第三章 函数（单元分层自测·基础通关卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一年级数学第三章函数单元自测卷，整合多地区期末真题，覆盖函数单调性、奇偶性、定义域等核心知识点，注重基础巩固与应用能力，适配单元复习，培养数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|函数单调性、定义域、同一函数判断|基础概念辨析，如单调递增区间求解| |多选题|3题|函数零点、单调性参数、奇偶性与周期|多选项推理，如奇函数与偶函数性质综合| |填空题|3题|函数周期、零点个数、奇函数求值|抽象函数性质应用，如周期函数求值| |解答题|5题|解析式求法、实际应用、飘带函数|结合“活水围网”养殖情境（模型意识），飘带函数创新探究（创新意识）|

2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A D D A D C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ABC 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12．7 13． 14．2 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）因为，所以；（4分） （2）因为，令，则， 所以，故；（8分） （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）依题意，当时，；（2分） 当时，是关于的一次函数，假设， 则，解得，（5分） 所以．（7分） （2）当时，，则，易得，（10分） 当时，，则，（12分） 当时，取得最大值．（14分） 因为，所以当时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由已知，得，定义域为（2分） 因为是奇函数，所以，（4分） 即， 解得．（7分） （2）函数在内为增函数．（8分） 证明如下：任取，则．（12分） 因为，所以，，（13分） 所以，即．（14分） 所以函数在内是增函数．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）令，则， 所以，则．（5分） （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ．（10分） （3）设 ，则 . 又 ，所以.（14分） 即，解得，或. 所以或 ．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）当，时，，令， 解得，，所以的两个零点分别是和.（4分） (2)为奇函数． 因为且， 又因为 ， 所以是奇函数．（8分） (3)不存在. 假设存在实数，，使得在上的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故，符号相同． （10分） 当时，由得在单调递增， 于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解；（13分） 同理，当时，又因为是奇函数，由对称性可知在单调递增． 于是，得， 解得，这与矛盾，故无解； （16分） 综上所述，不存在符合要求的实数，．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 4．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 5．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 6．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．是增函数 二、多选题 9．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 三、填空题 12．（2026·湖南岳阳·三模）已知的定义域为，周期为4，当时，，则______． 13．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知是定义在上的奇函数，若在内有2个零点，则的零点个数为______． 14．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 16．（25-26高一上·上海·期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高，经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均增长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等问题，v的值为0（千克/年）． (1)当时，求出函数的表达式： (2)当养殖密度x多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值． 17．（25-26高一下·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 18．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 19．（25-26高二下·福建福州·期末）一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数． (1)若，，求函数的零点； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 3．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 4．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】. 故选：D 5．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 6．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 7．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 8．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．是增函数 【答案】C 【分析】根据赋值法，结合已知条件判断AB；根据赋值法，结合基本不等式判断C；根据增函数的定义结合选项AB判断D. 【详解】对于A，令，则， 整理得，解得或. 令，则， 整理得，解得或. 因为，所以，，故A错误. 对于B，令，则， 整理得，解得或. 因为函数的值域为，所以，故B错误. 对于C，令，则， 整理得， 又，当且仅当时等号成立. 则，所以，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，由选项AB中，，，， 因为，，所以不是增函数，故D错误. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把零点问题转化为函数图象交点问题和方程的解的问题，即可作出判断. 【详解】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标， 通过上面函数图象可得：， 而，即， 所以，，正确，错误； 故选：ACD 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 11．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 三、填空题 12．（2026·湖南岳阳·三模）已知的定义域为，周期为4，当时，，则______． 【答案】7 【详解】， 因此． 13．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知是定义在上的奇函数，若在内有2个零点，则的零点个数为______． 【答案】 【分析】由是定义在上的奇函数，则，结合奇函数对称性即可求解． 【详解】已知是定义在上的奇函数， ， 又在内有2个零点， 所以在内有2个零点， 综上，在上有个零点． 故答案为：． 14．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 【答案】2 【分析】首先根据题目条件得出函数周期，再通过给出的函数解析式求出部分函数值，结合函数的周期性和函数值求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为， 所以，， 所以可知为一个最小正周期为4的周期函数， 所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以. 四、解答题 15．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 16．（25-26高一上·上海·期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高，经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均增长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等问题，v的值为0（千克/年）． (1)当时，求出函数的表达式： (2)当养殖密度x多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 【分析】（1）根据题意，利用两点求出解析式，得到分段函数； （2）利用二次函数的性质求最值并比较第一段内的最大值，以此得到的最大值. 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，是关于的一次函数，假设， 则，解得， 所以． （2）当时，，则，易得， 当时，，则， 当时，取得最大值． 因为，所以当时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米． 17．（25-26高一下·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数. （2）令，应用作差法比较、的大小即可证. 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 18．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 19．（25-26高二下·福建福州·期末）一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数． (1)若，，求函数的零点； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)为奇函数． 因为且， 又因为 ， 所以是奇函数． (3)不存在. 假设存在实数，，使得在上的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故，符号相同． 当时，由得在单调递增， 于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解； 同理，当时，又因为是奇函数，由对称性可知在单调递增． 于是，得， 解得，这与矛盾，故无解； 综上所述，不存在符合要求的实数，． 【分析】（1）将函数的零点问题转化为方程的根的问题求解即可. （2）根据函数奇偶性的定义即可证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性即可证明. 【详解】（1）当，时，，令， 解得，，所以的两个零点分别是和. （2）略. （3）略. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 4．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 5．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 6．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．是增函数 二、多选题 9．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 三、填空题 12．（2026·湖南岳阳·三模）已知的定义域为，周期为4，当时，，则______． 13．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知是定义在上的奇函数，若在内有2个零点，则的零点个数为______． 14．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 16．（25-26高一上·上海·期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高，经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均增长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等问题，v的值为0（千克/年）． (1)当时，求出函数的表达式： (2)当养殖密度x多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值． 17．（25-26高一下·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 18．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 19．（25-26高二下·福建福州·期末）一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数． (1)若，，求函数的零点； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $