学考专题03 函数的概念与性质：知识梳理+考点精讲精练+实战训练（讲义，全国通用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题03 函数的概念与性质 【析】命题方向解读|【汇】知识清单盘点|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心专题精讲 考点一 函数的概念 考点二 函数的表示 考点三 函数的单调性与最大（小）值 考点四 函数的奇偶性 考点五 幂函数 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数的概念与表示 函数的概念 了解函数的概念，理解函数的三要素，会求函数值与定义域 了解/理解 选择、填空 同一（相等）函数 理解两个函数相等的判定依据：定义域与对应关系完全一致 理解 选择 函数的表示 掌握解析法、图象法、列表法三种表示方法，会求函数解析式 掌握 选择、填空、解答 分段函数 理解分段函数的概念，能进行分段函数的求值及应用 理解 选择、填空、解答 函数的单调性 理解单调性的定义，掌握用定义法证明单调性的步骤 理解/掌握 选择、填空、解答 单调性的应用 能根据解析式判断单调性，会利用单调性比较大小、解不等式 掌握 选择、填空 函数的最值 理解函数最值的概念，会求函数的最大（小）值 理解/掌握 选择、填空、解答 函数的奇偶性 理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法 理解/掌握 选择、填空、解答 奇偶性的应用 能利用奇偶性求函数值、求解析式、求参数 掌握 选择、填空 幂函数 了解幂函数的概念，掌握五种常见幂函数的图象与性质 了解/掌握 选择、填空 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 5、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最小值 6、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 7、幂函数定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数 8、五种常见幂函数 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 考点一 函数的概念 例题1 （2025北京）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的定义域 【分析】由可求函数的定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为：. 故选：C 例题2 （2025黑龙江）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数值 【分析】将直接代入解析式即可. 【详解】因为函数，所以， 故选：D 例题3 （2024广东）函数的定义域为______. 【答案】 【知识点】函数的定义域 【分析】利用具体函数的定义域求解. 【详解】解：因为， 所以,解得x≥1且x≠2，x≠3， 即函数的定义域为 ， 故答案为：. 1．函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【知识点】函数的定义域 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的定义域 【分析】根据函数有意义求解定义域即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的定义域 【分析】根据根号下的式子为非负数可得结果. 【详解】易知函数的定义域为，即. 故选：C 考点二 函数的表示 例题1 （2024江苏）已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】求函数值 【分析】根据分段函数解析式，先求,再求即得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 例题2 （2023安徽）设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的三个结论： ①对任意，都有； ②对任意，都有； ③对任意，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】函数的表示 【分析】根据的定义，可得，即可求解①②，举反例即可求解③. 【详解】对于①，由定义得：，故对，，故①正确； 对于②，，令，则，所以， 因此，故②正确； 对于③，取， 则， 不满足，故③错误， 故选：A. 例题3 （2023河北）某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，如表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2020年10月1日 12 32000 2020年10月6日 48 32600 （注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．）在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【答案】B 【知识点】函数的表示 【分析】根据表格数据求出行驶里程与耗油量，即可解得. 【详解】由表格中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米， 到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600千米， 说明这段时间汽车行驶了千米，则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（升）． 故选：B． 1．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 【答案】B 【知识点】函数的表示 【分析】根据给定条件，求出生产成本与产量的函数关系，再代入求出函数值. 【详解】令生产零件件的成本为元， 当时，， 当时，， 因此，当时，， 所以当时，生产成本为1750元. 故选：B 2．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数解析式 【分析】利用配凑法求得的解析式. 【详解】由于， 所以. 故选：C 3．函数，则__________. 【答案】3 【知识点】求函数值 【分析】根据给定的分段函数，代入计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：3 考点三 函数的单调性与最大（小）值 例题1 （2025北京）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】函数的最值 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 例题2 （2024云南）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的单调性 【分析】根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义域为的增函数， 所以由，得， 解得，即的取值范围为. 故选：C. 例题3 （2023新疆）用单调性定义证明：函数在上是增函数. 【答案】 任取，则， 因为，可得，所以，即 所以函数在上是增函数. 【知识点】单调性的定义法证明 【分析】根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证. 【详解】略 例题4 （2024北京）已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． (1)已知函数缓慢递增，写出一组的值； (2)若缓慢递增且，直接写出的取值范围； (3)设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增；        条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减；        结论②：单调递减． 【答案】(1) (2) (3) 若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果缓慢递增，那么缓慢递减． 理由如下：因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上缓慢递减． 若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果缓慢递增，那么单调递减． 理由如下： 因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上单调递减． 而条件②：为单调递增函数， 不妨设，则， 根据题意代入，不满足新的定义， 所以为单调递增函数不能推出缓慢递减；也不能推出单调递减. 【知识点】函数的单调性与最大（小）值 【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得为任意值，即可求解； （2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得的取值范围； （3）先确定条件条件①：缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：缓慢递减，根据条件条件①：缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：单调递减.若单调递增不妨设，代入，可得两结论都不满足. 【详解】（1）已知是定义在上的缓慢递增， 如果对任意的，当时，都有， 则可得为任意值，所以可得； （2）若缓慢递增且， 根据定义可得 ，将已知代入化简可得， 所以的取值范围为 （3）略 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 1．如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【知识点】单调性的定义法证明 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 2．已知则_________；的最大值为_________． 【答案】 1 2 【知识点】函数的最值 【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解. 【详解】由解析式可知：， 当，易知， 当，，当时，取最大值2， 所以的最大值为2， 故答案为：1，2 3．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【知识点】求函数值 【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可. 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 4．已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)当时， （i）根据定义证明函数在区间上单调递增； （ii）记函数，若，求实数的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【知识点】函数的单调性与最大（小）值 【分析】（1）根据函数值直接代入求参即可； （2）（i）任取，且，从而证明即可； （ii）根据题意研究该分段函数单调性，根据分类讨论求值即可. 【详解】（1）因为函数，所以， 解得，所以的值为 （2）当时，， （i）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增 （ii）由题意得，， 函数在和单调递增，在和单调递减， 作出函数图像如下图所示，      若， 显然， ①，即时， ，解得，符合题意； ②，即时， ，解得，不符合题意； ③，即时， ，即， 解得，均符合题意. 综上所述，或 考点四 函数的奇偶性 例题1 （2025黑龙江）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】选项A：令，则，所以不是奇函数； 选项B：令，则，所以不是奇函数； 选项C：令，则，且定义域为R，所以是奇函数； 选项D：令，则，所以不是奇函数； 故选：C 例题2 （2026湖南长沙）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，___________． 【答案】 【知识点】函数的奇偶性 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 例题3 （2025四川）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减 【知识点】函数的奇偶性 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 例题4 （2025湖南郴州）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】函数的奇偶性 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得， 解得. （2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. （3）由题意可得，解得. 1．设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性 【分析】结合函数的单调性比较，再结合偶函数性质可得，由此确定结论即可判断各选项. 【详解】因为函数在区间上单调递减，， 所以，A错误； 因为函数是定义域为的偶函数， 所以，B错误； 则，，C错误，D正确. 故选：D. 2．若定义在上的偶函数满足，则___________，___________. 【答案】 1 4 【知识点】函数的奇偶性 【分析】由奇偶性及赋值得，，由得周期为2，可求. 【详解】在中令得， 又为偶函数，所以，所以. 由得，所以，所以的周期为2， 因为为偶函数，所以， 在中令得，所以， 所以， 故答案为：1；4 3．设是定义在R上的奇函数，当时，，则____________． 【答案】 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数解析式易得. 【详解】依题意，. 故答案为：. 4．已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明： 因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. (2)4 【知识点】函数的奇偶性 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）略； （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 考点五 幂函数 例题1 （2025甘肃白银）已知函数，，则“”是“为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】函数的单调性 【分析】判断“”和“为减函数”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，为减函数； 当为减函数时，，，不一定是， 故“”是“为减函数”的充分不必要条件. 故选：A. 例题2 （2024湖南）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂函数的图象与性质 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 例题3 （2024山东）已知函数的大致图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】根据幂函数性质可知，且当时，，从而可求解. 【详解】由题中图象知函数单调递增，根据幂函数的性质可得， 由图知当时，，所以.故B正确. 故选：B. 1．如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数解析式 【分析】根据函数图象判断函数的性质，再结合幂函数的性质判断即可. 【详解】由函数图象可知，该函数的定义域为，函数图象关于原点对称，故为奇函数， 且函数在，上单调递减，故符合题意的只有A. 函数、在定义域上单调递增，不符合题意； 函数为偶函数，不符合题意； 故选：A 2．已知函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】先根据点在幂函数上求参，再求函数值即可. 【详解】因为函数的图象经过点，则，计算得， 所以函数为，则. 故选：B. 3．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】函数的单调性 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 训练 1．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 2．函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 3．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 4．已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单调性的定义法证明 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 5．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的单调性 【分析】根据基本函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，在上单调递减，故A错误； 对于B，在上单调递减，故B错误； 对于C，在上单调递增，故C正确； 对于D，在上单调递减，故D错误. 故选：C. 6．在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】单调性的定义法证明 【分析】根据题意结合单调性判断. 【详解】根据题意函数先递增再递减，进而判断C选项符合题意. 故选：C. 7．已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求函数值 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故选：A. 8．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的定义域 【详解】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 二、填空题 9．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 且当时，， 所以. 故答案为：. 10．已知函数，若的图象关于原点对称，则实数__________. 【答案】 【知识点】求函数值 【分析】利用奇函数的性质，令，即可得到答案. 【详解】∵函数的图象关于原点对称, ∴为奇函数, ∴， ∴，经验证满足题设. 故答案为： 11．奇函数，则______． 【答案】 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据题意，结合奇函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，即， 经验证：函数的定义域为关于原点对称， 且，符合题意，所以. 故答案为：. 12．已知幂函数的图象过点，则______ 【答案】2 【知识点】幂函数的图象与性质 【分析】将点代入函数，即可求解. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得. 故答案为：2. 三、解答题 13．阅读下面题目及其解答过程. 已知函数. （1）证明：是偶函数； （2）证明：在区间上单调递增. 解：（1）的定义域为①________. 因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数. （2）③________，且， 因为， 所以④________0，⑤________0，. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）， 空格序号 选项 ① A．            B．   ② A．        B． ③ A．任取           B．存在 ④ A．             B． ⑤ A．             B． 【答案】ABABA 【知识点】函数的奇偶性 【分析】根据的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤. 【详解】①由于的定义域为R，故A正确； ②由于，故B正确； ③根据函数单调性定义可知任取，故A正确； ④因为，所以，故，故B正确； ⑤因为，故，故，故A正确. 14．用定义证明函数在上的单调性，并求在上的最值. 【答案】 证明：任取，则 ，即， 故函数在上是增函数， ，故，. 【知识点】单调性的定义法证明 【分析】取，计算得到证明，再根据函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】略 15．已知函数且． (1)当时，讨论函数的奇偶性； (2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：为增函数． ①； ②． 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) 当，为偶函数； 当，为奇函数； (2) 令，则， 选①，则，所以，， 即，所以为增函数，得证； 选②，则，所以，， 即，所以为增函数，得证； 【知识点】函数的奇偶性 【分析】（1）讨论、，利用奇偶性定义证明； （2）应用单调性定义，令，，再根据所选的条件判断大小即可证. 【详解】（1）由定义域为R， 当，则，而，即为偶函数； 当，则，而，即为奇函数； （2）略 16．已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. (3)最小值4；最大值5. 【知识点】单调性的定义法证明 【分析】（1）将点代入函数解析式，可求的值. （2）先判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）利用函数的单调性求函数在给定区间上的最大、最小值. 【详解】（1）因为函数且图象经过，所以， 所以. 所以. （2）略 （3）由（2）可知，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，； 当时，函数取得最大值，. 17．设函数，其中． (1)若，求不等式的解集； (2)记在区间上的最小值为，求的解析式. 【答案】(1)． (2) 【知识点】函数的最值 【详解】（1）当时，由，解得， 所以解集为． （2）开口向上，对称轴为直线， ①当时，在上单调递增， 所以， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ③当时，在上单调递减， 所以． 综上. 18．已知函数. (1)解关于的不等式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. (2) (3) 【知识点】函数的综合应用 【分析】（1）整理不等式得到含参数的一元二次不等式，按（一次不等式）、、分类；时再比较两根和2的大小，分三种情况讨论解集； （2）恒成立问题分离参数，转化为；换元后利用对勾函数单调性求在区间上的最大值，得到范围； （3）把原不等式看成关于的一次函数，一次函数在闭区间上恒小于0，只需区间两个端点函数值都小于0，解不等式组求出范围. 【详解】（1）等价于， 即， 当时，不等式化为：，解得； 当时，不等式化为：， i.当时，因，解得， ii.当时，，不等式化为， ①若，即时，解得或； ②若即时，不等式化为，解得； ③若即时，解得或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2），故， 令，设， 故， 函数在递减，递增. 又， 故，故； （3） 看成关于的一次函数， 要求对恒成立，只需两个端点都小于0，即， 解得. 19．已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 【答案】(1)因为，所以，所以， 所以． (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． (3)． 【知识点】单调性的定义法证明 【分析】（1）直接代入函数表达式算出，再与相加化简完成等式证明； （2）利用函数单调性定义，作差变形，判断差值正负，证明函数单调递增； （3）利用第（1）问结论变形不等式，再利用单调性化简，联立定义域与大小关系解不等式组． 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 20．已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 【答案】(1)证明：由对任意的实数，满足， 令，则，所以. (2)①证明：任意，， 则 . ②当时，的最小值为，当时，的最小值为. 【知识点】函数的定义域 【分析】（1）根据给定定义，利用赋值法推理得证. （2）①利用给定条件，计算推理得证；②利用给定性质求出，进而求出，再分类求出指定区间上的最小值. 【详解】（1）略 （2）①略 ②由函数的图象在R上连续不断，得函数的图象在R上连续不断， 由①知，依题意，， 又，则，函数，， 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，. 综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 函数的概念 考点二 函数的表示 考点三 函数的单调性与最大（小）值 考点四 函数的奇偶性 考点五 幂函数 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数的概念与表示 函数的概念 了解函数的概念，理解函数的三要素，会求函数值与定义域 了解/理解 选择、填空 同一（相等）函数 理解两个函数相等的判定依据：定义域与对应关系完全一致 理解 选择 函数的表示 掌握解析法、图象法、列表法三种表示方法，会求函数解析式 掌握 选择、填空、解答 分段函数 理解分段函数的概念，能进行分段函数的求值及应用 理解 选择、填空、解答 函数的单调性 理解单调性的定义，掌握用定义法证明单调性的步骤 理解/掌握 选择、填空、解答 单调性的应用 能根据解析式判断单调性，会利用单调性比较大小、解不等式 掌握 选择、填空 函数的最值 理解函数最值的概念，会求函数的最大（小）值 理解/掌握 选择、填空、解答 函数的奇偶性 理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法 理解/掌握 选择、填空、解答 奇偶性的应用 能利用奇偶性求函数值、求解析式、求参数 掌握 选择、填空 幂函数 了解幂函数的概念，掌握五种常见幂函数的图象与性质 了解/掌握 选择、填空 1、函数的概念 设、是两个 ，如果按照某种确定的 ，使对于集合中的 ，在集合中都有 和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做 ，的取值范围叫做函数的 与的值相对应的值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 ． 2、同一（相等）函数 函数的三要素： 、 和 ． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有 ，那么就说函数在 ②当时，都有 ，那么就说函数在 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是 或 ，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的 ． 5、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有 ； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有 ； ②存在，使得 则为最小值 6、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内 ，都有 ，那么函数是 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内 ，都有 ，那么函数是 图象关于原点对称 7、幂函数定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数 8、五种常见幂函数 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上 ；在上 在上 在上 在 和 上单调递减 考点一 函数的概念 例题1 （2025北京）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 例题2 （2025黑龙江）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 例题3 （2024广东）函数的定义域为______. 1．函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点二 函数的表示 例题1 （2024江苏）已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 例题2 （2023安徽）设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的三个结论： ①对任意，都有； ②对任意，都有； ③对任意，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 例题3 （2023河北）某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，如表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2020年10月1日 12 32000 2020年10月6日 48 32600 （注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．）在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 1．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 2．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 3．函数，则__________. 考点三 函数的单调性与最大（小）值 例题1 （2025北京）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 例题2 （2024云南）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3 （2023新疆）用单调性定义证明：函数在上是增函数. 例题4 （2024北京）已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． (1)已知函数缓慢递增，写出一组的值； (2)若缓慢递增且，直接写出的取值范围； (3)设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增；        条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减；        结论②：单调递减． 1．如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 2．已知则_________；的最大值为_________． 3．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 4．已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)当时， （i）根据定义证明函数在区间上单调递增； （ii）记函数，若，求实数的值. 考点四 函数的奇偶性 例题1 （2025黑龙江）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例题2 （2026湖南长沙）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，___________． 例题3 （2025四川）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 例题4 （2025湖南郴州）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 1．设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 2．若定义在上的偶函数满足，则___________，___________. 3．设是定义在R上的奇函数，当时，，则____________． 4．已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 考点五 幂函数 例题1 （2025甘肃白银）已知函数，，则“”是“为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2 （2024湖南）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 例题3 （2024山东）已知函数的大致图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 1．如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 练 1．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 2．函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 3．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   7．已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 8．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 10．已知函数，若的图象关于原点对称，则实数__________. 11．奇函数，则______． 12．已知幂函数的图象过点，则______ 三、解答题 13．阅读下面题目及其解答过程. 已知函数. （1）证明：是偶函数； （2）证明：在区间上单调递增. 解：（1）的定义域为①________. 因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数. （2）③________，且， 因为， 所以④________0，⑤________0，. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）， 空格序号 选项 ① A．            B．   ② A．        B． ③ A．任取           B．存在 ④ A．             B． ⑤ A．             B． 14．用定义证明函数在上的单调性，并求在上的最值. 15．已知函数且． (1)当时，讨论函数的奇偶性； (2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：为增函数． ①； ②． 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分． 16．已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 17．设函数，其中． (1)若，求不等式的解集； (2)记在区间上的最小值为，求的解析式. 18．已知函数. (1)解关于的不等式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 20．已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $