第8章 函数应用（单元分层测试·能力提升卷）数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第8章 函数应用·能力提升卷（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C C A C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）总成本=固定成本+可变成本=（万元）． 利润总成本：， 所以，.（6分） （2）令，即，解得或． 结合，得，即产量应在400件到1000件之间．（13分） 16．【解析】（1） （4分） （2）由图像可知方程有四个不同的解时，， 所以的取值范围为；（8分） （3）当时，； 当时，依题设，将点代入得：， 解得，所以， 当时，； 当时，，， 因为是偶函数，所以， 所以函数.（15分） 17．【解析】（1），，解得，， 所以.（4分） （2）画出的图象，如图所示， 则关于的方程有2个实数根，可以转化为直线与的图象有两个交点，故， 所以实数的取值范围为.（8分） （3）由，，得， 令，因为，所以， 令，的对称轴为， 故， 则，转化为， 故，解得, 所以实数的取值范围为.（15分） 18．【解析】（1），因为二次函数开口向上， 且函数在和上各有1个零点，根据二次函数零点的分布性质，区间端点的函数值满足 即解得.（4分） （2）不等式化为， 当时，解集为； 时，， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.（10分） （3）. 时恒成立； 时，， 当且仅当，即时取等号， 故，所以，故， 所以实数的取值范围为.（17分） 19．【解析】（1）由题可知，解得， 所以，所以；（4分） （2）设，在上单调递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以， 所以在内的“倒域区间”为；（9分） （3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中， 所以，即同号，所以只需考虑，或， 当时，根据的性质知，的最大值为，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，的最小值为，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为， 所以， 依题意，抛物线与函数的图像有两个交点，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限， 因此，应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数根， 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一个根知， 综上所述：.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第8章 函数应用·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数， 因为函数在上都是单调递增函数， 所以函数在上也是单调递增函数. 因为， 所以， 又因为函数在上是单调递增函数， 所以根据函数零点存在原理，函数在上有唯一零点，且该零点在区间内， 因此方程的解所在区间为. 2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设销售单价为元. 因为决定提价销售，所以. 售价比原价提高元，每提高元日销量减少盏，所以每天销售量为 由题意，即所以 解得. 结合，得 3．若函数的图象经过点，则函数的零点是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】点代入函数得，故， 令，解得或， 代入得， 综上可得，函数的零点为，． 4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 【答案】C 【解析】由题意可知：前5个小时消除了的污染物， 因为，则， 即，可得，， 由， 可得，即， 即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过， 又因为前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 5．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当点P沿路线运动时，点P经过的路程x与的面积y之间的函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 当时，. 当时， ； 当时，. 结合各选项可知选A 6．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设,依题意，该函数有2个零点（也可能有1个零点），且都大于1， 则有，解得. 7．若方程有个实根，则称函数为级维函数.若函数为1级a维函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为1级a维函数， 所以方程有1个实根. 设， 则方程有1个实根. 画出函数f(x)的图象，如图所示， 由图可知，当且仅当或时，函数的图象与直线有1个交点， 所以实数a的取值范围是. 8．函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 是开口向上的二次函数，，恒有两个零点， 因为，所以两个零点一正一负，不妨设，又的零点为， 因为时，，所以时，与同号，可得， 所以，得，因为，所以，解得，即且， 所以， 当时，，得，所以； 当时，，得，所以， 所以. 因为，，所以A正确，B、C、D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于函数，说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．不等式的解集为 C．方程有两个解 D．函数在上为增函数 【答案】AC 【解析】对于A，根据分段函数的定义域为，A正确； 对于B，当时，，解得，结合条件得； 当时，，解得； 所以不等式的解集为，且，B错误； 对于C，当时，，解得； 当时，，解得，或（舍）； 所以方程有两个解，C正确； 对于D，当时，单调递增；当时，单调递增， 因为，也就是自变量变大，函数值反而变小，不是增函数，D错误； 10．已知函数，，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象与轴有个公共点 C．在区间上单调递减 D．有最大值，没有最小值 【答案】ACD 【解析】由可得，即或， 由可得，即， 故，作出函数的图象如下图中的实线部分所示： 对于A选项，由图可知函数的图象关于轴对称，A对； 对于B选项，由图可知函数的图象与轴有个公共点，B错； 对于C选项，由图可知在区间上单调递减，C对； 对于D选项，函数有最大值，没有最小值，D对. 11．已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABC 【解析】由知直线与的图象恰有四个交点. 在同一平面直角坐标系中作出的图象,如图所示： 知直线与的图象恰有四个交点,横坐标依次为，且. 由图可知在和上单调递减，在和上单调递增. 因此，，，. 对于A，由图可知，A正确. 对于B，由得，由得. 所以，这与在的图象关于直线对称一致，B正确. 对于C，由得，由得. 所以，C正确. 对于D，. 令，则，而对勾函数在上单调递增. 故，即. 当时,，上界可取到， 而时，下界取不到，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含），票价元; （2）以上，每增加，票价增加元（不足的按计算） 如果某条线路总里程为，请根据题意，写出票价与里程之间的解析式为______ 【答案】 【解析】由题意得，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故票价关于里程之间的关系式为. 13．设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 【答案】 【解析】因为函数有且只有一个零点，即关于的方程有且只有一个实数根. 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得或； 综上所述， 的取值集合为. 14．已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意得函数的定义域为， 因为，所以对分四个范围进行讨论， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以函数，作出的简图： 由图象得. 因为题中原方程恰有6个不同实数解，即方程恰有6个不同实数解， 结合图象可知必有和，， 故关于的方程中，有，， 且当，时，关于的方程有4个不同实数解， 所以，，因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某工厂生产一种产品，固定成本为万元，每生产一百件产品，成本增加万元．已知销售总收入（万元）与产量（百件）的关系为 (1)请将该产品的利润（万元）表示成产量（百件）的函数（利润总收入总成本） (2)若要求利润不低于万元，求产量的取值范围 【解析】（1）总成本=固定成本+可变成本=（万元）． 利润总成本：， 所以，.（6分） （2）令，即，解得或． 结合，得，即产量应在400件到1000件之间．（13分） 16．（15分） 设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，图象是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)根据图像求方程有四个不同的解时，求的取值范围； (3)求函数的解析式． 【解析】（1） （4分） （2）由图像可知方程有四个不同的解时，， 所以的取值范围为；（8分） （3）当时，； 当时，依题设，将点代入得：， 解得，所以， 当时，； 当时，，， 因为是偶函数，所以， 所以函数.（15分） 17．（15分） 已知函数（，且）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； (3)若，，求实数的取值范围． 【解析】（1），，解得，， 所以.（4分） （2）画出的图象，如图所示， 则关于的方程有2个实数根，可以转化为直线与的图象有两个交点，故， 所以实数的取值范围为.（8分） （3）由，，得， 令，因为，所以， 令，的对称轴为， 故， 则，转化为， 故，解得, 所以实数的取值范围为.（15分） 18．（17分） 一般地，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数. (1)若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【解析】（1），因为二次函数开口向上， 且函数在和上各有1个零点，根据二次函数零点的分布性质，区间端点的函数值满足 即解得.（4分） （2）不等式化为， 当时，解集为； 时，， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.（10分） （3）. 时恒成立； 时，， 当且仅当，即时取等号， 故，所以，故， 所以实数的取值范围为.（17分） 19．（17分） 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．设函数，若，且函数的值域为． (1)求的解析式； (2)求在内的“倒域区间”； (3)将函数在内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰有2个元素？若存在，求出的取值范围或值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题可知，解得， 所以，所以；（4分） （2）设，在上单调递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以， 所以在内的“倒域区间”为；（9分） （3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中， 所以，即同号，所以只需考虑，或， 当时，根据的性质知，的最大值为，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，的最小值为，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为， 所以， 依题意，抛物线与函数的图像有两个交点，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限， 因此，应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数根， 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一个根知， 综上所述：.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第8章 函数应用·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若函数的图象经过点，则函数的零点是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 5．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当点P沿路线运动时，点P经过的路程x与的面积y之间的函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若方程有个实根，则称函数为级维函数.若函数为1级a维函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于函数，说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．不等式的解集为 C．方程有两个解 D．函数在上为增函数 10．已知函数，，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象与轴有个公共点 C．在区间上单调递减 D．有最大值，没有最小值 11．已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含），票价元; （2）以上，每增加，票价增加元（不足的按计算） 如果某条线路总里程为，请根据题意，写出票价与里程之间的解析式为______ 13．设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 14．已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某工厂生产一种产品，固定成本为万元，每生产一百件产品，成本增加万元．已知销售总收入（万元）与产量（百件）的关系为 (1)请将该产品的利润（万元）表示成产量（百件）的函数（利润总收入总成本） (2)若要求利润不低于万元，求产量的取值范围 16．（15分） 设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，图象是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)根据图像求方程有四个不同的解时，求的取值范围； (3)求函数的解析式． 17．（15分） 已知函数（，且）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； (3)若，，求实数的取值范围． 18．（17分） 一般地，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数. (1)若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 19．（17分） 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．设函数，若，且函数的值域为． (1)求的解析式； (2)求在内的“倒域区间”； (3)将函数在内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰有2个元素？若存在，求出的取值范围或值，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第8章 函数应用·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若函数的图象经过点，则函数的零点是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 5．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当点P沿路线运动时，点P经过的路程x与的面积y之间的函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若方程有个实根，则称函数为级维函数.若函数为1级a维函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于函数，说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．不等式的解集为 C．方程有两个解 D．函数在上为增函数 10．已知函数，，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象与轴有个公共点 C．在区间上单调递减 D．有最大值，没有最小值 11．已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含），票价元; （2）以上，每增加，票价增加元（不足的按计算） 如果某条线路总里程为，请根据题意，写出票价与里程之间的解析式为______ 13．设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 14．已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某工厂生产一种产品，固定成本为万元，每生产一百件产品，成本增加万元．已知销售总收入（万元）与产量（百件）的关系为 (1)请将该产品的利润（万元）表示成产量（百件）的函数（利润总收入总成本） (2)若要求利润不低于万元，求产量的取值范围 16．（15分） 设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，图象是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)根据图像求方程有四个不同的解时，求的取值范围； (3)求函数的解析式． 17．（15分） 已知函数（，且）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； (3)若，，求实数的取值范围． 18．（17分） 一般地，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数. (1)若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 19．（17分） 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．设函数，若，且函数的值域为． (1)求的解析式； (2)求在内的“倒域区间”； (3)将函数在内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰有2个元素？若存在，求出的取值范围或值，若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $