第7章 三角函数（10考点+8易错+易错训练）（知识清单）数学苏教版必修第一册

第7章 三角函数 知识点01任意角 1．任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 注意：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成．． 知识点02弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 知识点03三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的余弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 注意：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点04同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：． （2）商数关系：． 知识点05三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 知识点06正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 1．正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π． 2．正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是π． 3．函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的周期 一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期T＝． 知识点07三角函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 ，奇函数 ，偶函数 ，奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形． 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形． 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形． 知识点08函数的图象与性质 1．函数的图象的画法 （1）变换作图法 由函数的图象通过变换得到（A>0，ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．如下图． （2）五点作图法 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： ①先确定最小正周期T=，在一个周期内作出图象； ②令，令X分别取0，，，，求出对应的x值，列表如下： 由此可得五个关键点； ③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图． 2．函数（A>0，ω>0）的性质 （1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数． （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= ． （3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间． （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x． 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴． 3．函数（A>0，ω>0）的物理意义 当函数（A>0，ω>0，）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率，叫做相位，x=0时的相位叫做初相． 知识点09三角函数的综合应用 （1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为． （2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为． （3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为． （4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数． （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定． 注意：函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解． （6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为． 注意：函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴．函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴． 知识点10三角函数模型应用 1．三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 2．三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 3．我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 易错点1 忽略了角的旋转方向导致角的正负出错 易错提醒 错误：忽略射线旋转方向导致角的正负出错 注意：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角 【对点训练】1．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【解析】由题意可得，设，则 ， 解得， 所以射线绕端点顺时针旋转， 故选：B 易错点2 n分角与n倍角的象限问题 易错提醒 错误：忽略n倍角与n分角结果的多种可能性 注意：对于的范围问题，可采用等分象限法，即把每个象限平均分成n份，从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号（如图以为例），则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域 【对点训练】2．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【解析】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误； 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误； 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限； 故C正确； 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误． 故选：C． 易错点3 三角函数的定义考虑不全 易错提醒 错误：忽略正弦函数、余弦函数在单位圆中的几何意义导致出错 注意：（1）设角终边上任一点的坐标为，它与原点的距离为 ，则，，． （2）求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．当已知坐标含参数时需注意分类讨论． 【对点训练】3．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【解析】由题意得：， 所以，解得． 易错点4 同角三角函数关系中忽略角的范围 易错提醒 错误：在计算三角函数的求值问题忽略角的范围导致出错 注意：（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；． （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号 【对点训练】4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将两边平方可得，解得． 因为，所以，故，所以， 因为，所以． 所以． 易错点5 模型 易错提醒 注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 【对点训练】5．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，若，等式不成立； 若，则， ． 易错点6 忽略ω的正负对三角函数性质的影响 易错提醒 错误：忽略ω的正负对函数单调性的影响导致出错 注意：ω＞0和ω＜0时三角函数单调性结论相反 【对点训练】6．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，有， ∴上函数单调递减，即，而． 故选：A 易错点7 利用图象求三角函数解析式时选点不当 易错提醒 错误：选点不当致错！容易因忽视点所在的单调区间产生错解．故选点时优先选取图象上的最高点或最低点 注意：理解五点作图法的五个关键点对应函数y=Asin（ωx+ϕ）或y=Acos（ωx+ϕ）的一个周期内的特征点： 起始点（平衡位置）、最高点、中间点（平衡位置）、最低点、结束点（平衡位置）．对于正弦函数，第一关键点通常是 起始点（即相位角 ωx+ϕ=0 对应的点）；对于余弦函数，第一关键点通常是 最高点（即ωx+ϕ=0 的点），提醒，正弦型函数的起始点在增区间上且距离y轴最近． 【对点训练】7．函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数的最小正周期为， 由图可得：，且，即， 且，可得，解得，则， 代入点可得，即 则，即， 所以． 故选：B． 易错点8 函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢 易错提醒 注意：在水平平移图象时，注意只针对x进行“左加右减”，若x的系数不为1，则需“提出”系数之后再“左加右减” 【对点训练】8．已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】，设将向右平移个单位（表示向右移，表示向左移）， 则平移后得函数为：， 令其等于，得，解得，故向右平移个单位． 1．（2026·高一·河南驻马店·开学考试）在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的（     ） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．无法确定 【答案】B 【解析】设直角三角形中两个锐角分别为和，则，所以． 即在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值． 2．（2026·高一·上海·期中）已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，函数的周期，所以符合题意， 又函数经过点，且在该点附近单调递增， 所以由得：，解得：， 又，所以当时，， 所以函数的解析式为． 3．（2026·高一·贵州遵义·期中）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为（）， 由题意可得方程组： ，解得，， 因此该扇形的圆心角弧度数为，故A正确． 4．（2026·高一·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由，得； 同除以，得 由得， 代入化简得， 即， 解得， 则． 5．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知，是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为是的内角，且，所以． 因为在上单调递减，所以，故充分性成立； 反之，在上单调递减，． 若，则，故必要性成立， 所以在中，“”是“”的充要条件． 6．（2026·高一·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得：，解得：． 已知，该区间内，故． 所以． 7．（2026·高一·北京·期末）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象． 8．（2026·高一·甘肃酒泉·期末）将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变可得， 再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为 9．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分，D正确． 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为是第四象限角，所以，，． A．，正确． B．，与矛盾，错误． C．由平方关系知，在第四象限不等于，错误． D．由且得，正确． 11．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的一个单调递减区间为 【答案】ABD 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图象， 函数的图象将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得出， 所以，A选项正确； 函数的最小正周期为，B选项正确； 因为不是，所以函数的图象不关于直线对称，C选项错误； 令，所以的减区间为，函数的一个单调递减区间为，D选项正确； 12．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________． 【答案】/ 【解析】由条件可知，． 13．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知是第二象限的角，化简_________ 【答案】 【解析】因为是第二象限的角，则，，可得，， 可得， ， 所以原式． 14．（2026·高一·上海徐汇·期末）方程，的解集为______（用列举法表示） 【答案】 【解析】由，化简得． 则或， 即或， 因为，所以当时，或． 所以方程的解集为． 15．求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 【解析】（1）因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，； 令，解得， 所以函数的单调递减区间是，． （2）因为， 令，解得， 所以函数的单调递减区间是，； 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，． 16．（2026·高一·海南·期末）已知函数的部分图象如图所示． （1）求的最小正周期； （2）直接写出的解析式和单调递减区间； （3）的图象可以由的图象经过怎样的变换得到？ 【解析】（1）由题图可知：，所以． （2）因为，则，可得； 由图可知，则， 且函数的图象过点，则，即， 又因为，则， 可得，解得，所以． 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为． （3）方法一：先将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度； 方法二：先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变． 17．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知． （1）求：及的值； （2）求的值； （3）若为第二象限角，求的值． 【解析】（1）当时，； ． （2）当时，． （3）当，为第二象限角时，， ． 18．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得，设最小正周期为，则， 解得，故，， 将代入得，故， 因为，所以，， 所以，解得， 解析式为； （2），则， 画出在上的图象，如下： 显然当时，与有两个交点， 即在上有两个不相等的实数根． 19．（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中点与点关于直线对称． （1）写出点的坐标并求函数的解析式； （2）当，时，求的值域． 【解析】（1）依题意，点和点关于直线对称，所以点的坐标为． 由图象易得，所以， 又函数的图象过点，则，可得， 因为，故， 而，可得， 所以，解得， 设函数的最小正周期为，由图可知，则，故， 故，，所以． （2）当时，则， 因为，则， 当时，，所以在上单调递减， 而，，所以； 当时，，且，则， 由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，则， 综上所述，函数的值域为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数 知识点01任意角 1．任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 注意：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成．． 知识点02弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 知识点03三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的余弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 注意：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点04同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：． （2）商数关系：． 知识点05三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 知识点06正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 1．正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π． 2．正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是π． 3．函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的周期 一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期T＝． 知识点07三角函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 ，奇函数 ，偶函数 ，奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形． 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形． 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形． 知识点08函数的图象与性质 1．函数的图象的画法 （1）变换作图法 由函数的图象通过变换得到（A>0，ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．如下图． （2）五点作图法 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： ①先确定最小正周期T=，在一个周期内作出图象； ②令，令X分别取0，，，，求出对应的x值，列表如下： 由此可得五个关键点； ③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图． 2．函数（A>0，ω>0）的性质 （1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数． （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= ． （3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间． （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x． 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴． 3．函数（A>0，ω>0）的物理意义 当函数（A>0，ω>0，）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率，叫做相位，x=0时的相位叫做初相． 知识点09三角函数的综合应用 （1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为． （2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为． （3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为． （4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数． （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定． 注意：函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解． （6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为． 注意：函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴．函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴． 知识点10三角函数模型应用 1．三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 2．三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 3．我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 易错点1 忽略了角的旋转方向导致角的正负出错 易错提醒 错误：忽略射线旋转方向导致角的正负出错 注意：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角 【对点训练】1．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 易错点2 n分角与n倍角的象限问题 易错提醒 错误：忽略n倍角与n分角结果的多种可能性 注意：对于的范围问题，可采用等分象限法，即把每个象限平均分成n份，从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号（如图以为例），则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域 【对点训练】2．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 易错点3 三角函数的定义考虑不全 易错提醒 错误：忽略正弦函数、余弦函数在单位圆中的几何意义导致出错 注意：（1）设角终边上任一点的坐标为，它与原点的距离为 ，则，，． （2）求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．当已知坐标含参数时需注意分类讨论． 【对点训练】3．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 易错点4 同角三角函数关系中忽略角的范围 易错提醒 错误：在计算三角函数的求值问题忽略角的范围导致出错 注意：（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；． （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号 【对点训练】4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 易错点5 模型 易错提醒 注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 【对点训练】5．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 易错点6 忽略ω的正负对三角函数性质的影响 易错提醒 错误：忽略ω的正负对函数单调性的影响导致出错 注意：ω＞0和ω＜0时三角函数单调性结论相反 【对点训练】6．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 易错点7 利用图象求三角函数解析式时选点不当 易错提醒 错误：选点不当致错！容易因忽视点所在的单调区间产生错解．故选点时优先选取图象上的最高点或最低点 注意：理解五点作图法的五个关键点对应函数y=Asin（ωx+ϕ）或y=Acos（ωx+ϕ）的一个周期内的特征点： 起始点（平衡位置）、最高点、中间点（平衡位置）、最低点、结束点（平衡位置）．对于正弦函数，第一关键点通常是 起始点（即相位角 ωx+ϕ=0 对应的点）；对于余弦函数，第一关键点通常是 最高点（即ωx+ϕ=0 的点），提醒，正弦型函数的起始点在增区间上且距离y轴最近． 【对点训练】7．函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（   ）    A． B． C． D． 易错点8 函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢 易错提醒 注意：在水平平移图象时，注意只针对x进行“左加右减”，若x的系数不为1，则需“提出”系数之后再“左加右减” 【对点训练】8．已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 1．（2026·高一·河南驻马店·开学考试）在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的（     ） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．无法确定 2．（2026·高一·上海·期中）已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·贵州遵义·期中）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 5．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知，是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·高一·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 7．（2026·高一·北京·期末）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·甘肃酒泉·期末）将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的一个单调递减区间为 12．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________． 13．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知是第二象限的角，化简_________ 14．（2026·高一·上海徐汇·期末）方程，的解集为______（用列举法表示） 15．求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 16．（2026·高一·海南·期末）已知函数的部分图象如图所示． （1）求的最小正周期； （2）直接写出的解析式和单调递减区间； （3）的图象可以由的图象经过怎样的变换得到？ 17．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知． （1）求：及的值； （2）求的值； （3）若为第二象限角，求的值． 18．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19．（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中点与点关于直线对称． （1）写出点的坐标并求函数的解析式； （2）当，时，求的值域． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $