高中数学单元测试——第8章函数应用（较易版02）

**基本信息** 高中数学第8章函数应用单元复习卷（较易版02），聚焦函数零点、二分法及实际应用，通过基础巩固与情境化综合题结合，适配单元复习核心素养培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5/25|零点求解、二分法适用条件|基础概念辨析，如判断不能用二分法的函数图像| |多选题|2/12|零点存在性、方程根的个数|多选项考查思维严谨性，如含参函数零点问题| |填空题|2/10|零点应用、行程问题建模|生活情境融入，如小明上学路程与时间函数关系| |解答题|3/48|函数奇偶性与零点、企业利润模型、分段函数综合|分层设计，12题企业利润建模体现数学语言表达现实世界，13题结合图像分析培养数学眼光|

高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程即得答案. 【详解】令，得：， 即， 两边取自然对数，得： . 故选：B 2．（本题5分）下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求函数零点所满足的条件可得出合适的选项. 【详解】观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点． 故选：B. 3．（本题5分）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B 4．（本题5分）在用“二分法”求函数零点近似值时,若第一次所取区间为,则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的步骤,取中间数2,判断是否为0,然后判断由2分开的两个区间端点函数值乘积的正负,故选出结果. 【详解】解:由题知第一次所取区间为, 取中间值, 则则第二次所取区间可能是. 故选:D 5．（本题5分）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【答案】C 【分析】设直线 的解析式为 ，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式，再把代入进行计算即可得解． 【详解】设直线 的解析式为 经过点 ， 解得 所以直线 的解析式为 ，由题中图像可知， 当 时，该植物最高，此时 . 故选 ：C. 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 二、多选题 7．（本题6分）下列函数中有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将函数有零点问题转换为方程有根问题求解即可. 【详解】对于A，时，，所以有零点，故A正确； 对于B，时，，所以有零点，故B正确； 对于C，时，，所以有零点，故C正确； 对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误； 故选：ABC. 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 【答案】21 【分析】由x＝3是函数的零点，即，将x＝3代入函数有，求解即得的值 【详解】∵x＝3是函数的零点，即 ∴，解得 故答案为：21 【点睛】本题考查了函数的零点，根据零点列方程，应用对数的概念求参数值 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【详解】（1）依题意，得，即 即恒成立，得. （2）令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 12．（本题16分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 13．（本题18分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）因为在上单调递减，且， ，解得. （3）存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的零点为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）在用“二分法”求函数零点近似值时,若第一次所取区间为,则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）下列函数中有零点的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 12．（本题16分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 13．（本题18分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $