学考专题05 函数与方程及其函数模型应用：知识梳理+考点精讲精练+实战训练（讲义，全国通用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题05 函数与方程及其函数模型应用 【析】命题方向解读|【汇】知识清单盘点|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心专题精讲 考点一 求函数的零点 考点二 求函数的零点个数 考点三 用零点存在性定理判断零点所在区间 考点四 零点存在性定理的应用 考点五 根据零点、方程的根个数求参数范围 考点六 分段函数模型 考点七 指数函数模型 考点八 对数函数模型 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数的零点 函数的零点 理解函数零点的概念，会求简单函数的零点 理解/掌握 选择、填空、解答 零点与方程的根 理解函数零点、方程根、图象交点三者之间的联系 理解 选择、填空 零点存在性定理 掌握零点存在性定理，能判断零点所在区间 掌握 选择、填空、解答 零点个数与参数 能根据零点个数、方程的根个数求参数范围 掌握 选择、填空、解答 函数模型 分段函数模型 会建立分段函数模型解决阶梯计价等实际问题 掌握 选择、填空、解答 指数函数模型 理解指数增长与衰减模型，会解决复利、衰减类问题 理解/掌握 选择、填空、解答 对数函数模型 理解对数增长模型，会解决声强级等实际问题 理解/掌握 选择、填空、解答 函数模型的选取 能根据散点图或数据变化趋势选择合适的函数模型 掌握 选择、填空 1、函数的零点 对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注 意函数的零点不是点，是一个数. 2、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标 即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 4、常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 5、指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点一 求函数的零点 例题1 （2025湖南）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数零点的求法 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 例题2 （2024湖南）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】函数零点的求法 【分析】令，求解方程即得. 【详解】由，设，则得， 解得，从而，所以. 故选：C. 例题3 （2025陕西）函数的零点是_________(写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【知识点】函数零点的求法 【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 1．函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】函数零点的求法 【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点. 【详解】令，则， 即函数的零点为0， 故选：B 2．函数的零点是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】函数零点的求法 【分析】由零点的定义求解即可. 【详解】令，得， 故函数的零点是0. 故选：C 3．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数零点的求法 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 考点二 求函数的零点个数 例题1 （2025四川）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】函数零点个数的判断 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 例题2 （2023浙江）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】函数零点个数的判断 【分析】通过换元，，则可以转化为与的交点的个数，画出图像既可以解决. 【详解】设，则， 令，即， 转化为与的交点，画出图像如图所示：    由图像可知，，所以函数有一个解， 有三个解，故的零点个数是4个. 故选： 例题3 （2025黑龙江）已知函数，则函数的零点个数为__________. 【答案】1 【知识点】函数零点个数的判断 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增且连续， 且，， 所以函数有1个零点， 故答案为：1 1．已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】函数零点个数的判断 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 2．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【知识点】函数零点个数的判断 【分析】根据二次函数与二次方程间的关系，利用判别式即可判断函数的零点个数. 【详解】函数的零点个数等价于根的个数， 因为，即有2个根， 所以函数有2个零点. 故选：C 3．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数零点个数的判断 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 考点三 用零点存在性定理判断零点所在区间 例题1 （2025湖南郴州）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零点所在区间的判定 【分析】先判断函数的单调性，再由，结合函数零点判定定理得答案. 【详解】因为均为增函数， 所以函数在上单调递增， 且，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：D. 例题2 （2023山西）函数（无理数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点所在区间的判定 【分析】确定函数的单调性，计算得到答案. 【详解】当时，，在上单调递增， ，则函数的零点所在的大致区间为. 故选：B 例题3 已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点所在区间的判定 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 1．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点所在区间的判定 【分析】根据对数函数单调性和零点存在性定理即可. 【详解】根据对数函数单调性知为上的单调递增函数， 又因为，，且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C. 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点所在区间的判定 【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项. 【详解】函数为增函数， ，，，， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B 3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数零点的求法 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可. 【详解】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 考点四 零点存在性定理的应用 例题1 （2022河北）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】函数零点的求法 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 例题2 若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数零点的求法 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 例题3 函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【知识点】函数零点的求法 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 1．若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数零点的求法 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 2．函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点所在区间的判定 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 3．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数零点的求法 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 考点五 根据零点、方程的根个数求参数范围 例题1 （2022辽宁）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数零点的求法 【分析】把函数零点个数转化为两个函数的交点个数,数形结合即可求出的范围. 【详解】若函数有三个不同的零点,则有三个根. 即函数与有三个交点,如图,先画出的图像, 当时，即， 当时, 数形结合可以得到 故选: 例题2 已知定义在上的偶函数，当时，．若函数恰有4个零点，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】函数零点的求法 【分析】先根据二次函数图象以及函数奇偶性作出函数图象，再根据图象确定零点恰为4个时对应的取值范围. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且当 x ≥ 0 时 ．所以可作出图象如图， 由图可知当时，与有四个交点，即函数 恰有 4 个零点， 所以 例题3 （2024山东枣庄）已知函数． (1)若，，求的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数的单调性 【分析】（1）将问题转化为方程在上有解，令，进而利用二次函数的性质求解即可； （2）分析易得，将问题转化为在上有解，令，进而利用对勾函数性质求解即可. 【详解】（1）由，，， 得，则，即， 则问题转化为方程在上有解， 令，则， 因为函数在上单调递增，且， 所以要使方程在上有解， 则，解得且， 所以a的取值范围为. （2）， 令，即， 当时，方程为，解得，不符合题意， 则，若，则，此时方程显然不成立， 则，整理方程为， 又， 设， 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，则，又， 解得. 1．若函数在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围为____________． 【答案】 【知识点】函数零点的求法 【分析】利用分离常数法，结合图象来求得的取值范围. 【详解】当时，由得， 画出的图象如下图所示， ，结合图象可知的值域是. 依题意，函数在区间上至少有一个零点， 所以的取值范围是. 故答案为：      2．设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】由零点个数求参数范围 【详解】作出函数草图如图， 当时，；当时，． 由有两个不相等的实数根得函数的图象与直线有两个交点， 所以． 3．已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数零点的求法 【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为且， 所以，解得； （2）由（1）可得， 当时，函数在上单调递减，且； 当时，则在上单调递增， 在上单调递减，且，，即； 所以的图象如下所示： 因为函数在上恰有两个零点， 即函数与在上恰有两个交点， 由图可知或，即实数的取值范围为. 考点六 分段函数模型 例题1 （2023辽宁）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据分段函数分别列不等式组，再结合指数函数及幂函数的单调性运算求解. 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 例题2 （2023江苏徐州）已知函数且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据分段函数解析式，先求得，再求得. 【详解】依题意，或，解得， 所以. 故选：B 例题3 （2022甘肃）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围__________． 【答案】 【知识点】函数的单调性 【分析】根据分段函数的在单调递增建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以有， 解得：， 故答案为：. 1．已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】本题涉及到分段函数的概念。对于分段函数，需要根据自变量的取值范围确定使用哪一段函数表达式进行计算。本题中，所以要根据 这个递推关系逐步将的值转化到的范围，再使用进行计算. 【详解】根据递推关系转化自变量的值 因为，根据，则. 计算.此时，所以. 根据三角函数值可知. 故选：B. 2．若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】函数的值域与最值 【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 若，的值域为，不合题意； 若，则时，，，由于 ， 由题意可知需使； 若，则时，，，， 故需使， 即实数的可能值共有2个， 故选：B 3．已知函数，若，则__________． 【答案】 【知识点】函数解析式的求法 【分析】分和两种情况，将代入对应解析式，即可求得值. 【详解】当时，则，此时无解； 当时，则，解得：，满足条件； 故答案为： 考点七 指数函数模型 例题1 （2024湖北）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数为时，本利和为. 故选：D 例题2 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【答案】B 【知识点】函数值的大小比较 【详解】由题意得，，两式相除得，所以，所以，对应地形为复杂山地. 例题3 放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 【答案】 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】由题意建立方程解得，得到的解析式，即可求出. 【详解】由题意可知，，即， 代入得：，故. 1．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解， 【详解】当时，，代入解析式得，得， 令，解得，即，， 故选；C 2．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数值的大小比较 【详解】由题意可知，即， 当火箭的最大速度为时，， 故此时火箭的燃料占比为. 3．某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 【答案】 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】直接根据函数解析式及条件得不等式，并通过取对数法解指数不等式可得. 【详解】因为，且，得， 即，两边取自然对数得，解得． 因此的最小值为. 考点八 对数函数模型 例题1 （2025山东）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】将已知声强代入声强级计算公式，结合对数运算性质求解即可. 【详解】由声强级公式， 将代入公式，得； 即. 例题2 2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．134 B．269 C．539 D．540 【答案】B 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】将函数值代入求解即可. 【详解】由题意可得，则． 故选：B. 例题3 图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 【答案】 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解. 【详解】由，可得， 即，解得. 1．2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救援行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】代入数据计算，，计算得到答案. 【详解】，；，， . 故选：C 2．我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【知识点】对数函数模型的应用 【详解】若，则，则， 若，则，则， 则，得， 故30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的100倍. 3．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 【答案】9 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 训练 1．某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 【答案】D 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据分段函数的概念即可逐一判断. 【详解】若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故A错误； 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故B错误； 对于第一阶梯，用户缴费的最大值为元，而第二阶梯用户缴费必然大于元，所以若某户居民自来水年缴费为元，则他来自第一阶梯，故C错误. 由C可知：元费用必在第二阶梯或以上，设用水量为，则，解得，因为，故D正确 故选：D 2．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数零点的求法 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：D 3．某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可. 【详解】根据题意列方程：. 故选：C 4．某市政府为平抑房价，2021年计划新建经济适用房1000万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为%，设2024年新建经济住房面积为万平方米，则关于的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据平均增长率的定义写出方程即可得到答案． 【详解】设2024年新建经济住房面积为万平方米，根据平均增长率的定义，则关于的函数是. 故选：B. 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 6．卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象的识别与应用 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. 7．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】函数零点的求法 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 8．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 9．某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据小明的票价分析行程最大值，即可判断. 【详解】因为小明的票价为元，则小明的行程最大为， 又当小明的行程为时，票价只需元， 则小明的行程需大于且不超过，所以. 故选：B 10．已知函数（a，b为常数，且，）的图象经过点，，下列四个结论： ①； ②； ③函数仅有一个零点； ④若不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】函数图象的识别与应用 【分析】根据的坐标求得，结合零点存在性定理、分离常数法判断即可. 【详解】依题意，解得（负根舍去），，所以①正确，②错误，只有C选项正确. 则，函数在上递增， 当时，；当时，， 所以函数在上有唯一零点，③正确. 不等式在时恒成立，即在时恒成立， 函数在上单调递增，最小值为，所以，④正确. 所以正确的为①③④. 故选：C 【点睛】利用零点存在性定理判断函数零点个数时，除了要判断以外，还需要判断函数的单调性.另外函数不满足，也可能存在零点. 11．在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的识别与应用 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项. 【详解】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型. 故选：B 二、填空题 12．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①② 【知识点】函数零点个数的判断 【分析】①直接观察函数可得答案；②通过求出的最值即可；③将问题转化为与的交点个数即可. 【详解】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：令，变形得， 作出函数的图象如下图： 根据图象可得在上单调递增， 故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误. 故答案为：①②. 三、解答题 13．为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长米，宽米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中. (1)若种植植物的区域面积不小于平方米，求的取值范围； (2)若修建观赏通道的总费用为元，种植植物的费用为元/平方米（为正常数）.当为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m表示）.（完成此计划的总费用修建观赏通道的总费用种植植物的总费用） 【答案】(1)； (2)，最低总费用元. 【知识点】函数图象的识别与应用 【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论； （2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）由题意得种植植物的区域面积为， 所以， 即， 解得或. 又，得， 所以的取值范围为. （2）设完成此计划所需要的总费用为元， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以，当时，完成此计划所需要的最低总费用元. 14．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【知识点】函数图象的识别与应用 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 15．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)① ； ②证明：由①可知，所以，， 且满足，，即． ， ， 又， 所以 ， 因为，所以，， 故． 【知识点】函数零点的求法 【分析】（1）得到不等式，结合函数单调性得到不等式，求出答案； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案 ②根据①得到，，且满足，即，计算出， 又，代入后求出. 【详解】（1）由可得，所以， 即，解得． （2）①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增， 其中，当时，， 结合图像可知； ②略 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 16．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间及值域； (3)根据图象写出使的的取值集合； (4)求出函数在上的解析式； (5)已知函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，值域为 (3) (4) (5) 【知识点】函数图象的识别与应用 【分析】（1）根据奇函数的对称性画出轴右侧图象即可； （2）根据（1）所得函数图象写出增区间、值域即可； （3）根据（1）所得函数图象写出不等式的解集即可； （4）根据奇函数的性质，求出的解析式即可； （5）将函数有三个零点，转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，再根据（1）所得函数图象求出实数的取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）所得函数图象可知，函数的单调递增区间为，值域为； （3）由（1）所得函数图象可知，使的的取值集合为； （4）设，则.因为当时，， 所以. 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 综上，函数在上的解析式为； （5）将函数有三个零点， 转化为函数的图象与直线有三个不同的交点. 由（1）所得函数图象可知实数的取值范围为. 17．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由零点个数求参数范围 【详解】（1）由题意有：，解得； （2）由已知有：， 设两个相异的不动点为，，依题意可得， 即是方程的两个相异的正实数根， 根据韦达定理，故，解得， 故实数c的取值范围是. 18．已知函数，. (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数零点的求法 【分析】（1）求出二次函数的对称轴，结合图象得到不等式组，求出答案； （2）求出两函数的值域，并由题意得到两函数值域的包含关系，得到答案. 【详解】（1）因为， 所以函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，其图象如图， 则且，即且，解得. 所以所求实数的取值范围是. （2）当时，. ∴当时，，记. 当时，在上是增函数， ∴，记， 由题意，知. ∴且，解得. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数与方程及其函数模型应用 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 求函数的零点 考点二 求函数的零点个数 考点三 用零点存在性定理判断零点所在区间 考点四 零点存在性定理的应用 考点五 根据零点、方程的根个数求参数范围 考点六 分段函数模型 考点七 指数函数模型 考点八 对数函数模型 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数的零点 函数的零点 理解函数零点的概念，会求简单函数的零点 理解/掌握 选择、填空、解答 零点与方程的根 理解函数零点、方程根、图象交点三者之间的联系 理解 选择、填空 零点存在性定理 掌握零点存在性定理，能判断零点所在区间 掌握 选择、填空、解答 零点个数与参数 能根据零点个数、方程的根个数求参数范围 掌握 选择、填空、解答 函数模型 分段函数模型 会建立分段函数模型解决阶梯计价等实际问题 掌握 选择、填空、解答 指数函数模型 理解指数增长与衰减模型，会解决复利、衰减类问题 理解/掌握 选择、填空、解答 对数函数模型 理解对数增长模型，会解决声强级等实际问题 理解/掌握 选择、填空、解答 函数模型的选取 能根据散点图或数据变化趋势选择合适的函数模型 掌握 选择、填空 1、函数的零点 对于一般函数，我们把使 成立的 叫做函数的零点．注意函数的零点不是点，是 . 2、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的 ，也就是函数的图象与 即方程 函数的图象与轴 函数 ． 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内 ，即存在，使得 ，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 4、常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 5、指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 ，指数爆炸 ，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴 随x的增大，图象与轴 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点一 求函数的零点 例题1 （2025湖南）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024湖南）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 例题3 （2025陕西）函数的零点是_________(写出满足条件的一个零点即可). 1．函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．函数的零点是（    ） A． B． C．0 D．1 3．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 考点二 求函数的零点个数 例题1 （2025四川）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2 （2023浙江）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题3 （2025黑龙江）已知函数，则函数的零点个数为__________. 1．已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 3．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 考点三 用零点存在性定理判断零点所在区间 例题1 （2025湖南郴州）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 例题2 （2023山西）函数（无理数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 例题3 已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 1．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 考点四 零点存在性定理的应用 例题1 （2022河北）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 例题2 若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3 函数的零点在区间内，则_________． 1．若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点五 根据零点、方程的根个数求参数范围 例题1 （2022辽宁）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 例题2 已知定义在上的偶函数，当时，．若函数恰有4个零点，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题3 （2024山东枣庄）已知函数． (1)若，，求的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围． 1．若函数在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围为____________． 2．设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 3．已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 考点六 分段函数模型 例题1 （2023辽宁）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 例题2 （2023江苏徐州）已知函数且，则等于（    ） A． B． C． D． 例题3 （2022甘肃）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围__________． 1．已知函数则（    ） A． B． C． D． 2．若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知函数，若，则__________． 考点七 指数函数模型 例题1 （2024湖北）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 例题2 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 例题3 放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 1．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 2．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（    ） A． B． C． D． 3．某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 考点八 对数函数模型 例题1 （2025山东）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 例题2 2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．134 B．269 C．539 D．540 例题3 图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 1．2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救援行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 3．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 练 1．某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 2．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 3．某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 4．某市政府为平抑房价，2021年计划新建经济适用房1000万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为%，设2024年新建经济住房面积为万平方米，则关于的函数是（    ） A． B． C． D． 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 6．卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 7．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 9．某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数（a，b为常数，且，）的图象经过点，，下列四个结论： ①； ②； ③函数仅有一个零点； ④若不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 12．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题 13．为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长米，宽米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中. (1)若种植植物的区域面积不小于平方米，求的取值范围； (2)若修建观赏通道的总费用为元，种植植物的费用为元/平方米（为正常数）.当为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m表示）.（完成此计划的总费用修建观赏通道的总费用种植植物的总费用） 14．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 15．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间及值域； (3)根据图象写出使的的取值集合； (4)求出函数在上的解析式； (5)已知函数有三个零点，求实数的取值范围． 17．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 18．已知函数，. (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $