精品解析：黑龙江省绥化市第九中学2026-2027学年高二上学期10月期中数学试题

绥化市第九中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. -7 B. 7 C. D. 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. 12 C. D. 11 3. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 4. 若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知某同学最近5次体育测试成绩（满分10分）分别为7，9，8，10，8，则以下说法正确的有（ ） A. 5次成绩的平均数为8.4 B. 5次成绩的第三四分位数为9 C. 5次成绩的方差为1 D. 任取1次的成绩，则取到的成绩大于5次成绩的中位数的概率是0.4 10. 已知直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线过定点 C. 若，则 D. 当时，直线不经过第二象限 11. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为1，则曲线的实轴长为______. 13. 已知是抛物线的焦点，，的该抛物线上的两点，线段的中点为，若点与重合，则______，若点横坐标为2，则的最大值是_______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的短轴长为_________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，． （1）求证：平面； （2）点为线段的中点，求证面． 16. 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 17. 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程及渐近线方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 18. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. （1）求的值 （2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 19. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程． （2）在（1）的条件下，求①的取值范围；②的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第九中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. -7 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据与共线，得，求得的值，即可得到答案. 【详解】由题意，向量， 因为与共线，则，解得，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线的应用，其中解答中根据空间向量的共线，列出相应的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. 12 C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的项之间的关系即可求得公差. 【详解】等差数列中，公差 故选：D. 3. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 4. 若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求出实半轴长和焦距，再利用双曲线的定义求出距离的可能值，并用三角形两边之和大于第三边排除不合题意的值. 【详解】由题意，，，所以，，故. 根据双曲线的定义，. 又，所以或. 若，则，不符合三角形两边之和大于第三边. 因此. 5. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的半径及已知条件列不等式计算求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径， 由题意，得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 7. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为. 故选：A 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知某同学最近5次体育测试成绩（满分10分）分别为7，9，8，10，8，则以下说法正确的有（ ） A. 5次成绩的平均数为8.4 B. 5次成绩的第三四分位数为9 C. 5次成绩的方差为1 D. 任取1次的成绩，则取到的成绩大于5次成绩的中位数的概率是0.4 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出平均数即可判断A，求出第75百分位数即可判断B，求出方差即可判断C，求出中位数，再由古典概型的概率公式判断D. 【详解】对于A：5次成绩的平均数为，故A正确； 对于B：5次成绩从小到大排列为7,8,8,9,10，又， 所以5次成绩的第三四分位数为9，故B正确； 对于C：5次成绩的方差为，故C错误； 对于D：5次成绩的中位数为， 所以任取1次的成绩，则取到的成绩大于5次成绩的中位数的概率，故D正确. 故选：ABD 10. 已知直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线过定点 C. 若，则 D. 当时，直线不经过第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之可判断A选项；解方程组可求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；利用两直线垂直求出的值，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，解得，A对； 对于B选项，由可得，即直线过定点，B错； 对于C选项，若，则，解得，C对； 对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错. 故选：AC. 11. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解. 【详解】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确； 因为， 所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误； 设点M是圆Q上任意一点， 由题意可知的最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为1，则曲线的实轴长为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由渐近线与直线垂直得，再由焦点到直线的距离得，结合可求得． 【详解】直线的斜率为，一条渐近线与直线垂直，则，， 设焦点为，则，． ∴，解得，∴实轴长为． 故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，根据一条渐近线与直线：垂直得出，根据焦点到直线的距离求出，从而可得，本题中档题． 13. 已知是抛物线的焦点，，的该抛物线上的两点，线段的中点为，若点与重合，则______，若点横坐标为2，则的最大值是_______. 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，然后根据抛物线的定义得到抛物线上的点,到焦点的距离,由此求得点与重合时的值，并结合，求得的最大值. 【详解】解：抛物线的焦点坐标,准线, 设点, （1）当与重合时， ， （2）当横坐标为2时， ， 当且仅当线段经过时取等号， ∴的最大值为6， 故答案为：4；6. 【点睛】本题考查抛物线的定义与标准方程的应用，关键是根据定义得到抛物线上的点到焦点的距离与点的横坐标的关系，进而求解. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的短轴长为_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，根据已知条件，利用椭圆的定义求得，利用勾股定理，结合已知三角形的面积，求得b的值，进而得解. 【详解】连接,根据椭圆的对称性可知为矩形， 由,得, 由,结合， 求得, ∴, ∴椭圆的短轴长为, 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的性质，属基础题，关键是利用对称性，连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，注意熟练掌握椭圆的定义是关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，． （1）求证：平面； （2）点为线段的中点，求证面． 【答案】（1） 证明：如图，建立空间坐标系，则，，，，， 面，，且， 又， 面，为面的法向量， ，， 又平面， 平面． （2） 由（1）可知，，，， ，， ， 又， 面． 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，由线面垂直的判定定理可证面，可知为面的法向量，又，根据线面平行的判定定理即可证明结果； （2）由（1）可知，，可证，，再根据线面垂直的判定定理即可证明结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得出，由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点的轨迹方程为，求出、的值，可得出点的轨迹方程； （2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值. 【详解】（1）由题知，，， 由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点）， 设动点的轨迹方程为，则，， ，得，因此，动点的轨迹方程为； （2）由（1）可知，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，因此，的最大值为. 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，同时也考查了利用椭圆的定义和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中等题. 17. 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程及渐近线方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求解出椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标可求，再结合点在双曲线上求解出双曲线的方程，并求解出渐近线方程； （2）利用点差法求解出直线的斜率，再结合直线过点，则可求直线的方程. 【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为， 又因为在双曲线上，所以 ，所以， 所以双曲线的方程为：，渐近线方程为； （2）设，所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以弦所在直线的方程为：，即. 【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设为双曲线的一条弦的中点（不平行于坐标轴），则. 18. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. （1）求的值 （2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. 【小问2详解】 依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 19. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程． （2）在（1）的条件下，求①的取值范围；②的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）①的取值范围为；②的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心，半径为，圆经过点，建立等式求出参数，从而得出圆的圆心和半径，写出圆的标准方程即可； （2）①设圆上任意一点，令，将问题转化为直线与圆的位置关系建立不等式求出即可；②的最值转化为圆上任意一点到原点的距离的平方的最值，通过分析计算即可得出结果. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上， 所以设圆心，半径为， 又圆经过，两点， 所以， 即， 化简得：，解得：， 所以圆心为，半径， 所以所求的圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①设圆上任意一点，满足， 令，即， 所以要求的取值范围，即直线与圆要有交点， 即圆心到直线的距离， 即， 解得：， 所以的取值范围为：； ②表示圆上任意一点到原点的距离的平方， 又圆心到原点的距离为： ， 又圆的半径为5， 所以的最大值为：， 最小值为：， 故的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $