学考专题02 一元二次函数、方程和不等式：知识梳理+考点精讲精练+实战训练（讲义，全国通用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题02 一元二次函数、方程和不等式 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 等式性质与不等式性质 考点二 基本不等式 考点三 二次函数 考点四 一元二次方程、不等式 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 等式与不等式 等式的基本性质 理解并掌握等式的基本性质，会用等式性质进行变形 理解/掌握 选择、填空 比较实数大小 掌握作差法比较两个实数大小的基本方法 掌握 选择、填空 不等式的基本性质 理解并掌握不等式的基本性质，能判断不等关系的正误 理解/掌握 选择、填空 基本不等式 理解基本不等式及其几何意义，掌握“一正、二定、三相等” 理解/掌握 选择、填空 基本不等式的应用 会利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 掌握 选择、填空、解答 几个重要的常用不等式 了解几个重要的常用不等式 了解 选择、填空 一元二次函数、方程和不等式 二次函数 理解二次函数的概念，会求解析式、值域与最值 理解/掌握 选择、填空、解答 一元二次不等式 掌握一元二次不等式的解法，并能用区间表示解集 掌握 选择、填空、解答 三者之间的关系 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 理解 选择、填空 其他不等式 会解简单的分式不等式、根式不等式及指数、对数不等式 掌握 选择、填空 1、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 2、实数大小的比较 1、如果是正数，那么 ；如果等于，那么 ；如果是负数，那么 ，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，， ，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的 ；叫做正数，的 5、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 6、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于 ，那么当且仅当时，和有 ； ②已知，是正数，如果和等于 ，那么当且仅当时，积有 7、二次函数 （1）形式：形如 的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与 是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 8、一元二次不等式 只含有 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式. 9、或型不等式的解集 不等式 解集 10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 考点一 等式性质与不等式性质 例题1 （2025北京）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例题2 （2025山东）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024云南）已知、、都是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 1．若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 考点二 基本不等式 例题1 （2025北京）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 例题2 （2025湖南）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 例题3 （2024浙江）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 1．若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 2．已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 考点三 二次函数 例题1 （2024江苏）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024安徽）已知函数是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)当x＞0时，求函数的最小值. 例题3 （2024江苏）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．函数在区间上（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 2．已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（    ） A． B．3 C． D．1 3．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 考点四 一元二次方程、不等式 例题1 （2025湖南）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 例题2 （2024江苏）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 例题3 （2025广东）不等式的解集为______. 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 练 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．用铁丝围一个面积为的矩形，至少需要铁丝的长度为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 8．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 9．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 10．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则的取值范围为______. 12．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备____________台． 13．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 三、解答题 14．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．已知关于的不等式的解集为或. (1)求、的值； (2)解关于的不等式． 16．求下列函数的最值． (1)求函数 的最小值． (2)已知，求的最大值． 17．高一（2）班的小明同学为我校运动会设计的会徽《雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形的周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点． (1)求图1中的面积的最大值，并求出此时的值； (2)已知镀金工艺是2元/，若一个会徽的镀金部分所需费用不超过2元，求的取值范围． 18．已知函数. (1)当时，求不等式的解集. (2)若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 19．已知关于x的不等式 (1)解关于x的不等式 (2)设 若对任意 都有，求实数的取值范围． 20．已知函数 ，. (1) 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、，且 ，求 的取值范围； (3)解不等式 . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 【析】命题方向解读|【汇】知识清单盘点|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心专题精讲 考点一 等式性质与不等式性质 考点二 基本不等式 考点三 二次函数 考点四 一元二次方程、不等式 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 等式与不等式 等式的基本性质 理解并掌握等式的基本性质，会用等式性质进行变形 理解/掌握 选择、填空 比较实数大小 掌握作差法比较两个实数大小的基本方法 掌握 选择、填空 不等式的基本性质 理解并掌握不等式的基本性质，能判断不等关系的正误 理解/掌握 选择、填空 基本不等式 理解基本不等式及其几何意义，掌握“一正、二定、三相等” 理解/掌握 选择、填空 基本不等式的应用 会利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 掌握 选择、填空、解答 几个重要的常用不等式 了解几个重要的常用不等式 了解 选择、填空 一元二次函数、方程和不等式 二次函数 理解二次函数的概念，会求解析式、值域与最值 理解/掌握 选择、填空、解答 一元二次不等式 掌握一元二次不等式的解法，并能用区间表示解集 掌握 选择、填空、解答 三者之间的关系 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 理解 选择、填空 其他不等式 会解简单的分式不等式、根式不等式及指数、对数不等式 掌握 选择、填空 1、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 2、实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 5、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 6、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 7、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 8、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 9、或型不等式的解集 不等式 解集 10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 考点一 等式性质与不等式性质 例题1 （2025北京）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的基本性质 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 例题2 （2025山东）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等式性质与不等式性质 【详解】因为，所以，由不等式的性质得，故选项A正确. 例题3 （2024云南）已知、、都是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式性质与不等式性质 【分析】举反例可得AB错误；由不等式的性质可得C正确，D错误. 【详解】对A，令，则，故A错误； 对B，；令，则，故B错误； 对CD，由，，相加可得，即，故C正确，D错误. 故选：C 1．若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的基本性质 【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】当时，，即，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式性质与不等式性质 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为，则当时，，A说法错误； 因为，所以，B说法错误； 因为，所以，C说法错误，D说法正确； 故选：D 3．若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的基本性质 【分析】根据不等式性质判断A，特殊值验证BCD即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B， 当，则；故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A 考点二 基本不等式 例题1 （2025北京）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求最值 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 例题2 （2025湖南）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】基本不等式求最值 【分析】利用均值不等式即可求解． 【详解】由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，也即， 再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故的最小值是4. 故选：C 例题3 （2024浙江）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求最值 【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 即，令，，则且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 1．若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 【答案】D 【知识点】基本不等式求最值 【分析】设矩形的长为，宽为，根据面积得，结合基本不等式求得周长的最小值． 【详解】设矩形的长为，宽为，周长为，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：D. 2．已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】基本不等式求最值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求最值 【分析】由基本不等式求解即可； 【详解】由题意可得，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：D. 考点三 二次函数 例题1 （2024江苏）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的图象与性质 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 例题2 （2024安徽）已知函数是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)当x＞0时，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数的图象与性质 【分析】（1）由求出，由求出，即可得出答案； （2）由基本不等式求解即可. 【详解】（1）设（）， 由，得， 由，得， 整理，得， 则，解得，， 所以. （2）由（1）知，， 因为x＞0，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 例题3 （2024江苏）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)9 (2)存在， 【知识点】二次函数的图象与性质 【分析】（1）求出二次函数的值域，根据区间长度的定义得解； （2）根据题意，写出分段函数，分别求出每段的值域，按照与的大小讨论，求出的值域，并根据求解验证. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以的值域为，的长度为. （2）根据题意，， 即，， 当时，， 当时，， 若，则的值域，则， 或，又，不合题意； 若，则的值域，则， 即，解得或（舍去）， 当时，满足，合题意. 所以存在实数，使得的长度. 1．函数在区间上（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【知识点】二次函数 【分析】作出函数的图象，结合图象可得函数在上的单调性，从而即可得函数在上的最值. 【详解】解：因为， 所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示： 由此可得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，无最小值. 故选：A. 2．已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【知识点】二次函数的图象与性质 【分析】求出二次函数的单调递增区间，利用相等集合列式求解即得. 【详解】函数的单调递增区间是， 因此，即，解得， 所以实数a的值是. 故选：C 3．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求最值 【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得. （2）由分离常数，进而求得的取值范围. 【详解】（1）由为二次函数，可设 ∵图象的对称轴为，最小值为-1，且， ∴，∴， ∴． （2）∵，即在上恒成立， 又∵当时，有最小值0， ∴， ∴实数m的取值范围为． 考点四 一元二次方程、不等式 例题1 （2025湖南）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】充分条件与必要条件 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 例题2 （2024江苏）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】由分式不等式小于0得出分子、分母异号，进而把分式不等式转化为整式不等式，解不等式求解集． 【详解】，分式的分子、分母异号，即，解得， 不等式的解集为，故C正确． 故选：C． 例题3 （2025广东）不等式的解集为______. 【答案】或 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故解集为或. 故答案为：或. 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 2．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】根据原命题的否定命题为真命题可将问题转化为二次函数恒成立为题，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 3．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】求出对应方程的根，结合对应二次函数的开口方向即可求解. 【详解】由得或， 因为的图象开口向上，所以不等式的解集为. 故选：B 训练 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】解二次不等式即可得解. 【详解】由， 所以不等式的解集是， 故选：C 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】利用求一元二次不等式的解集的方法求解. 【详解】解不等式，得， 所以所求的解集为. 故选：D 3．若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求最值 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 4．用铁丝围一个面积为的矩形，至少需要铁丝的长度为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【知识点】基本不等式求最值 【分析】设出铁丝围成的矩形长和宽，利用基本不等式求解即得. 【详解】设铁丝围成的矩形长和宽分别为，依题意，， 铁丝长度，当且仅当时取等号， 所以需要铁丝的长度至少为40. 故选：B 5．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的基本性质 【分析】根据不等式的基本性质判断各选项即可. 【详解】由，得，，，. 故选：C. 6．已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的基本性质 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 7．在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案. 【详解】解不等式得. 故选：B. 8．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 9．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 10．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 11．若，则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】由一元二次不等式的解法求出即可； 【详解】，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 12．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备____________台． 【答案】400 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论 1、如果，，则，当且仅当时取等号； 推论：； 2、如果，那么，当且仅当时取等号； 推论：； 3、 13．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【知识点】一元二次不等式及其解法 【详解】（1）由，得，即， 所以或， 故不等式的解集为或 （2）由，得，所以， 故不等式的解集为． （3）由，得，所以， 故不等式的解集为． （4）因为， 所以无解，即不等式的解集为． 15．已知关于的不等式的解集为或. (1)求、的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】（1）根据条件，利用一元二次不等式的解法得，且为方程的根，即可求解； （2）利用（1）中结果和一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或， 则，且为方程的根，所以，解得， 由，得到，所以或，故. （2）由（1）知，，则不等式即为， 由，即，解得， 所以原不等式的解集为. 16．求下列函数的最值． (1)求函数 的最小值． (2)已知，求的最大值． 【答案】(1)9 (2)1 【知识点】基本不等式求最值 【分析】（1）结合换元法，利用基本不等式求解最值； （2）结合配凑法，利用基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）因为，所以，令，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以函数 的最小值为． （2） ，， ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为． 17．高一（2）班的小明同学为我校运动会设计的会徽《雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形的周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点． (1)求图1中的面积的最大值，并求出此时的值； (2)已知镀金工艺是2元/，若一个会徽的镀金部分所需费用不超过2元，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的面积取到最大值 (2) 【知识点】基本不等式求最值 【分析】（1）设cm，根据条件可得，进而可得的面积，结合基本不等式求最值； （2）设一个会徽的镀金费用为y元，整理可得，，令解不等式即可. 【详解】（1）因为cm，所以cm， 设 cm，则cm， 因为，，， 所以，所以cm， 在中，由勾股定理得， 即，解得，则， 可得的面积， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积取到最大值. （2）设一个会徽的镀金费用为y元，则，， 令，整理可得，解得或， 所以的取值范围为． 18．已知函数. (1)当时，求不等式的解集. (2)若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)； (3)，解集为；，解集为；，解集为. 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】（1）根据一元二次不等式解法求解即可； （2）分和两种情况，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出a的取值范围； （3）化简得到，分，和三种情况，得到不等式的解集 【详解】（1）时，， ，故，即，无解， 故不等式的解集为； （2）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为， 必须满足抛物线开口向上且与轴最多有一个交点， 即，，即， 解得，综合，可得，即； （3）， 即， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 19．已知关于x的不等式 (1)解关于x的不等式 (2)设 若对任意 都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，，解集为， 当，解集为， 当时，解集为，时解集为 (2) 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】（1）对含参数m的一元二次不等式，按（退化为一次不等式）、（比较两根1与大小分类）、（变号转化为小于型不等式）三类讨论求解集； （2）利用区间内，将恒成立不等式简化为，再求在上的最大值，得到的取值范围. 【详解】（1）由题意得， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，方程两根：． 若，即，解集为， 若，即时，不等式化为，解集为， 若，即，解集为， ③当时，二次项系数为负， 不等式等价于， 而，解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为，当时解集为 （2）由题意得，因式分解可得． 已知，所以，可得． 因此对任意，等价于． 即，，且是正数，得到， 题意要求对区间里每一个x，不等式都成立． 令，在区间上单调递减， 因此，所以． 20．已知函数 ，. (1) 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、，且 ，求 的取值范围； (3)解不等式 . 【答案】(1) (2) (3)当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为 【知识点】一元二次不等式及其解法 【分析】（1）根据恒成立进行移项，判断的范围以及判别式的范围即可求解；（2）先移项，根据韦达定理，将所求式子进行转换，从而求解；（3）先对式子进行因式分解，再根据根的大小关系分类讨论即可。 【详解】（1）由恒成立得，整理得， 当时，则恒成立，符合题意， 当时，则需，即，因此， 综上，实数的取值范围为. （2）方程，即，整理得， 有两个不相等的实数根，，故，，解得或， 由韦达定理得：，， 因为，所以， 结合或得. 于是， 由得，因此， 故. （3）不等式即，因式分解得. 分类讨论：当时，，解集为； 当时，原不等式为，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为. 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $