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何初步 4类高频考点 目 录 ✅考点一 空间几何体 ✅考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 ✅考点三 直线、平面平行的判定与性质 ✅考点四 直线、平面垂直的判定与性质 考点一 空间几何体（共35题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（       ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线是异面直线 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（       ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．10 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·学业水平合格考）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（       ） A．2 B．4 C． D． 6．（2025·辽宁·学业水平合格考）我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·四川·学业水平合格考）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（       ） A．棱柱的侧棱互相平行 B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥 C．正三棱锥的各个面都是正三角形 D．棱台各侧棱所在直线会交于一点 9．（2025·湖南·学业水平合格考）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（       ） A．3 B．5 C．6 D．8 10．（2025·江苏·学业水平合格考）在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（     ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州·学业水平合格考）下列几何体为多面体的是（       ） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 12．（2025·贵州·学业水平合格考）已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（       ） A． B． C． D． 13．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（       ） A． B． C． D． 14．（2025·福建·学业水平合格考）已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（       ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 15．（2025·湖北·学业水平合格考）如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（     ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 16．（2025·山东·学业水平合格考）已知圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 17．（2025·山东·学业水平合格考）如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（       ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 18．（多选题）（2025·浙江·学业水平合格考）用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（       ） A．六边形 B．五边形 C．直角三角形 D．矩形 19．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段，的中点，过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆.（       ） A．圆锥的轴截面面积为 B．沿着该圆锥表面从到的最短距离为 C．圆台的体积为 D．圆台的外接球表面积为 20．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 21．（2026·广东·学业水平合格考）已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为　　　　　　． 22．（2026·浙江·学业水平合格考）已知圆锥的底面半径，母线长为2，则该圆锥的侧面积为　　　　　　　　． 23．（2026·湖南·学业水平合格考）将一个棱长为的正方体铁块切削成一个球体零件，则可能制成的最大零件的体积为　　　　　　　　． 24．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）某班数学兴趣小组用空间几何体的图案美化教室．图案中有一个球体，它的半径为3cm，则这个球体的体积为　　　　　　　　　　　． 25．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为　　　　　　． 26．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是　　　　　　　　三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 27．（2025·黑龙江·学业水平合格考）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是　　　　　　　　　　. 28．（2025·四川·学业水平合格考）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为　　　　　　. 29．（2025·湖南·学业水平合格考）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是　　　　　三角形． 30．（2025·河南·学业水平合格考）设长方体的长、宽、高分别为3，4，5，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　　　　　　　． 31．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）阅读下面题目及其解答过程． 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求证：． 证明：（1）因为侧面为正方形，所以          ①          ． 又          ②          ，平面， 所以平面． （2）因为侧面为正方形，所以          ③          ． 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以          ④          ． 又因为平面，所以          ⑤          ． 因为，，，所以． 所以          ⑥          ．所以． 以上题目的解答过程中，设置了①～⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A）平面 （B）平面 ③ （A） （B） ④ （A）平面 （B）平面 ⑤ （A） （B） ⑥ （A） （B） 32．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 33．（2025·贵州·学业水平合格考）如图，在三棱锥中，平面. （1）异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） （2）若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； （3）若平面平面，证明：. 34．（2025·福建·学业水平合格考）如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求：    （1）若，求三棱柱体积． （2）若是中点，求证：平面． 35．（2025·湖北·学业水平合格考）如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系（共14题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）在空间中，若直线平面，直线平面，则与（       ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 2．（2026·湖南·学业水平合格考）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（        ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（       ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）如图，在正方体中，直线与直线（     ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 6．（2025·浙江·学业水平合格考）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西·学业水平合格考）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（       ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．（2025·河南·学业水平合格考）在正方体中，直线与所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 9．（2025·贵州·学业水平合格考）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（       ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）在正方体中，异面直线与所成的角为（       ） A． B． C． D． 11．（2025·福建·学业水平合格考）已知，，，则下列说法错误的是（       ） A．与相交 B．与平行 C．与异面 D．与垂直 12．（2025·福建·学业水平合格考）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（       ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2026·浙江·学业水平合格考）如图所示长方体中，下列结论正确的有（     ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 14．（2025·湖南·学业水平合格考）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为　　　　　． 考点三 直线、平面平行的判定与性质（共5题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）已知三棱锥，点M为棱的中点，点P在线段上，且，点Q为棱上一点，且平面，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面； （2）在直线上是否存在点，使得？说明理由. 3．（2026·湖南·学业水平合格考）如图，在四棱锥中，，，和都垂直于平面． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积． 4．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. （1）求证：平面；    （2）求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A. B. ② A.平面 B.平面 ③ A. B. ④ A. B. ⑤ A.平面 B.平面 ⑥ A. B. 5．（2025·湖南·学业水平合格考）如图，在正三棱柱中，为的中点． （1）在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； （2）若，求直线与平面所成的角的正弦值． 考点四 直线、平面垂直的判定与性质（共14题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）已知两个相交平面，二者形成的锐二面角大小为，点A在平面内，，在交线上取一点C，连接，，与所成的角为，求点A到平面的距离（     ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·江苏·学业水平合格考）在正方体中，二面角的大小为（     ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（2025·江苏·学业水平合格考）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2025·湖北·学业水平合格考）下列命题正确的是（       ） A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 5．（2026·广东·学业水平合格考）在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点．    （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 6．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）如图，在三棱锥中，平面，平面平面．    （1）若，的面积等于3，求三棱锥的体积； （2）证明：平面． 7．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）如图，三棱锥中，，，，． （1）求证：； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在正方体中，点在上. （1）求证：； （2）求证：平面. 9．（2025·辽宁·学业水平合格考）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积． 10．（2025·浙江·学业水平合格考）如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： （1）证明：平面平面； （2）若，且，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）试求的体积． 11．（2025·陕西·学业水平合格考）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 12．（2025·河南·学业水平合格考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 13．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）如图，在四棱锥中，底面，，.    （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积. 14．（2025·山东·学业水平合格考）如图，在三棱锥中，，平面. （1）求证：平面； （2）是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $