学考专题10 解答题全考点综合（函数、三角、向量、概率、立体）：知识梳理+考点精讲精练+实战训练（讲义，全国通用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题10 解答题全考点综合 【析】命题方向解读|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 研|核心专题精讲 考点一 函数的基本性质 考点二 指对幂函数及函数的应用 考点三 三角函数 考点四 解三角形 考点五 平面向量 考点六 概率统计 考点七 立体几何 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数 函数的基本性质 理解单调性、奇偶性，会求最值并分析函数性质 掌握 解答 指对幂函数及函数的应用 掌握指、对、幂函数的图象与性质，会建立函数模型解决实际问题 掌握 解答 三角 三角函数的图象与性质 会求周期、单调区间、对称轴与值域，会分析图象变换 掌握 解答 三角恒等变换 会用两角和与差、二倍角公式进行化简、求值与证明 掌握 解答 解三角形 会用正弦定理、余弦定理解三角形并解决实际应用问题 掌握 解答 向量 平面向量的线性运算 理解向量加减、数乘运算及共线定理，会用基底表示向量 理解 解答 平面向量的坐标运算与数量积 会坐标运算，会用数量积求夹角、模，判断垂直与平行 掌握 解答 概率统计 统计图表与数字特征 会读频率分布直方图，求频率、频数及平均数、方差等数字特征 掌握 解答 古典概型与独立事件 会求古典概型概率及相互独立事件同时发生的概率 掌握 解答 立体几何 空间几何体的表面积与体积 会求柱、锥、台、球的表面积与体积及相关最值 掌握 解答 空间位置关系的证明 会用判定与性质定理证明线面、面面平行与垂直 掌握 解答 空间角与距离 会求线面角、二面角及点到平面的距离 掌握 解答 考点一 函数的基本性质 例题1 （2027全国）已知是上的奇函数，且当时，，求： (1)； (2)时的表达式； (3)的表达式. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）直接根据奇函数性质求解即可； （2）根据奇函数的对称性求解即可； （3）结合（1）（2）直接写出解析式即可. 【详解】（1）解：是上的奇函数，，即. （2）解：时，，， 为奇函数，， ，. （3）解：由（1）（2），得的表达式为 例题2 （2024福建）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递减，证明如下： 任取， ； ，，，又，， 在上单调递减. (3)有两个不同的零点，理由如下： 当时，，； 令，则，； 令，解得：， 在上单调递增，当或时，， 有两个不同的零点. 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可； （2）任取，可得，由单调性定义可得结论； （3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点. 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ，为定义在上的奇函数. （2）略 （3）略 例题3 （2027全国）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 【答案】(1)奇函数 (2)在内是减函数， 设， 则 ． ，，则． ，． ，． ，即． 故在内是减函数． (3)， ． ， ． 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）根据条件，直接利用奇偶函数的判定方法，即可求解； （2）利用函数单调性的定义，设，再判断与的大小，即可证明； （3）利用对数的运算，直接代入，即可证明 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数． （2）在内是减函数，略. （3）略 1．已知函数（a为常数）的图象过点． (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)因为函数的图象过点．所以，解得． 因此，．是偶函数，理由如下： 因为，都有，所以是偶函数． (2)或 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）将点代入函数解析式求出，再验证即可判断奇偶性； （2）将不等式移项整理为二次不等式，因式分解后写出解集． 【详解】（1）略； （2）由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为或． 2．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)在上单调递减， 证明：，设， , 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减． (3) 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解； （2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减； （3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不等式化为，再令，不等式可化为，利用单调性求出的最小值，即可求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故. （2）略. （3）不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则， 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以， 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是． 3．阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 【答案】①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A 【知识点】函数的基本性质 【分析】根据奇函数的定义与性质解奇函数的函数值、奇函数的解析式及解指数不等式即可. 【详解】（1）∵当时， ，∴，故①选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ∵当时，，所以，故④选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. 考点二 指对幂函数及函数的应用 例题1 （2024安徽淮北）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数 (2) 【知识点】指对幂函数及函数的应用 【分析】（1）由对数函数性质求定义域，根据奇偶性定义判断奇偶性； （2）利用奇偶性、单调性化简方程，然后方程有解转化为求函数值域，从而得参数范围． 【详解】（1） 为奇函数. （2）由（1）可知：有解 有解 又， 且在上单调递减 有解 设，则 有解 当时， . 例题2 （2025）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】指对幂函数及函数的应用 【分析】（1）由题意知，与互为反函数，求解即可． （2）（i）设，，则，利用二次函数可求值域；（ii）由题意可得，进而参变分离可得，可求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，与互为反函数． 将替换为，替换为得：，即， 所以． （2）（i）对于， 由，，则，， 所以的值域为． （ii）∵，使得恒成立， ∴． 即在上恒成立，得：在上恒成立， 参变分离得：． ∵在上单调递增，∴．∴， ∴的取值范围为． 例题3 （2023山东）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断在其定义域上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1). (2)在上单调递增，证明见解析 (3)答案见解析. 【知识点】指对幂函数及函数的应用 【分析】（1）由题意可得定义域的不等式组，从而可求解. （2）利用函数的定义法即可判断在其定义域上为增函数，从而可求解. （3）由函数可得，即，由（2）结论得在定义域为增函数，从而得，从而可求解. 【详解】（1）要使原函数有意义，只需，解得， 所以的定义域为． （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 所以，故，即， 所以在上单调递增． （3）由（1）知，因为， 要使，只需， 由知，在上单调递增，所以， 得，即， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或． 综上所述：当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为． 【点睛】关键点点睛：本题（3）问中先化简得，再利用函数的单调性得，即，然后对分类讨论即可求解. 1．已知函数，. (1)写出函数的单调区间； (2)求函数的最大值； (3)求证：方程有唯一实根，且. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间； (2) (3) 证明：令， ①当时，，， 则当时，，没有零点； ②当时，有，则，， ，没有零点； ③当时，有， 由 在上单调递增， ，， 所以存在唯一实数，使得， 因为上单调递增，所以， 因为，所以， 因为，即, 所以， 因为，所以，所以， 令，由在单调递减， 得，即， 所以， 又因为，所以， 即， 综上所述：方程有唯一实根，且. 【知识点】指对幂函数及函数的应用 【分析】（1）由对数函数的性质直接可判断单调性； （2）化简，由三角函数的性质即可得出答案； （3）设，通过分类讨论研究函数值值域和单调性，证明，则有，再通过构造函数放缩法证得结论. 【详解】（1）函数，定义域为， 由对数函数的性质可知，在上单调递增， 所以单调递增区间为，无单调递减区间； （2）因为， 又因为，当时，； （3）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用单调性和零点存在性定理可证零点唯一性；二是利用不等式转化结合三角函数单调性得证不等式. 2．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】指对幂函数及函数的应用 【分析】（1）将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）由在上是增函数，求出函数的最大值和最小值，从而可求出函数的值域. 【详解】（1）因为函数图象过点（2，5）， 所以， 所以，解得， 因为，所以， 所以， （2）因为在上为增函数， 所以在上是增函数， 所以， ， 所以函数的值域为． 3．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上为增函数 (2) (3) 【知识点】指对幂函数及函数的应用 【分析】（1）根据奇函数定义计算求参，再结合指数函数单调性得出单调性即可； （2）先根据函数单调性得出在时恒成立，再结合基本不等式计算求解； （3）先根据题意把存在及恒成立转化为，再分，，分别讨论列式计算求参. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，则， ，解得：． 又函数在R上是增函数，函数在R上是减函数， 因此函数在R上为增函数． （2）由题意得在时恒成立， 因为是R上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即在时恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 即，故，即． （3）由题意，使得，所以， 因为，由（1）可得， 因为的对称轴为直线 ①当时，在区间上单调递增，所以 由，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 由，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为． 考点三 三角函数 例题1 （2023广西）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示和辅助角公式得，解出即可； （2）根据正弦函数的单调增区间通式得到，再根据其对称中心得到方程，解出即可. 【详解】（1）若，，则， 则，解得， 则x的值的集合为. （2）依题意知， 由，.解得，. 由于函数在区间内单调递增，故，即，. 当时，上式成立，即，结合得， 因为函数的图象的一个对称中心为， 则， 则，解得，， 结合，则. 例题2 （2024新疆）已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）先利用余弦的倍角公式化简，再直接代入自变量即可得解； （2）利用辅助角公式化简，再利用整体代入法，结合正弦函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 例题3 （2024浙江杭州）已知函数. (1)求的图象的对称中心； (2)当时，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）将函数化为，令，解出，即可得到答案； （2）当时，，由正弦函数的单调性可得，，单调递增，，单调递减，所以函数取得最大值为，最小值为. 【详解】（1）函数， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）当时，，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数取得最大值为， 函数取得最小值为. 1．已知函数． (1)求函数的最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1)函数的最大值为2，最小值为 (2) 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）利用辅助角公式可得，以为整体，结合正弦函数最值分析求解； （2）以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 当，即时，取到最大值2； 当，即时，取到最小值. （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 2．已知向量，， (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的值； (3)设函数，求的值域. 【答案】(1)为奇函数， (2) (3) 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可； （2）依题意可得、的值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （3）由数量积的坐标表示及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 又， 所以为奇函数. （2）因为，， 若，则，， 所以. （3）因为， 由，则， 的值域． 3．已知函数. (1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）先根据三角恒等变换，将原式化简整理，得到，再结合正弦函数的周期性和对称性，即可求出结果； （2）先根据题中条件，确定，再由同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期为； 由可得， 即的对称轴为； （2）因为，所以， 又，所以， 因此， 故. 考点四 解三角形 例题1 （2023云南）在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4； (2)1. 【知识点】解三角形 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解作答. （2）根据给定条件，利用余弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，，由正弦定理，得， 所以的值是4. （2）在中，，由余弦定理，得， 则有，即，解得， 所以的值为1. 例题2 （2023广东）在中，内角的对边分别为，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【知识点】解三角形 【分析】（1）由正弦定理得，然后代值即可； （2）由（1）及已知条件得为直角三角形，然后通过勾股定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 所以， 因为，则， 故． （2）由（1）可知， 所以． 例题3 已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】解三角形 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解， （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可. 【详解】（1）当时, , 当时, ,则, 故, 因此 （2）当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 1．在中，角的对边分别是，且，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解三角形 【详解】（1）由正弦定理得，， ， ； （2）由（1）得，，且， ． 又， ． ． 2．的内角的对边分别为，面积为．已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长． ①；②． 【答案】任选一条件，周长皆为 【知识点】解三角形 【分析】若选择①，根据面积公式求，再根据余弦定理求，即可求解周长. 若选择②，根据面积公式求角以及角，再结合，即可求解周长. 【详解】选择①，，由，得，解得， 由余弦定理得， 解得，所以的周长. 选择②，，由三角形面积公式得， 解得，由，得，则，， 于是，，解得，，， 所以的周长. 3．在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：根据正弦定理， 又，所以，而， ∴或， ∵，且，∴舍去，即成立． (2) 【知识点】解三角形 【分析】（1）由正弦定理可得，进而可求解； （2）由正弦定理可求得，可求面积. 【详解】（1）略； （2）∵，∴， 又，∴根据正弦定理可得：， ∴． 考点五 平面向量 例题1 （2023广西）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的坐标运算与数量积 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示和辅助角公式得，解出即可； （2）根据正弦函数的单调增区间通式得到，再根据其对称中心得到方程，解出即可. 【详解】（1）若，，则， 则，解得， 则x的值的集合为. （2）依题意知， 由，.解得，. 由于函数在区间内单调递增，故，即，. 当时，上式成立，即，结合得， 因为函数的图象的一个对称中心为， 则， 则，解得，， 结合，则. 例题2 （2024天津南开）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】平面向量的坐标运算与数量积 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，即可求出，再计算其模. 【详解】（1）因为，， 由，可得，解得． （2）依题意， 若，则有，解得， 所以，． 例题3 （2024湖南株洲）已知函数已知向量，， (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的值； (3)设函数，求的值域. 【答案】(1)为奇函数， (2) (3) 【知识点】平面向量的坐标运算与数量积 【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可； （2）依题意可得、的值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （3）由数量积的坐标表示及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 又， 所以为奇函数. （2）因为，， 若，则，， 所以. （3）因为， 由，则， 的值域． 1．已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的坐标运算与数量积 【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案； （2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，，， ， ，， ，同理可得， 设BD的中点， 则，， . （2），， 三点共线，， ，解得. 2．已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的坐标运算与数量积 【分析】（1）由结合已知条件求解； （2）由题意可得化简后可求得的值. 【详解】（1）因为向量与的夹角为60°， 所以 （2）因为向量与相互垂直， 所以，则， 所以， 则 3．已知 (1)若且为锐角，求的值； (2)求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的坐标运算与数量积 【分析】（1）根据向量相等求解； （2）根据向量的数量积及正弦函数的性质求解. 【详解】（1），，，又因为为锐角，所以． （2），所以． 考点六 概率统计 例题1 （2023浙江）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立. (1)求两种芯片都开发成功的概率； (2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】古典概型与独立事件 【分析】（1）分别计算甲乙小组研发成功的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求解； （2）根据对立事件，计算甲乙小组同时研发不成功的概率，即可得解. 【详解】（1）甲小组研发芯片A成功的概率为 ，乙小组研发芯片B成功的概率为， 由于甲、乙两个小组的开发相互独立, 所以两种芯片开发都成功的概率. （2）该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功， 根据对立事件可知获奖的概率： . 例题2 （2023广西）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）．结果如下：（已按从小到大的顺序排列）． 上半月：55  70  75  80  80  84  84  85  86  89 91  94  96  99  104 下半月：74  75  83  85  85  87  93  94  97  99 101  102   107   107  117 (1)请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差； (2)一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求．请问：每天应该进多少千克荔枝？ 【答案】(1)中位数为88，极差为62； (2)100千克 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据中位数和极差公式即可； （2）根据题意直接计算即可. 【详解】（1）将所有数据从小到大排列： ， ， 中位数为第15，16个数的平均数，即， 极差为. （2），数据从小到大排列，第24,25个数据分别为99,101，. 每天应该进100千克荔枝. 例题3 （2023湖南衡阳）某中学为了提高学生学习数学的兴趣，举行了一次数学竞赛，共有600名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分为正整数，满分为150分），经统计，得到如图所示的频率分布表和频率分布直方图．          组号 分组 频数 频率 1 4 0.1 2 8 0.2 3 x y 4 8 0.2 5 2 0.05 6 2 0.05 合计 (1)求图中的x，a的值； (2)估计这600名学生竞赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果精确到整数）． 【答案】(1)， (2)116分 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）根据频率之和为求得，进而求得，的值. （2）根据平均数的求法求得平均成绩. 【详解】（1）由题图得， ， 又∵， ∴， ∴图中x，a的值分别为16和0.04． （2）（分） ∴这600名学生竞赛的平均成绩为116分． 1．某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 【答案】(1)8环 (2) (3) 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）根据众数定义并结合频数分布图即可得到答案； （2）根据频率估计概率即可得到答案； （3）根据频率估计概率并结合独立事件的乘法公式即可得到答案. 【详解】（1）根据频数分布图得该名运动员100次射靶中，射中8环的频数最多， 则这名运动员射击成绩的众数为8环. （2）由题意，该运动员在100次训练中，射中9环的频数为25， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中9环的概率为. （3）由题意，该运动员在100次训练中，射中大于8环的频数为， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中大于8环的概率为， 则根据独立事件的乘法公式得他两次命中环数都大于8环的概率为. 2．对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据    (1)求的值； (2)已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户； (3)求第50百分位数． 【答案】(1) (2)200 (3)200 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）先求用电量在150以下的频率，进而可得结果； （3）根据题意结合百分位数的定义运算求解. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得. （2）由题意可知：用电量在150以下的频率为， 所以用电量在150以下的有户. （3）因为，所以第50百分位数为200. 3．甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下： 甲 乙 求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况. 【答案】甲分数的平均数为，方差为， 乙分数的平均数为，方差为， ，，甲乙分数的平均数相同，但甲比乙发挥更为稳定. 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】根据平均数和方差公式可求得甲和乙分数的平均数和方差，结合平均数与方差的大小关系可得出结论. 【详解】解：甲分数的平均数为， 方差为， 乙分数的平均数为， 方差为， 所以，，，故甲乙分数的平均数相同，但甲比乙发挥更为稳定. 考点七 立体几何 例题1 （2024浙江）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，点M在线段PD上且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1) ∵，平面平面，平面， 平面平面， 平面， 又平面，， 又， 由余弦定理得， 则，， 又平面， 平面； (2) (3) 【知识点】空间角与距离 【分析】（1）利用面面垂直的性质证明平面，则有，再利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）过作，交于点，利用面面垂直的性质证明平面，再根据棱锥的体积公式即可得解； （3）过作交于点，则即为二面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）略 （2）过作，交于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则， 所以； （3）过作交于点，连接， 因为平面，平面， 所以， 则即为二面角的平面角， 在中，，所以， 所以二面角的正切值为.    例题2 （2025北京）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面；    (2)求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A． B． ② A．平面 B．平面 ③ A． B． ④ A． B． ⑤ A．平面 B．平面 ⑥ A． B． 【答案】(1)①A，②A (2)③A，④A，⑤B，⑥B 【知识点】空间位置关系的证明 【分析】根据题目条件逐项将证明过程补充完整即可. 【详解】（1）①线线平行，即，所以选A； ②直线在平面外，即平面，所以选A. 故选：A，A. （2）③等腰三角形底边上“三线合一”，即，所以选A； ④直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选A； ⑤直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面，即平面，所以选B； ⑥直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选B. 故选：A，A，B，B. 例题3 （2024江苏）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1) 由题，四边形为正方形，则AB. 又平面，面，则平面； (2) 由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则平面 【知识点】空间位置关系的证明 【分析】（1）通过证明AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）略 （2）略 1．如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 【答案】(1) 在直三棱柱中，连接， 由，得F是的中点，而E为的中点，则， 又平面，平面，所以平面． (2)12. 【知识点】空间几何体的表面积与体积 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合线面垂直的判定证得平面，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）由，得，则， 由直三棱柱，得平面，而平面，则， 平面，于是平面， 所以四棱锥的体积. 2．如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 【答案】(1) 证法一：由题意知，为正三角形， D为AC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 证法二：如图，取中点E，连接DE，BE， 则或其补角即为异面直线与BD所成的角， 在中，，，， 则为直角三角形，， 即异面直线与BD所成的角为直角， 故. (2) 【知识点】空间几何体的表面积与体积 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得. （2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可. 【详解】（1）略 （2）因为为正三角形，，所以， 所以的面积， 又平面ABC，所以，， 所以的面积， 的面积， 由（1）可知，平面，所以，， 所以的面积， 所以三棱锥的表面积. 3．如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1) 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. (2) ∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 【知识点】空间位置关系的证明 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 训练 1．设，当时，对应值的集合为． (1)求的值． (2)若，求该函数的最值． 【答案】(1) (2)，． 【知识点】函数的基本性质 【详解】（1）由题意知，即，则为其两根， 由根与系数的关系知：，得， ，得． （2）由（1）知：， 因为，所以当时，， 又因为， 所以当时，． 2．已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）利用两角和辅助角公式将函数化为的形式，通过正弦函数的对称轴计算的对称轴方程； （2）由（1）可计算整体的范围，根据正弦函数图象的性质计算值域． 【详解】（1）． 令，整理得， 所以函数的图象的对称轴方程为． （2）由（1）得， 由于，所以， 则，所以， ∴函数的值域为． 3．已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）根据偶函数的定义结合的解析式列出等式，即可求出的值； （2）分别求出在上的值域，在上的值域，根据两者值域的关系列出不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． （2）已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 4．已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）利用韦达定理将，代入计算可得； （2）利用作差法以及两根之间的关系，再由不等式性质计算可判断结论. 【详解】（1）依题意可得的两根分别为； 若，，可得， 解得； （2）易知， 所以，则； 所以， 由可得， 又可得，所以，即； 因此. 所以. 5．已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】指对幂函数及函数的应用 【分析】（1）先求出的定义域，再根据对数函数的单调性求解不等式即可； （2）将只有一个零点，转化为关于的方程只有一个正根，分类讨论和分别求解即可． 【详解】（1），， ， ，， 的定义域， 中，，的定义域． ， ， ， ，即， 不等式的解集为． （2），， ， 函数只有一个零点， 只有一解， ，， ，， ， ， 恒成立， 关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，，则有， 方程的两个根只能异号， ， ，此时方程只有一个正根，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为或． 6．已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. (2) 【知识点】函数的基本性质 【分析】(1)先求函数定义域，通过计算为定值，证明函数图像关于点中心对称； (2)利用复合函数“同增异减”法则与一次函数单调性，判断时在定义域内单调递减，再结合定义域约束与单调性解不等式. 【详解】（1）略 （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减， 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以， 故若，关于的不等式的解集是 7．已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数的基本性质 【分析】(1)先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数的标准形式,根据给定区间确定化简后中角的取值范围，结合正弦函数的单调性求值域. (2)先写出的表达式，求出其单调递增区间的通式，因为区间是单调递增区间的子集，所以列出关于的不等式组，结合求解. (3)先将问题转化为在上的最大值小于在上的最小值，再利用同角三角函数的平方关系将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求最大值，进而求解的范围. 【详解】（1） 当时，, 由正弦函数性质，上的取值范围是， 因此： 即在该区间的值域为 （2），正弦函数的单调递增区间为： . 解得. 已知在上单调递增，因此该区间必须是上述某个递增区间的子区间， 令区间为某一单调递增区间的子集， 所以，解得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 所以， 因为，所以. （3）题意等价于：对任意恒成立， 即在上的最大值小于在上的最小值， 由(1)知的最小值为，因此只需对所有恒成立. 对换元：令，当时，，且，代入得： , 即二次函数，开口向下，对称轴为，其在上的最大值需小于： 当时，在上单调递减，最大值为，解得，结合前提得； 当时，在对称轴处取最大值，该不等式恒成立，即； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，结合前提得. 综上的取值范围为. 8．已知． (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值； (3)求函数在上的单调递增区间． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）根据正弦函数的性质计算可得． 【详解】（1） ， 所以的最小正周期； （2）因为，即， 所以， 又，所以， 所以， 所以 ； （3）令，， 解得，． 当时，； 当时，． 所以函数在上的单调递增区间为，． 9．已知 (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数的基本性质 【分析】（1）先利用诱导公式化简得，将所求齐次式转化为关于的表达式代入计算即可； （2）利用两角和的正切公式求，结合角的取值范围确定角的值. 【详解】（1）由题意得：， 所以，所以， 所以； （2）由有：， 所以， 又，所以， 所以. 10．函数部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像沿着轴向右平移个单位，再将所得函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像． ①写出函数的解析式； ②当时，函数和的图像的交点为，试求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】三角函数的图象与性质 【分析】（1）根据图像易得，再求出周期可求出，再利用函数过点即可求得，进而可得函数的解析式； （2）①利用平移变换与伸缩变换可求得的解析式. ②由题意可得，解方程求得方程的解，进而可求得的值. 【详解】（1）由题意可得，，所以， 所以，解得，所以， 又因为函数过点，所以， 所以，所以，所以 又，所以，所以； （2）①由（1）可知， 将函数的图像沿着轴向右平移个单位可得函数的图象； 再将函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍， 得到函数的图象，即； ②由题意得，所以， 所以， 所以， 所以； 所以或， 所以或， 因为，所以， 所以或或， 解得或或，所以， 所以. 11．江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求a的值； (2)求B品种小麦千粒重的中位数； (3)用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）根据频率之和为求得， （2）根据中位数的求法求得品种小麦千粒重的中位数， （3）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率. 【详解】（1）根据题意可得 ，解得； （2）设品种小麦千粒重的中位数为， 由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为. （3）法一：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于， 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于， 则又相互独立， 所以 . 法二：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于 又相互独立，所以相互独立， ， . 12．某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）先由频率分布直方图求出分数在的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得班级参加测试的人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意的基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，分数在的频率为； 由茎叶图知，分数在之间的频数为2，所以班级参加测试的人数为. （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为. （3）将之间的5个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共21个， 其中，至少有一份分数在之间的基本事件有 共11个， 故至少有一份分数在之间的概率是. 13．2026年7月，某市将举办足球超级联赛，其中志愿者的服务工作是联赛举办的重要保障．该市开展了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和估计这100名候选者面试成绩的分位数； (2)现从第二组和第四组用分层随机抽样的方法选取18人，若选取的第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为61和45，选取的第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为79和55，请据此估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．（结果精确到0.1） 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 【答案】(1)； (2) 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出，再利用66%分位数的定义求解. （2）利用分层抽样的平均数、方差公式计算即得. 【详解】（1）因为， 所以； 因为， 所以面试成绩的分位数位于第三组， 故面试成绩的分位数为. （2）因为第二组和第四组人数比为， 所以第二组和第四组所有面试者的成绩的平均数为， 方差为 14．电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 【答案】(1)众数为35，平均数为30，中位数为30.8． (2)平均数为32，方差为． 【知识点】统计图表与数字特征 【分析】（1）根据频率分布直方图中，众数为最高矩形的中点，中位数为将矩形面积平均分的位置，平均数为各矩形中点与面积乘积的和进行计算； （2）利用均值和方差的计算公式，计算合并后的均值和方差． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即． 平均数为： ． 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内． 设中位数为，则， 解得． 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8． （2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为． 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则． 由题意知，，；，． 则合并后的平均数． 合并后的方差 ． 故两组年龄合并后的平均数为32，方差为． 15．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理即可求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合正弦定理及已知的值求出边长，最后由余弦定理求出，即可得到三角形周长. 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得. 所以. 由余弦定理， 因为，故. （2）由，所以. 由正弦定理， 得， 所以（）. 由余弦定理， 得，即 所以（）. 所以的周长为. 16．已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)设的面积为，，是边的中点. （i）求的周长； （ii）求边上中线的长. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1 【知识点】解三角形 【详解】（1）由条件得， 又，故， 所以得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）（i）由的面积为，得， 又，， 所以， 所以，所以的周长为. （ii）因为是中点，所以， 所以， 所以.即边上的中线的长为1. 17．在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】解三角形 【分析】（1）先根据正弦定理及两角和的正弦公式得到，进而即可求解； （2）先根据题意及正弦定理得到，再结合（1）由余弦定理得到，整理这两式得到，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）因为，则由正弦定理得， 又在中，，且，则， 所以， 整理得， 又，得，则． （2）若，则由正弦定理得，所以，， 又，所以，所以， 又结合（1）由余弦定理得，所以， 所以，解得（负解舍）， 所以． 18．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧棱底面，且，是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)连接交于点，连接. 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为中点，而是的中点，∴. 又平面平面， ∴平面· (2) (3).·· 【知识点】空间位置关系的证明 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线和线面平行的判定定理即可. （2）取的中点，由平行关系可知是异面直线与所成角；利用线面垂直的判定和性质可证得，由长度关系求得即可； （3）由线面角定义可知所求角为，由长度关系求得即可. 【详解】（1）略 （2）在三棱柱中，取的中点，连接. ∵在三棱柱中，是的中点，∴四边形为平行四边形. ∴，∴四边形为平行四边形. ∴. ∴是异面直线与所成角（或其补角）. ∵底面是等腰直角三角形，是的中点， ∴，∴. ∵侧棱平面，平面，∴. 又∵，平面 ∴平面，又∵平面，∴. 在中，，. 在中，. 在中，. 则异面直线与所成角的余弦值.    （3）由（2）知平面， ∴是直线与平面所成角. 在中，. 在中，. 直线与平面所成角的正切值. 19．如图，在直三棱柱中，E为的中点，点D为的中点，，．    (1)求证：平面BCD． (2)若H为上的动点，求证：． (3)求点B到平面的距离 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为E、分别为AB、的中点，所以为中位线，则且， 又四边形为平行四边形，点D为的中点，所以且， 所以且，因此四边形为平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD，所以平面BCD； (2)连接，因为，E为AB的中点，所以， 在直三棱柱中，平面平面，又平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以； (3) 【知识点】空间位置关系的证明 【分析】（1）先取中点，由三角形中位线可得平行和数量关系，再根据线面平行的判定定理即可得出证明；（2）由直棱柱可得面面垂直，进而可得线面垂直，最后根据线面垂直的性质得出证明；（3）利用即可求出点B到平面CDE的距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取中点，连接，，，设点B到平面CDE的距离为， 由勾股定理易知，则，， 又，， 因为，则，所以， 因此，即点B到平面CDE的距离为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 解答题全考点综合 【析】学考考查要点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 研|核心考点精讲 考点一 函数的基本性质 考点二 指对幂函数及函数的应用 考点三 三角函数 考点四 解三角形 考点五 平面向量 考点六 概率统计 考点七 立体几何 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数 函数的基本性质 理解单调性、奇偶性，会求最值并分析函数性质 掌握 解答 指对幂函数及函数的应用 掌握指、对、幂函数的图象与性质，会建立函数模型解决实际问题 掌握 解答 三角 三角函数的图象与性质 会求周期、单调区间、对称轴与值域，会分析图象变换 掌握 解答 三角恒等变换 会用两角和与差、二倍角公式进行化简、求值与证明 掌握 解答 解三角形 会用正弦定理、余弦定理解三角形并解决实际应用问题 掌握 解答 向量 平面向量的线性运算 理解向量加减、数乘运算及共线定理，会用基底表示向量 理解 解答 平面向量的坐标运算与数量积 会坐标运算，会用数量积求夹角、模，判断垂直与平行 掌握 解答 概率统计 统计图表与数字特征 会读频率分布直方图，求频率、频数及平均数、方差等数字特征 掌握 解答 古典概型与独立事件 会求古典概型概率及相互独立事件同时发生的概率 掌握 解答 立体几何 空间几何体的表面积与体积 会求柱、锥、台、球的表面积与体积及相关最值 掌握 解答 空间位置关系的证明 会用判定与性质定理证明线面、面面平行与垂直 掌握 解答 空间角与距离 会求线面角、二面角及点到平面的距离 掌握 解答 考点一 函数的基本性质 例题1 （2027全国）已知是上的奇函数，且当时，，求： (1)； (2)时的表达式； (3)的表达式. 例题2 （2024福建）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 例题3 （2027全国）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 1．已知函数（a为常数）的图象过点． (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 2．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 考点二 指对幂函数及函数的应用 例题1 （2024安徽淮北）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 例题2 （2025）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 例题3 （2023山东）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断在其定义域上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式． 1．已知函数，. (1)写出函数的单调区间； (2)求函数的最大值； (3)求证：方程有唯一实根，且. 2．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 3．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 考点三 三角函数 例题1 （2023广西）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 例题2 （2024新疆）已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 例题3 （2024浙江杭州）已知函数. (1)求的图象的对称中心； (2)当时，求的最值. 1．已知函数． (1)求函数的最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间． 2．已知向量，， (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的值； (3)设函数，求的值域. 3．已知函数. (1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)若，且，求的值. 考点四 解三角形 例题1 （2023云南）在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 例题2 （2023广东）在中，内角的对边分别为，，，． (1)求； (2)求． 例题3 已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 1．在中，角的对边分别是，且，，． (1)求的值； (2)求的值． 2．的内角的对边分别为，面积为．已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长． ①；②． 3．在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 考点五 平面向量 例题1 （2023广西）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 例题2 （2024天津南开）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 例题3 （2024湖南株洲）已知函数已知向量，， (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的值； (3)设函数，求的值域. 1．已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 2．已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 3．已知 (1)若且为锐角，求的值； (2)求函数的最大值． 考点六 概率统计 例题1 （2023浙江）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立. (1)求两种芯片都开发成功的概率； (2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率. 例题2 （2023广西）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）．结果如下：（已按从小到大的顺序排列）． 上半月：55  70  75  80  80  84  84  85  86  89 91  94  96  99  104 下半月：74  75  83  85  85  87  93  94  97  99 101  102   107   107  117 (1)请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差； (2)一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求．请问：每天应该进多少千克荔枝？ 例题3 （2023湖南衡阳）某中学为了提高学生学习数学的兴趣，举行了一次数学竞赛，共有600名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分为正整数，满分为150分），经统计，得到如图所示的频率分布表和频率分布直方图．          组号 分组 频数 频率 1 4 0.1 2 8 0.2 3 x y 4 8 0.2 5 2 0.05 6 2 0.05 合计 (1)求图中的x，a的值； (2)估计这600名学生竞赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果精确到整数）． 1．某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 2．对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据    (1)求的值； (2)已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户； (3)求第50百分位数． 3．甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下： 甲 乙 求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况. 考点七 立体几何 例题1 （2024浙江）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，点M在线段PD上且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值. 例题2 （2025北京）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面；    (2)求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A． B． ② A．平面 B．平面 ③ A． B． ④ A． B． ⑤ A．平面 B．平面 ⑥ A． B． 例题3 （2024江苏）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 1．如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 2．如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 3．如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 练 1．设，当时，对应值的集合为． (1)求的值． (2)若，求该函数的最值． 2．已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数在区间上的值域． 3．已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 4．已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 5．已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 6．已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 7．已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 8．已知． (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值； (3)求函数在上的单调递增区间． 9．已知 (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 10．函数部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像沿着轴向右平移个单位，再将所得函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像． ①写出函数的解析式； ②当时，函数和的图像的交点为，试求的值． 11．江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求a的值； (2)求B品种小麦千粒重的中位数； (3)用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 12．某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 13．2026年7月，某市将举办足球超级联赛，其中志愿者的服务工作是联赛举办的重要保障．该市开展了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和估计这100名候选者面试成绩的分位数； (2)现从第二组和第四组用分层随机抽样的方法选取18人，若选取的第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为61和45，选取的第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为79和55，请据此估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．（结果精确到0.1） 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 14．电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 15．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 16．已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)设的面积为，，是边的中点. （i）求的周长； （ii）求边上中线的长. 17．在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，且，求的面积． 18．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧棱底面，且，是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正切值. 19．如图，在直三棱柱中，E为的中点，点D为的中点，，．    (1)求证：平面BCD． (2)若H为上的动点，求证：． (3)求点B到平面的距离 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $