精品解析：广东湛江市四校教育联盟2024-2025学年九年级期末调研考试数学科试卷

湛江市四校教育联盟九年级期末调研考试数学科试卷 （总分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如果点，在抛物线上，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（ ） A. （-3，-1） B. （-2，-6） C. （2，6）或（-2，-6） D. （-1，-3） 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有无实数根，无法判断 8. 已知二次函数则关于该函数的结论正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线与y轴交于点 C. 函数的最小值为1 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A. 2 B. C. 2 D. 4 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④为任意实数，则；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 12. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_____． 13. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为______． 14. 已知圆锥底面半径是6cm，圆锥的高是8cm，则它的侧面积是_____． 15. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场有一处积水，若小李距积水2m，他正好从水面上看到距他约10m的前方一棵树顶端的影子（如图，积水水面大小忽略不计）．已知小李身高1.6m，请你计算一下树高大约是多少米？（积水与树和人都在同一直线上） 18. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共 名． （2）请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“进取”所对应的圆心角是 ． （3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注平等、感恩两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E） 20. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE，连接OC． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若⊙O半径为4，∠D=30°，求图中阴影部分的面积（结果用含π和根号的式子表示）． 21. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 23. 如图，平面直角坐标系中矩形两边分别在y轴和x轴上，其中，，又P、Q分别是边上的动点，它们分别同时从O、C出发在边上匀速运动，P点每秒运动2个单位，Q点每秒运动1个单位，其中一个动点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒． （1） 当为等腰三角形时，______，此时Q点坐标为______； （2）连接， ①当t为何值时，的面积为3； ②连接，当t为何值时，； （3）在P、Q运动的过程中，是否存在是直角三角形，若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市四校教育联盟九年级期末调研考试数学科试卷 （总分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：A． 3. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个红球，3个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为； 故选：D． 4. 如图，在中，，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算和圆周角的性质，掌握弧长的计算公式（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）是解题关键． 根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理可知：， ， ， ∴弧的长为， 故选：A． 5. 如果点，在抛物线上，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，直接代入计算求出，，即可得出答案． 【详解】点，在抛物线上， 即当时，， 当时，， ； 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（ ） A. （-3，-1） B. （-2，-6） C. （2，6）或（-2，-6） D. （-1，-3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求出答案. 【详解】由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点的对应点的坐标是或，即点的坐标是或 故选：C. 【点睛】本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键. 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有无实数根，无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．利用根的判别式，得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：根据题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 已知二次函数则关于该函数的结论正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线与y轴交于点 C. 函数的最小值为1 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向上，故选项A错误； ∵当时，， ∴抛物线与y轴交于点，故选项B错误； 函数有最小值为，故选项C错误； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确， 故选：D． 9. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用射影定理得到BC2=BD•BA，然后把AD=3，BD=1代入计算即可． 【详解】解：根据射影定理得BC2=BD•BA， 即BC2=1×（1+3）， 所以BC=2． 故选C． 【点睛】本题考查射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④为任意实数，则；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③根据对称性和图象上的点，进行判断；④利用最值进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为：， ∴， 抛物线与轴交于正半轴，， ∴；故①错误； ②∵对称轴为：， ∴；故②正确； ③∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图像知，当时，函数值小于0， ∴；故③错误； ④由图象可知，当时，函数有最大值：， ∴m为任意实数，则， 即：；故④错误； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上：②⑤正确，共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称，得到，，再代入计算乘方即可． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， ， 故答案为：1． 12. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 答案为： 13. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 14. 已知圆锥底面半径是6cm，圆锥的高是8cm，则它的侧面积是_____． 【答案】60πcm2 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积． 【详解】由勾股定理得：圆锥的母线长==10（cm）， ∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π（cm）， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π（cm）， ∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π（cm2）． 故答案为60πcm2. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积． 15. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接OA，OB， ∵△AOB与△ACB同底等高， ∴， ∵轴， ∴AB⊥y轴， ∵A、B分别在反比例函数y=-和y=的图象上， ∴，， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，然后利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ∴或， ∴，． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的方法：直接开方法及因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 17. 雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场有一处积水，若小李距积水2m，他正好从水面上看到距他约10m的前方一棵树顶端的影子（如图，积水水面大小忽略不计）．已知小李身高1.6m，请你计算一下树高大约是多少米？（积水与树和人都在同一直线上） 【答案】米 【解析】 【分析】根据题意得：，然后利用相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ，，， 即：， 解得：， 所以树高大约是米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形． 18. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可； （2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可． 【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x． 根据题意，得2(1＋x)2＝2.88， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%. (2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4， 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共 名． （2）请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“进取”所对应的圆心角是 ． （3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注平等、感恩两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E） 【答案】（1）280 （2）补全条形统计图，如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了补全条形统计图，圆心角的度数，运用列表或树状图求概率，解决此题的关键是读懂题意，根据图表得到需要的信息． （1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可； （2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可； （3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“B”与“C”的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：（名）， 答：这次调查的学生共有280名， 故答案为：280； 【小问2详解】 解：（名），（名）， 根据题意得：，， 答：“进取”所对应的圆心角是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：用树状图为： 共有20种等可能的结果，恰好选到“B”和“C”有2种， ∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE，连接OC． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若⊙O半径为4，∠D=30°，求图中阴影部分的面积（结果用含π和根号的式子表示）． 【答案】(1)证明： ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA . ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE ， ∴∠OCA=∠CAE ， ∴OC∥AE ， ∴∠OCD=∠E . ∵AE⊥DE   ， ∴∠E =90°=∠OCD， 即OC⊥CD ， ∴CD是圆O的切线. （2） 【解析】 【分析】由OA=OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA ．根据角平分线的定义可得∠OAC=∠CAE ，所以∠OCA=∠CAE ，即可判定OC∥AE ，再由AE⊥DE ，即可得∠E =90°=∠OCD，结论得证； （2）在Rt△ODC中，求得OD、CD的长，再由S阴影=S△OCD-S扇形OBC即可求得图中阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）在Rt△ODC中， ∵∠D=30°，OC=4， ∴∠COD=60°，OD=2OC=8 ∴， ∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC= ． 21. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 23. 如图，平面直角坐标系中矩形两边分别在y轴和x轴上，其中，，又P、Q分别是边上的动点，它们分别同时从O、C出发在边上匀速运动，P点每秒运动2个单位，Q点每秒运动1个单位，其中一个动点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒． （1） 当为等腰三角形时，______，此时Q点坐标为______； （2）连接， ①当t为何值时，的面积为3； ②连接，当t为何值时，； （3）在P、Q运动的过程中，是否存在是直角三角形，若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）3； （2）①② （3）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，利用相似三角形的性质列出等式是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，从而可得结论； （2）①根据题意得，由列出方程求解即可； ②由可得，利用相似三角形的性质求解即可； （3）分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵是等腰三角形，且 ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； 【小问2详解】 解：①根据题意得， ∵ ∴， 又， ∴ ∴ 解得，； ②∵四边形是矩形， ∴ 如图， 当时，， ∴， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：①当时，如图， ∴ 又 ∴ 又 ∴ ∴， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的根， ②当时，如图， ∴ 又 ∴， 又， ∴ ∴， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的根，但不合题意，舍去， ∴， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $