学考专题05 幂函数、指数函数和对数函数：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题05 幂函数、指数函数和对数函数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 幂函数的图象与性质 考点二 指数及分数指数幂的运算 考点三 指数函数的图象与应用 考点四 指数（型）函数的单调性 考点五 指数（型）函数的值域与最值 考点六 对数的运算 考点七 对数函数的定义域 考点八 对数函数的图象与应用 考点九 对数（型）函数的单调性 考点十 对数（型）函数的值域与最值 考点十一 幂指对函数值的比较大小 考点十二 幂指对函数的实际应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 幂函数 幂函数 了解幂函数的基本形式；重点熟悉 5 个常见幂函数的图像特点，能看懂这几个函数图像随自变量变化的趋势 掌握 选择题 指数运算及指数函数 指数及其运算 理解分数指数幂代表的含义，知道实数指数幂的意义；熟练掌握指数的运算规则，可以把根式形式和分数指数幂形式互相转换，对式子进行化简、计算数值，处理简单的指数算式 理解 选择题 指数函数 理解指数函数的定义，分清什么样的函数才是指数函数；记住指数函数的图像样子，清楚底数大于 1 和底数在 0 到 1 之间两种情况对应的增减变化规律；会用单调性比较数字大小，解决简单的不等式问题 掌握 选择、填空、解答 对数运算及对数函数 对数及其运算 理解对数是指数的逆运算，明白对数的由来；记住对数的加减运算规则，知道指数式和对数式可以互相改写；了解换底公式，能对对数式子做化简、计算，算出对数的值 理解/掌握 选择、填空 对数函数 理解对数函数的定义，分清对数函数；记住对数函数的图像特征，区分底数大于 1、底数在 0 到 1 两种情况对应的增减性；会利用单调性比较对数的大小，解决简单相关不等式 掌握 选择、填空、解答 1、幂函数 常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 幂函数常用技巧：幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出 . 2、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 3、分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义 （4）实数指数幂的运算性质 ①（，） ②（，） ③（，） 4、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 5、对数的概念与性质 （1）对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. （2）指数式与对数式的相互转化 当且， （3）对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 6、对数的运算性质 （1）对数的运算 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） （2）对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 7、对数函数 (1)、对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 对数函数常用技巧： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 考点一 幂函数的图象与性质 例题1 （2024江苏）已知函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先根据点在幂函数上求参，再求函数值即可. 【详解】因为函数的图象经过点，则，计算得， 所以函数为，则. 故选：B. 例题2 （2023高三上·江苏·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 例题3 （2024高二下·湖南·学业考试）函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 1．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 2．已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 3．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，成立，反之当时，成立， 所以p是q的充要条件. 故选：C 考点二 指数及分数指数幂的运算 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算解方程即可． 【详解】，则． 故选：D． 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 例题3 （2023高二·山西·学业考试）________． 【答案】 【分析】根据指数幂的性质进行计算. 【详解】原式 故答案为： 1．（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D.   2．已知，则=_________________ 【答案】 【分析】借助指数运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 3．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 【答案】D 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】. 故选：D 4．设，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂以及指数的运算性质求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 考点三 指数函数的图象与应用 例题1 （25-26高二下·北京·学业考试真题）函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，则函数的图象过点，故选项A错，B对； 当时，，则函数的图象过点，故选项C错； 当时，，则函数的图象过点，故选项D错. 例题2 （2024高二下·湖南·学业考试）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 例题3 （2024高二下·湖北·学业考试）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 1．函数（，且）的图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象过定点，从而可求解. 【详解】由指数函数的图象过定点， 所以函数的图象过定点，故C正确. 故选：C. 2．设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 3．关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先将函数写成分段函数，画出函数图象，数形结合即可判断①；结合及基本不等式判断②；再结合的范围确定、的范围，即可判断③④. 【详解】因为， 当时，则，当时，则， 所以的图象如下所示： 因为实数满足，且，即与有两个交点，由图可知，故①正确； 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以，所以，故②正确； 当时，则，即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以，则， 又， 所以， 所以，即，故③错误； 当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论有个. 故选：C 考点四 指数（型）函数的单调性 例题1 （2025高二·湖北·学业考试）已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】记命题，命题. 幂函数在上单调递增，，所以， 指数函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 指数函数在上单调递增，，所以， 幂函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 所以是的充要条件. 例题2 （2024高二·安徽·学业考试）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 例题3 （2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为是R上的单调增函数，因此不等式等价于， 若（即），不能推出，因此充分性不成立； 若，则一定满足，即一定满足，因此必要性成立， 综上，是的必要不充分条件. 2．设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 3．若，则是的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】函数是R上的减函数，则. 故选：A 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简可得，然后根据与的推出关系判断即可. 【详解】由及指数函数的单调性可得，此时成立， 反之不成立，例如，显然不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 考点五 指数（型）函数的值域与最值 例题1 （2023高二下·山东·学业考试）函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了指数函数的单调性，绝对值函数的取值范围，掌握利用函数单调性求值域的方法是解题的关键． 先求在的取值范围，再由指数函数单调性求的范围，最后得函数值域． 【详解】解：由题意，所以， 因为函数为增函数，所以， 故． 故选：C． 例题2 （2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 例题3 （2024高二上·北京·学业考试）在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】因为区间上单调递增，又，， 所以，解得. 故选：C. 1．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减， 所以其最大值为. 故选：A 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数的值域分析求解. 【详解】由题意可得：的值域是，即，可得， 所以的值域是. 故选：C. 3．函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，利用单调性求出最大值即得. 【详解】函数在R上单调递减， 所以当时，. 故选：A 考点六 对数的运算 例题1 （2025高二上·江苏·学业考试）设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】运用对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故选：D. 例题2 （24-25高二上·山东·学业考试真题）（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】． 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 1．（   ） A．70 B． C．3 【答案】C 【分析】根据对数运算公式求解. 【详解】. 故选：C 2．若与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算公式即可得解. 【详解】由题意可知，则，. 故选：C. 3．已知，则a的值可以为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用对数换底公式，对数方程，利用代数变换求解未知数，然后利用对数的基本性质求解即可． 【详解】， ， 设，则，解得或， 即或，解得或4， 故选：B． 考点七 对数函数的定义域 例题1 （2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即可求解. 【详解】由解析式可知，， 及， 所以定义域为， 故选：A 例题2 （2025江苏） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据函数的具体表达式和对数函数的定义域求解函数的定义域即可. 【详解】因为函数，则要使函数有意义， 那么，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A. 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设可得，故， 故函数的定义域为 故选：C. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得且， 则的定义域为. 故选：C. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可. 【详解】因为，所以定义域满足， 解得， 故选：A. 3．函数的定义域是____________（用区间表示） 【答案】 【分析】结合幂函数与对数函数性质计算即可得. 【详解】由题意得，即，解得， 即定义域为：. 故答案为： 考点八 对数函数的图象与应用 例题1 （2023高三·北京·学业考试）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平移变换进行求解即可. 【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数. 故选：B. 例题2 （2022高二下·浙江·学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数的性质，令，求出函数恒过的点的坐标. 【详解】当时，恒等于0，恒等于1， 故恒等于，所以的图象恒过的定点是. 故选：B 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数图象与非正半轴的交点个数及在上单调性判断即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，排除AB； 当时，由，得或，此时函数图象与非正半轴有2个交点，排除C，选项D符合题意. 故选：D 1．函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数所过定点，令即可求解. 【详解】因为对数函数（，且）的图象过定点， 所以令，解得， 此时，即的图象过定点． 故选：C． 2．函数曲线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的性质可求解. 【详解】因为对数函数恒过点， 所以函数曲线恒过点. 故选：C 3．已知，，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，分析函数性质，再判断函数图象经过的象限作答. 【详解】，，函数的定义域为， 而在上递增，又在上递增，因此在上递增， 当时，有，，函数的图象在第三象限， 当时，有，，函数的图象在第二象限， 当时，有，，函数的图象在第一象限， 所以函数的图象不经过第四象限. 故选：D 考点九 对数（型）函数的单调性 例题1 （2024高二下·天津·学业考试）下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质即可判断求解. 【详解】A：定义域为，在R上不单调； B：在R上单调递增； C：定义域为，在定义域内单调递增； D：定义域为，在定义域内单调递减； 故选：B. 例题2 （2022高二下·浙江·学业考试）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，再结合复合函数单调性性质进行判断即可. 【详解】由函数的解析式知定义域为， 设， 显然在上是增函数，在上是增函数， 由复合函数的单调性可知在上是增函数， 故选：C 例题3 （2024高二下·甘肃·学业考试）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得； （2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知，即， 解得，所以函数的定义域. （2）由函数的图像过，有，解得， 令，则， 因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为. 1．已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】证明充分性时，假设成立，研究是否成立，证明必要性时，假设成立，研究是否成立，即可得出结论. 【详解】充分性：存在成立但不成立的情况，例如，，，，但，因此充分性不成立； 必要性：当时，，因此必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由得函数的定义域为,再根据复合函数的单调性可知内函数的减区间即为原函数的增区间，所以f(x)的单调递增区间为. 3．已知函数． (1)求的定义域； (2)判断在其定义域上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1). (2)在上单调递增，证明见解析 (3)答案见解析. 【分析】（1）由题意可得定义域的不等式组，从而可求解. （2）利用函数的定义法即可判断在其定义域上为增函数，从而可求解. （3）由函数可得，即，由（2）结论得在定义域为增函数，从而得，从而可求解. 【详解】（1）要使原函数有意义，只需，解得， 所以的定义域为． （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 所以，故，即， 所以在上单调递增． （3）由（1）知，因为， 要使，只需， 由知，在上单调递增，所以， 得，即， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或． 综上所述：当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为． 考点十 对数（型）函数的值域与最值 例题1 （2025高三上·四川·学业考试）已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域 【详解】因函数在时为增函数， 故，即， 故的取值范围是. 故选：B. 例题2 （2023高二·河北·学业考试）已知函数，则的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】求时函数的最小值及时函数的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数的最小值. 【详解】当时，函数在上单调递减， 所以当时，函数有最小值为， 当时，函数在上单调递增， 所以， 综上，当时，函数有最小值为1. 故选：C 例题3 （2023高二·江苏·学业考试）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域. （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，函数，， 函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，，令，， 不等式，则在上有解， 即在上有解，函数在上单调递增， 当时，. 所以的取值范围是. 1．函数在区间上取值范围为____________. 【答案】 【分析】根据对数函数单调性得出函数的最值，最后写出值域即可. 【详解】因为函数在区间上递减， 所以函数的最大值为， 函数的最小值为， 所以函数在区间上取值范围为, 故答案为：. 2．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．2或 B．3或 C．4或 D．2或 【答案】A 【分析】分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或. 故选：A. 3．对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是_______． 【答案】1 【分析】法1，把函数化成分段函数，再利用单调性求出最大值；法2，在坐标系内作出函数图象，求出最高点的纵坐标值即得. 【详解】法1：令， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，当时，，即，当时，， 因此函数，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取得最大值. 故答案为：1 法2：作函数的图象，依题意，的图象为如图所示的实线部分， 由，得，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，且当时，， 因此点为图象的最高点，所以的最大值为. 故答案为：1 考点十一 幂指对函数值的比较大小 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 例题2 （2025高二上·江苏·学业考试）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性得，，， 所以. 故选：D. 例题3 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递增，所以，所以， 又，所以，即. 1．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 2．设，，则，，1的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 考点十二 幂指对函数的实际应用 例题1 （2026高二下·浙江·学业考试）声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（   ） A． B．10 C． D． 【答案】B 【详解】由题设，可得，故，则. 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练t小时，得到的数据量个单位，其中N0为常数，则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为（    ） A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】A 【详解】设训练得到个单位的数据量的时间为， 训练得到个单位的数据量的时间为， ，， ，解得， 则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为1小时． 例题3 （2025高二下·山东·学业考试真题）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】将已知声强代入声强级计算公式，结合对数运算性质求解即可. 【详解】由声强级公式， 将代入公式，得； 即. 1．荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】C 【分析】设初始覆盖面积为，天后的覆盖面积为，再利用指数运算求解可得. 【详解】设初始覆盖面积为，天后的覆盖面积为，荷叶天可以完全长满荷塘水面， 设天后荷叶刚好覆盖水面面积的，可得，，解得. 故当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了天. 2．某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 【答案】 【分析】直接根据函数解析式及条件得不等式，并通过取对数法解指数不等式可得. 【详解】因为，且，得， 即，两边取自然对数得，解得． 因此的最小值为. 3．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 【答案】9 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 练 1．（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质，进行计算即可. 【详解】由题意，得， 故选：B. 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 3．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】根据对数函数的性质得，解得，所以函数的定义域为. 故选：C. 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，构造函数， 在上是增函数，， ， 即. 6．已知，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由公式可得A、 B；换底公式可得C；可得D. 【详解】，故A错；，故B错； ，故C对；，故D错. 故选：C. 7．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算，判断B；取特值进行排除，一般地利用指数幂的运算可以证明A正确. 【详解】， 所以，故B错误； ，， 所以，，故CD错误； ， 所以，A正确. 故选：A 8．已知函数，若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质求解判断即可. 【详解】，， ， 所以． 9．已知函数，若，则__________． 【答案】 【分析】分和两种情况，将代入对应解析式，即可求得值. 【详解】当时，则，此时无解； 当时，则，解得：，满足条件； 故答案为： 10．已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若函数是奇函数，求实数的值； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2) (3)， 在上是增函数， 又， ，， ， ． 【分析】（1）代入解析式后解指数不等式即可求得答案； （2）由奇函数的定义即可求得的值； （3）由解析式得到函数单调性，且由解析式化简求得的值.由题意得，再借助单调性得到不等关系，借助的值整理不等式，即可求证. 【详解】（1），，即，，，实数的取值范围是． （2）由已知，，因为是奇函数， ，解得． 当时，，． 为奇函数，综上，若为奇函数，实数的值为． （3）略 11．已知，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解. 【详解】，即； ，即； ，即， 所以. 故选：A 12．已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合，判断②，根据指数运算，即可判断③. 【详解】①，当，即时等号成立，故①正确； ②联立，解得：，，显然这样与矛盾，故②错误； ③， ， 所以，故③正确. 故选：C 13．已知，则__________. 【答案】 【分析】用换底公式将换成以2为底的对数，进而根据对数的运算性质得到答案. 【详解】. 故答案为：. 14．已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；证明如下： 当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； (2)存在，， 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【详解】（1）略 （2）， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 幂函数、指数函数和对数函数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 幂函数的图象与性质 考点二 指数及分数指数幂的运算 考点三 指数函数的图象与应用 考点四 指数（型）函数的单调性 考点五 指数（型）函数的值域与最值 考点六 对数的运算 考点七 对数函数的定义域 考点八 对数函数的图象与应用 考点九 对数（型）函数的单调性 考点十 对数（型）函数的值域与最值 考点十一 幂指对函数值的比较大小 考点十二 幂指对函数的实际应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 幂函数 幂函数 了解幂函数的基本形式；重点熟悉 5 个常见幂函数的图像特点，能看懂这几个函数图像随自变量变化的趋势 掌握 选择题 指数运算及指数函数 指数及其运算 理解分数指数幂代表的含义，知道实数指数幂的意义；熟练掌握指数的运算规则，可以把根式形式和分数指数幂形式互相转换，对式子进行化简、计算数值，处理简单的指数算式 理解 选择题 指数函数 理解指数函数的定义，分清什么样的函数才是指数函数；记住指数函数的图像样子，清楚底数大于 1 和底数在 0 到 1 之间两种情况对应的增减变化规律；会用单调性比较数字大小，解决简单的不等式问题 掌握 选择、填空、解答 对数运算及对数函数 对数及其运算 理解对数是指数的逆运算，明白对数的由来；记住对数的加减运算规则，知道指数式和对数式可以互相改写；了解换底公式，能对对数式子做化简、计算，算出对数的值 理解/掌握 选择、填空 对数函数 理解对数函数的定义，分清对数函数；记住对数函数的图像特征，区分底数大于 1、底数在 0 到 1 两种情况对应的增减性；会利用单调性比较对数的大小，解决简单相关不等式 掌握 选择、填空、解答 1、幂函数 常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 公共点 幂函数常用技巧：幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出 . 2、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有 ，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 3、分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义 （4）实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 4、指数函数 图象 性质 ①定义域 ，值域 ②，即时，，图象都经过 点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调 在定义域上是单调 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 5、对数的概念与性质 （1）对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. （2）指数式与对数式的相互转化 当且， （3）对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有 ③对数恒等式: （且） 6、对数的运算性质 （1）对数的运算 当且，, ① ② ③ ④ ⑤ （2）对数的换底公式 换底公式： 特别的： 7、对数函数 (1)、对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 图象 性质 定义域： 值域： 过定点 ，即时， 在上 在上是 当时，，当时， 当时，，当时， 对数函数常用技巧： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象 ；当时，对数函数的图象随的增大而 ．(见下图) 考点一 幂函数的图象与性质 例题1 （2024江苏）已知函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 例题2 （2023高三上·江苏·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 例题3 （2024高二下·湖南·学业考试）函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 1．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 2．已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 3．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 指数及分数指数幂的运算 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）的值为（     ） A． B． C． D． 例题3 （2023高二·山西·学业考试）________． 1．（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．已知，则=_________________ 3．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 4．设，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 指数函数的图象与应用 例题1 （25-26高二下·北京·学业考试真题）函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024高二下·湖南·学业考试）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 例题3 （2024高二下·湖北·学业考试）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 1．函数（，且）的图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 2．设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 3．关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点四 指数（型）函数的单调性 例题1 （2025高二·湖北·学业考试）已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2 （2024高二·安徽·学业考试）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例题3 （2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 3．若，则是的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 指数（型）函数的值域与最值 例题1 （2023高二下·山东·学业考试）函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 例题2 （2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题3 （2024高二上·北京·学业考试）在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 考点六 对数的运算 例题1 （2025高二上·江苏·学业考试）设，则（ ） A. B. C. D. 例题2 （24-25高二上·山东·学业考试真题）（   ） A．1 B． C．2 D． 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 1．（   ） A．70 B． C．3 2．若与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则a的值可以为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 考点七 对数函数的定义域 例题1 （2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2025江苏） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是____________（用区间表示） 考点八 对数函数的图象与应用 例题1 （2023高三·北京·学业考试）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2022高二下·浙江·学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 1．函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 2．函数曲线恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点九 对数（型）函数的单调性 例题1 （2024高二下·天津·学业考试）下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 例题2 （2022高二下·浙江·学业考试）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 例题3 （2024高二下·甘肃·学业考试）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 1．已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 3．已知函数． (1)求的定义域； (2)判断在其定义域上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式． 考点十 对数（型）函数的值域与最值 例题1 （2025高三上·四川·学业考试）已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2 （2023高二·河北·学业考试）已知函数，则的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 例题3 （2023高二·江苏·学业考试）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 1．函数在区间上取值范围为____________. 2．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．2或 B．3或 C．4或 D．2或 3．对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是_______． 考点十一 幂指对函数值的比较大小 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）设，则（ ） A. B. C. D. 例题2 （2025高二上·江苏·学业考试）已知，则（ ） A. B. C. D. 例题3 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）设，，，则（    ） A． B． C． D． 1．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，，则，，1的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点十二 幂指对函数的实际应用 例题1 （2026高二下·浙江·学业考试）声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（   ） A． B．10 C． D． 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练t小时，得到的数据量个单位，其中N0为常数，则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为（    ） A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 例题3 （2025高二下·山东·学业考试真题）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 1．荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 3．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 练 1．（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，则__________． 10．已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若函数是奇函数，求实数的值； (3)证明：当时，． 11．已知，则.（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 13．已知，则__________. 14．已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $