精品解析：广东茂名市茂南区第六中学2026-2027学年九年级上学期质检练习二数学试题

2026－2027学年度第一学期 九年级数学质检练习二（期中） （范围：第一章至第三章 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 2. 如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则网球拍击球的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 8. 如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，P为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点O，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 12. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，轴，则菱形ABCD的周长是______． 14. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为______． 15. 如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请利用无刻度的直尺画出． 17. 如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC. 18. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，于，于，为的中点． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 20. 依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 21. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 定义：我们把关于的一元二次方程与且，称为一对“换位方程”．如的“换位方程”是． （1）写出一元二次方程的“换位方程”：_____； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“换位方程”的两根为，_____；根据以上结果，猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为_____； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 23. 在中，，，点D在所在的直线上运动，作（A、D、E按逆时针方向）． （1）如图1，若点D在线段上运动，交于E． ①求证：； ②当是等腰三角形时，求的长． （2）如图2，若点D在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期 九年级数学质检练习二（期中） （范围：第一章至第三章 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角相等，正方形的对角线相等，且互相垂直平分，解答即可． 【详解】解：①平行四边形绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形，为真命题． ②矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，为假命题． ③菱形的对角相等，四个角不一定都相等，为假命题． ④　正方形同时具备矩形和菱形的性质，对角线相等且互相垂直平分，为真命题． 综上，真命题为①④． 2. 如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意． 3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ． 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解. 【详解】∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 解得AC=8 故选B. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到对于线段成比例. 6. 如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则网球拍击球的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， 解得：h=1.4， 即网球拍击球的高度为． 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，熟记性质并列出比例式是解题的关键． 7. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，证明四边形是菱形；设的交点为O，利用勾股定理，菱形的面积解答即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，则， ∵两张等宽度的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设的交点为O， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 故纸条的宽度是． 8. 如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，得到，，再证明，过点作交于点G，则，证明是等边三角形，得到， 证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵△和△都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， 过点作交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 10. 如图，在中，，，，P为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点O，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出O为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ O为中点，， ∴ ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ∴  ∵， ， ∴，  ∴， 即，  ∴，  ∴ ， 即的最小值为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 12. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 【答案】9 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等，进一步证明，再结合线段比例关系得到相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ． ， ， ， ， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，轴，则菱形ABCD的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计算出线段AB的长，最后利用菱形的性质计算周长即可． 【详解】解：令，得，解得，∴ ，OA=3． 令，得，∴，OB=4 ． 在中，． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA． ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题是一道函数与几何的综合题．重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质．如果是使用两点间距离公式，注意公式的正确使用：设点，，则A、B两点间的距离为． 14. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由表示出的边上的高，根据，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即可求出的长． 【详解】解：令与交于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴． 15. 如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【解析】 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请利用无刻度的直尺画出． 【答案】如图，即为所求， 【解析】 【分析】位似图形对应顶点与位似中心在同一条直线上，到位似中心的距离之比等于位似比．用直尺先连线延长，再按倍长度找到对应格点，最后连线成三角形． 【详解】解：图见答案． 作图思路：用直尺作射线、、； 在射线上取点，使； 在射线上取点，使； 在射线上取点，使； 顺次连接、、，即为所求． 17. 如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC. 【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°． ∴四边形OCED是矩形．∴DE=OC． ∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°， ∴． ∴BC=OE． 【解析】 【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，从而得到OCED是矩形，由勾股定理即可求出BC=OE． 【详解】略 18. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，于，于，为的中点． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】第问直接用斜边中线定理求出、，再加 得到周长； 第问先利用等边对等角算出 、，求出顶角 ，再用等腰三角形内角和求底角 . 【小问1详解】 解：， 是 的中点， 在 中，（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）； 同理，在 中，. ， ． 的周长． 【小问2详解】 解：， ，得； ，得 。 ，， ． 又 ， 是等腰三角形， ． 20. 依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）每袋酥饼需要降价元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 21. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 定义：我们把关于的一元二次方程与且，称为一对“换位方程”．如的“换位方程”是． （1）写出一元二次方程的“换位方程”：_____； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“换位方程”的两根为，_____；根据以上结果，猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为_____； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】（1） （2）；互为倒数； （3）或 【解析】 【分析】（1）按照“换位方程”的定义求解即可； （2）用配方法解出（1）中的“换位方程”，根据解来判断原方程的根与“换位方程”的根的关系； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”的两根是，， 设，将方程变形为，进行求解即可． 【小问1详解】 解：在一元二次方程中，，，， 所以，一元二次方程的“换位方程”为； 【小问2详解】 由（1）知一元二次方程的“换位方程”为； 或， ，， 原方程的两根为，， ，， 猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 【小问3详解】 方程的两根是，，因为方程的“换位方程”是方程， 所以方程的两根是，， ， ， 设， 则， 或， 即，， 或． 【点睛】将看作一个整体进行求解． 23. 在中，，，点D在所在的直线上运动，作（A、D、E按逆时针方向）． （1）如图1，若点D在线段上运动，交于E． ①求证：； ②当是等腰三角形时，求的长． （2）如图2，若点D在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由； 【答案】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴, ∴； ②的长为1或2或； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和的转化可知，进而即可证明； ②当，，出现这三种情况分类讨论即可； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况： 第一种情况：如图，， ∵， ∴， ∴， ∴，由①可知：， ∴， ∴， ∴点E为的中点， ∴； 第二种情况：如图，， 此时点D和点B重合，点E和点C重合，即; 第三种情况：如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴, 在和中， ∴， ∴，， 设， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ 综上所述，的长为1或2或； 【小问2详解】 解：存在， 理由如下： 如图，由（1）①可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $