精品解析：广东茂名市茂南区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

九年级数学期末试卷 注意事项： 1．共6页．时间共120分钟．满分为120分． 2．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 3．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图中几何体的左视图为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 任意下列两个图形不一定相似的是（ ） A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 矩形 D. 等边三角形 4. 两个相似三角形的周长比是．则其相似比是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（ ） A. 1 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣2 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（ ） A. B. － C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则等于（ ）． A. B. C. D. 10. 若，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将各题正确答案填写在答题卡相应位置． 11. 若是方程的解，则式子的值为_______________． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有_____个． 13. 如图，在菱形ABCD中，∠C＝60º，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为____________． 14. 如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是________度． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为______． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，在矩形中，是对角线． （1）用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点，交、分别于点、，连接、保留作图痕迹，不写作法 （2）求证：四边形是菱形． 18. 某景区检票口有，，共个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择检票通道的概率是________； （2）用树状图或列表法求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 21. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 五．解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），反比例函数（＞）的图象经过点且与边交于点，连接． （1）连接，若的面积为，则________； （2）连接，与是否平行？请说明理由； （3）是否存在点，使得点关于的对称点在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________． （2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期末试卷 注意事项： 1．共6页．时间共120分钟．满分为120分． 2．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 3．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图中几何体的左视图为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为 ， 故选：C． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，如果选项的点的纵横坐标的乘积为，那么该点在反比例函数图象上，据此即可作答． 【详解】解：A、，则点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； B、，则点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； C、，则点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； D、，则点在反比例函数图象上，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 任意下列两个图形不一定相似的是（ ） A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 矩形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解． 【详解】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意 B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意； C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意； D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键． 4. 两个相似三角形的周长比是．则其相似比是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴这两个三角形的相似比是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 5. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，代入即可得出答案． 【详解】解：设，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，正确理解题意是解题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（ ） A. 1 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知，，代入数据，即可求解． 【详解】由题意知：一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∴． ∴k的最大整数是0． 故选B． 【点睛】本题主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 8. 已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（ ） A. B. － C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义即可解答． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍． 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出∽，再根据相似三角形面积之比等于边长之比的平方即得． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴， ∴∽ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题关键是熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 10. 若，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数和一次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将各题正确答案填写在答题卡相应位置． 11. 若是方程的解，则式子的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用方程的解得出关于的等式是解题的关键． 由是方程的解可得，代入即可求出式子的值． 【详解】解：是方程的解， ， 即：， ， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有_____个． 【答案】 【解析】 【分析】根据摸到红球的频率约为，用5除以得到总球数，再计算求解即可． 【详解】解：摸到红球的频率约为， ∴不透明的袋子中一共有球为：(个)， 故估计袋子中的白球有：(个)， 故答案为： 【点睛】本题主要考查用频率估计概率及应用，解题的关键是明确频率估计概率的意义． 13. 如图，在菱形ABCD中，∠C＝60º，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为____________． 【答案】40 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据菱形的周长公式即可得． 【详解】四边形ABCD是菱形， 点E、F分别是AB、AD的中点 又 是等边三角形 则菱形ABCD的周长为 故答案为：40． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 14. 如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是________度． 【答案】22.5 【解析】 【分析】由正方形的性质可得∠CAD=45°，∠ADC=90°，由等腰三角形的性质可得∠ADP=∠APD=67.5°，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∵AP=AD， ∴∠ADP=∠APD=67.5°， ∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=22.5°． 故答案为：22.5°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积计算，过点G作，交于点P，交于点Q，说明四边形和四边形为矩形，证明，得出，分别求出，，，即可得出答案． 【详解】解：过点G作，交于点P，交于点Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得， ，，， ， ， 则， 【小问2详解】 解： ， 或， 所以，． 17. 如图，在矩形中，是对角线． （1）用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点，交、分别于点、，连接、保留作图痕迹，不写作法 （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求； （2） 证明：∵为的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，正确画出图形是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由线段垂直平分线的性质得，，进而由等腰三角形的性质得，又由平行线的性质得，即得，即得到，即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某景区检票口有，，共个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择检票通道的概率是________； （2）用树状图或列表法求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）画树状图得所有等可能情况，用符合题意的情况数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵某景区检票口有，，共个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从个检票通道中随机选择一个检票． ∴甲选择检票通道的概率是； 【小问2详解】 解：由题意画树状图得， 甲乙两人分别从个检票通道中随机选择一个检票共有种等可能的情况， 其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有种． （甲乙两人选择的通道相同）． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 【答案】（1） ，， ； （2） 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找出一次函数在反比例函数上方时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由函数图象得，一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围为或． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的图象，求一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围其实就是找出一次函数在反比例函数上方时的取值范围． 21. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）平均每次降价每件盈利减少的百分率为 （2）若商场每天要盈利元，每件应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，进行列式计算，即可作答． （2）结合每件盈利元，平均每天可售出件，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设平均每次降价每件盈利减少的百分率为， 根据题意，得， 解得（舍去）或， 答：平均每次降价每件盈利减少的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 根据题意，得， 解得，， 尽快减少库存，且一件女款上衣每降价元，每天可多售出件 答：若商场每天要盈利元，每件应降价元． 五．解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），反比例函数（＞）的图象经过点且与边交于点，连接． （1）连接，若的面积为，则________； （2）连接，与是否平行？请说明理由； （3）是否存在点，使得点关于的对称点在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）结论： 理由：连接，如图，设，则， ∴， 则，， ， ， 又， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）求出，代入函数解析式即可求出答案； （2）连接，证明，则，即可证明结论； （3）假设存在点满足条件．设，，则，，，．作，垂足为；证明，则，得到，由勾股定理得，，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点E，E在边上，如图， 所以E的横坐标为4， 设, 面积为3， ， 代入，得 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在点满足条件．设，则， 则，，，． 作，垂足为； 在矩形中，， 由折叠可知，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，， ， 解这个方程得，（舍去），， ∴满足条件的点存在，的坐标为 23. 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________． （2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长． 【答案】（1）12； （2）三条线段，，之间满足的数量关系为， 理由如下： 图（1） 如图（1），过点D作，且，连接，， 则， ∴. ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴. 在与中， ∴， ∴，. ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）4 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．证出．在中，由勾股定理得出，则，设正方形的边长为，则，，得出方程，解方程即可； （2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解； （3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形， ∴，. 由旋转得， ∴，，，， ∴， ∴E，B，N在同一条直线上. ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 在与中， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 在中，由勾股定理得 ∴. ∴； （2）略 （3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则. ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则. ∵四边形是正方形，， ∴由（1）中证明知，. 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $