学考专题07 平面向量与复数：知识梳理+考点精讲精练+实战训练（讲义，全国通用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题07 平面向量与复数 【析】命题方向解读|【汇】知识清单盘点|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心专题精讲 考点一 平面向量的概念 考点二 平面向量的运算 考点三 平面向量基本定理 考点四 平面向量坐标运算 考点五 平面向量数量积 考点六 余弦定理 考点七 正弦定理 考点八 余弦定理、正弦定理综合应用 考点九 复数的概念及四则运算 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 平面向量 平面向量的概念 理解向量、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量等概念 了解 选择、填空 平面向量的线性运算 掌握向量的加法、减法与数乘运算，理解向量共线定理 掌握 选择、填空 平面向量基本定理 理解平面向量基本定理，会在具体问题中选取合适基底 理解 选择、填空、解答 平面向量的坐标运算 掌握向量加减、数乘及共线条件的坐标表示 掌握 选择、填空、解答 平面向量的数量积 理解数量积的概念与几何意义，会求模长、夹角与投影 理解/掌握 选择、填空、解答 解三角形 正弦定理 掌握正弦定理，会解三角形 掌握 选择、填空、解答 余弦定理 掌握余弦定理，会解三角形 掌握 选择、填空、解答 正、余弦定理的综合应用 会用正、余弦定理及面积公式解决实际测量问题 掌握 选择、填空、解答 复数 复数的概念 理解实部、虚部、复数相等、共轭复数与复数的分类 理解 选择、填空 复数的几何意义 理解复数与复平面内点的对应关系，会求复数的模 理解 选择、填空 复数的四则运算 掌握复数的加、减、乘、除运算 掌握 选择、填空、解答 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法：向量或；模或. （2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示. 特别的：非零向量的单位向量是. （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2、向量的线性运算 （1）向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （2）向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. （3）向量的数乘 向量数乘的定义: 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 3、共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4、向量的夹角 已知两个非零向量和，如图所示，作，，则 ()叫做向量与的夹角，记作． (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作； 当时，两向量，共线但反向． 5、数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：. 6、平面向量的基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底： 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一； （3）用基底两种表示，即，则，进而求参数. 7、平面向量的坐标运算 （1）向量加减：若，则； （2）数乘向量：若，则； （3）任一向量：设，则. 8、平面向量共线的坐标表示 若，则的充要条件为 9、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量，为向量和的夹角： （1）数量积 （2）模： （3）夹角： （4）非零向量的充要条件： 10、正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 11、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 12、三角形常用面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 13、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 14、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 15、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 16、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 17、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 18、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 19、复数的四则运算 （1）复数的加法法则 设，i，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （3）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （4）复数的除法法则 （） 考点一 平面向量的概念 例题1 （2023黑龙江）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【知识点】平面向量的概念 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 例题2 （2023广西）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的概念 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 1．已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】平面向量的概念 【详解】是模相等，不一定向量相等；若，则． 因此“”是“”的必要不充分条件． 2．（多选）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 【答案】ACD 【知识点】平面向量的概念 【分析】对于A，由向量加法的平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分即可判断；对于B，与共线的单位向量可能同向，可能反向，从而可判断；对于C，两边平方之后化简，再结合矩形的特征即可判断；对于D，根据数量积的运算展开，再结合菱形的特征即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量为和，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为菱形，故D正确. 故选：ACD. 考点二 平面向量的运算 例题1 （2023北京）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形是菱形， 所以根据向量加法的平行四边形法则知，， ，故C对D错； 因为向量方向不同，所以，，故AB错误. 故选：C 例题2 （2025湖南）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 例题3 （2024安徽）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 1．已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】根据数量积的定义求解. 【详解】. 故选：B 2．如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】利用平面向量加法法则求解即可. 【详解】由平面向量加法法则得，故B正确. 故选：B 3．在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】由图及向量加减法可得答案. 【详解】由图可得，. 故选：A 考点三 平面向量基本定理 例题1 （2026湖南长沙）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（   ） A．5 B．15 C．40 D．60 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】由于与共线，向量与向量不共线， 所以，所以. 故选：B. 例题2 （2024广东）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为______. 【答案】/ 【知识点】平面向量基本定理 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，则 故答案为： 1．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理 【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】， ， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 2．已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为_________. 【答案】 【知识点】平面向量基本定理 【分析】利用共线且方向相同的向量性质，设正实数比例系数使得，结合平面向量基本定理列方程求解，舍去反向解即可. 【详解】因为向量与方向相同，故存在正实数，使得， 因为，，所以 ， 由于不共线，所以 且 ，将代入第二个方程，整理得，解得或， 当时，，此时与方向相反，不符合题意，舍去； 当时，，满足与方向相同， 故的值为. 考点四 平面向量坐标运算 例题1 （2024云南）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 例题2 （2024浙江）若，，（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】先求得，进而可得模长. 【详解】因为，，则， 所以. 故选：B. 例题3 （2023江苏）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案. 【详解】由已知向量， 可得， 由可得， 即，解得， 故选：D 1．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 2．已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】直接根据向量以及平行的坐标运算求解即可. 【详解】， ， 又， ， 解得. 故选：B. 3．已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 考点五 平面向量数量积 例题1 （2025湖南）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的数量积 【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：D. 例题2 （2024云南）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的数量积 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，平面向量，且， 则，解得. 故选：A. 例题3 （2024浙江）已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的数量积 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用坐标法计算数量积，结合的取值范围，即可得解. 【详解】如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则， 所以，， 所以. 故选：B 1．已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 【答案】B 【知识点】平面向量的数量积 【分析】利用向量数量积的坐标表示直接求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以， 故选：B 2．已知向量，且，则_____． 【答案】 【知识点】平面向量的数量积 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，可得. 故答案为： 3．如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【知识点】平面向量的数量积 【分析】本题可通过建立平面直角坐标系，结合蜂巢的图形并利用向量的坐标运算来逐一分析三个结论． 【详解】①因为正六边形边长为1，由图形可知，该六边形最长的对角线为2，到在竖直方向上间隔2个最长对角线以及1个正六边形边长对应的距离，最长对角线， 故，①正确． ②建立如图所示平面直角坐标系，由且AB在竖直方向， 可得，则，设，那么，则， 要使最大，需要最大，结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中M点时）， 此时，即的最大值为25，②正确． ③同样基于②建立的平面直角坐标系，虽然C、D两点异于A、B两点，但因为图中蜂巢的对称性， C、D两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得C、D两点相距最远，两点之间应靠近边界，根据对称性，可假设C点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑D点位于y轴左边即可，所以. 由图观察可见，离C点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形MNPQRS，其中，U为PR中点，，，， 在正六边形MNPQRS中，外边界四点P、N、M、S离C点相对较远， 对应坐标为，即，，即， ，即，，即， 可知，，所以外边界四点P、N、M、S中，只需要考虑M、N两点， 因、，故应取更大的，③正确． 故答案为：①②③． 考点六 余弦定理 例题1 （2025四川）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】余弦定理 【分析】利用余弦定理直接代入公式计算可得结果. 【详解】由余弦定理可得， 解得. 故选：A 例题2 （2025湖南株洲）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【知识点】余弦定理 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 例题3 （2024江苏）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 1．在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【知识点】余弦定理 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：B 2．在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】余弦定理 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：A 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】 【知识点】余弦定理 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 考点七 正弦定理 例题1 （2025陕西）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理 【分析】由正弦定理、三角形内角和定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以. 故选：D. 例题2 （2024河北）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理 【分析】由正弦定理求出，结合，故，所以. 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，故，所以. 故选：C 例题3 （2024安徽）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理 【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到. 【详解】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 1．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，， 所以， 故选：D 2．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理 【分析】根据正弦定理可求，从而可求. 【详解】由正弦定理可得，故， 因为，故，故为锐角，故， 故选：A. 3．中，角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理 【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形即可. 【详解】在中，由正弦定理得： ， 而，则在中有，则， 所以. 故选：A. 考点八 余弦定理、正弦定理综合应用 例题1 （2024江苏）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 例题2 （2024福建）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1) 因为，所以， 化简得，即，所以是等腰三角形. (2) 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【详解】（1）略 （2）由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积为. 例题3 （2024云南）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 例题4 （2024湖北）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】若选择①，根据面积公式求，再根据余弦定理求，即可求解周长； 若选项②，根据面积公式求角以及角，再结合，即可求解周长. 【详解】若选择①， ，得， ， 得，所以； 若选择②， ，得，因为，所以， 那么，， ，得，，， 所以， 所以的周长为. 1．如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距________km.    【答案】 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】由条件可得，，，利用余弦定理求 【详解】由条件可得，，， 由余弦定理可得， 所以， 故. 故答案为：. 2．已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. （2）因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)若，，求b． 【答案】(1)60° (2) 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】（1）应用余弦定理计算结合角的范围即可求角； （2）先计算角，再应用正弦定理求边长即可. 【详解】（1）因为， 所以． 因为，所以． （2）因为， 由正弦定理得，，． 4．在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 所以，又，则， 得到，所以. （2）由正弦定理知，又，所以，， 由，得到，整理得到， 所以，又， 所以， 得到，其中， 又，， 则，， 则，解得， 所以边的取值范围为. 考点九 复数的概念及四则运算 例题1 （2025湖南）已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】A 【知识点】复数的概念 【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 例题2 （2025北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的几何意义 【分析】利用复数的几何表示即可得. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 例题3 （多选）（2025陕西）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】复数的概念 【分析】由模的计算公式判断A，由共轭复数的概念判断B，由复数乘法、减法判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 1．复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】复数的四则运算 【分析】根据复数模的定义计算． 【详解】 故选：C. 2．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的几何意义 【分析】由复数几何意义可得答案. 【详解】在复平面对应的点为，该点在四象限. 故选：D 3．已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的四则运算 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C. 训练 1．已知复数满足（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】复数的四则运算 【分析】根据复数的运算法则先求出，再结合共轭复数的定义及模的公式求解即可. 【详解】由，则， 则，所以. 故选：B. 2．已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的四则运算 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 3．已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】由向量线性关系的坐标运算求参数值. 【详解】由，即，可得. 故选：D 4．已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的数量积 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 5．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】由向量平行的充要条件即可列方程求解. 【详解】已知平面向量，，若，则，解得. 故选：C. 6．已知向量，则向量的模（长度）为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【知识点】平面向量的数量积 【分析】由模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D 7．已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的数量积 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 8．如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 9．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的数量积 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 10．如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 11．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的线性运算 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 12．已知是实数，且，则x+y=_______ 【答案】7 【知识点】复数的四则运算 【分析】根据给定条件，利用复数相等求出即可得解. 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 13．已知，且，则______. 【答案】 【知识点】平面向量的数量积 【分析】根据，结合条件求模长. 【详解】. 故答案为：. 14．向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的坐标运算 【分析】（1）根据平行向量的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得出参数，再根据模的坐标运算即得. 【详解】（1）因为所以，则． （2）因为，，所以，． ，． 15．已知，其中向量， (1)求的最小正周期； (2)在中，角的对边分别为，若，求角的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的数量积 【分析】（1）利用平面向量数量积公式以及辅助角公式化简再应用周期公式求解； （2） 先由求得，再利用正弦定理可求的值. 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴， 由. （2）∵， ∴知， 于是，解得， 由正弦定理,得， ∴. 16．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简可求； （2）结合，结合两角差正弦，余弦公式，同角关系化简目标解析式，可得，结合正切函数性质，不等式性质可求其范围. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以，即； 因为，所以； （2）由（1）知，， 所以 ； 因为，所以． 17．已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）由正弦定理求出，结合同角的三角函数关系式即可求得结果． 【详解】（1）由，得， 由余弦定理，得， 因为，所以； （2）由正弦定理，得，即， 因为，所以，即，所以， 由，得． 18．某市为应急处理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为2百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心O处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心O正东方向相距4百米的点A处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及圆弧外的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”：OC的长为“最远直接监测距离”.设. (1)求“直接监测覆盖区域”的面积的最大值： (2)试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦定理的综合应用 【分析】（1）先利用余弦定理表示出，再利用面积公式表示出四边形的面积即可求解（2）建立平面直角坐标系，求出点坐标，由两点间的距离公式表示出，利用辅助角公式即可求解 【详解】（1）在中, , 即    令 , 则 “直接监测覆盖区域” 的面积的最大值: （2） 以点为坐标原点,以OA方向为轴正方向,以垂直于的正北方向为轴正方向,建立直角坐标系如图 : 则, ,， 设点,由题意有:， 即   解得 : ， 当，即时,取得最大值: ， 当时,使得"最远直接监测距离"最大为: 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量与复数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 平面向量的概念 考点二 平面向量的运算 考点三 平面向量基本定理 考点四 平面向量坐标运算 考点五 平面向量数量积 考点六 余弦定理 考点七 正弦定理 考点八 余弦定理、正弦定理综合应用 考点九 复数的概念及四则运算 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 平面向量 平面向量的概念 理解向量、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量等概念 了解 选择、填空 平面向量的线性运算 掌握向量的加法、减法与数乘运算，理解向量共线定理 掌握 选择、填空 平面向量基本定理 理解平面向量基本定理，会在具体问题中选取合适基底 理解 选择、填空、解答 平面向量的坐标运算 掌握向量加减、数乘及共线条件的坐标表示 掌握 选择、填空、解答 平面向量的数量积 理解数量积的概念与几何意义，会求模长、夹角与投影 理解/掌握 选择、填空、解答 解三角形 正弦定理 掌握正弦定理，会解三角形 掌握 选择、填空、解答 余弦定理 掌握余弦定理，会解三角形 掌握 选择、填空、解答 正、余弦定理的综合应用 会用正、余弦定理及面积公式解决实际测量问题 掌握 选择、填空、解答 复数 复数的概念 理解实部、虚部、复数相等、共轭复数与复数的分类 理解 选择、填空 复数的几何意义 理解复数与复平面内点的对应关系，会求复数的模 理解 选择、填空 复数的四则运算 掌握复数的加、减、乘、除运算 掌握 选择、填空、解答 1、向量的有关概念 （1）向量：既有 又有 的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法：向量或；模或. （2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作 . （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示. 特别的：非零向量的单位向量是 . （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为 ； 特别的：与任一向量平行或共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2、向量的线性运算 （1）向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （2）向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. （3）向量的数乘 向量数乘的定义: 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ；当时，. 3、共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数， . ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4、向量的夹角 已知两个非零向量和，如图所示，作，，则 ()叫做向量与的夹角，记作． (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作； 当时，两向量，共线但反向． 5、数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即 ，其中θ是与的夹角，记作：． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：. 6、平面向量的基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底： 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一； （3）用基底两种表示，即，则，进而求参数. 7、平面向量的坐标运算 （1）向量加减：若，则； （2）数乘向量：若，则； （3）任一向量：设，则. 8、平面向量共线的坐标表示 若，则的充要条件为 9、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量，为向量和的夹角： （1）数量积 （2）模： （3）夹角： （4）非零向量的充要条件： 10、正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 11、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 12、三角形常用面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 13、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足 .全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做 复数的 与 . 14、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 15、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 16、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 17、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 18、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则 . 19、复数的四则运算 （1）复数的加法法则 设，i，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （3）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （4）复数的除法法则 （） 考点一 平面向量的概念 例题1 （2023黑龙江）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 例题2 （2023广西）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 1．已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 考点二 平面向量的运算 例题1 （2023北京）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 例题2 （2025湖南）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 例题3 （2024安徽）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 1．已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 3．在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 考点三 平面向量基本定理 例题1 （2026湖南长沙）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（   ） A．5 B．15 C．40 D．60 例题2 （2024广东）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为______. 1．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 2．已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为_________. 考点四 平面向量坐标运算 例题1 （2024云南）若，，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024浙江）若，，（    ） A．10 B． C． D． 例题3 （2023江苏）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 1．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D．1 3．已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 考点五 平面向量数量积 例题1 （2025湖南）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 例题2 （2024云南）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024浙江）已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 2．已知向量，且，则_____． 3．如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______. 考点六 余弦定理 例题1 （2025四川）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例题2 （2025湖南株洲）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 例题3 （2024江苏）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 1．在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 2．在中，，则（    ） A． B． C． D．3 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 考点七 正弦定理 例题1 （2025陕西）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024河北）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024安徽）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 1．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．中，角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 考点八 余弦定理、正弦定理综合应用 例题1 （2024江苏）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 例题2 （2024福建）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 例题3 （2024云南）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 例题4 （2024湖北）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 1．如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距________km.    2．已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，求． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)若，，求b． 4．在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 考点九 复数的概念及四则运算 例题1 （2025湖南）已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 例题2 （2025北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 例题3 （多选）（2025陕西）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 1．复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 练 1．已知复数满足（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 4．已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，则向量的模（长度）为（    ） A． B．0 C． D．1 7．已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 12．已知是实数，且，则x+y=_______ 13．已知，且，则______. 14．向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 15．已知，其中向量， (1)求的最小正周期； (2)在中，角的对边分别为，若，求角的值． 16．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 17．已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求． 18．某市为应急处理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为2百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心O处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心O正东方向相距4百米的点A处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及圆弧外的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”：OC的长为“最远直接监测距离”.设. (1)求“直接监测覆盖区域”的面积的最大值： (2)试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $