8.1 二分法与求方程近似解（十二大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

8．1 二分法与求方程近似解 课程标准 学习目标 （1）通过本节内容的学习，让学生结合实例，运用图形判定零点，提升直观想象和逻辑推理素养. （2）运用零点判定定理确定零点范围，提升逻辑推理素养. （3）运用二分法求具体方程的近似解，提升直观想象和数学抽象素养. （1）了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. （2）会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. （3）了解二分法的原理及其适用条件. （4）掌握二分法的实施步骤. 知识点01 函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【即学即练1】（2024·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】函数的零点，即方程的实数根. 由解得，或. 故函数函数的零点个数是. 故选：D. 知识点02 二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 【即学即练2】（2024·全国·高一课堂例题）在在上恰有一个零点．试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值（误差不超过0.001）． 【解析】已经知道，，这是出发点；然后一次次缩小零点所在区间： 第一次，取]的中点，用计算器或计算机求出，由于，可知零点在上； 第二次，取的中点，求出，由于，可知零点在上； 第三次，取的中点，求出，由于，可知零点在上． 为了表述清楚，记零点所在区间为，其中点．继续计算列出表格： 次数 ，+ ，- 的近似值 区间长 1 0 1 0.5 0.38 1 2 0.5 1 0.75 0.5 3 0.5 0.75 0.625 0.07 0.25 4 0.625 0.75 0.6875 0.125 5 0.625 0.6875 0.65625 0.0625 6 0.625 0.65625 0.640625 0.032 0.03125 7 0.640625 0.65625 0.6484375 0.01 0.015625 8 0.6484375 0.65625 0.65234375 0.00095 0.0078125 9 0.65234375 0.65625 0.654296875 0.00390625 10 0.65234375 0.654296875 0.6533203125 0.001953125 从表中计算数据看出，计算到第10次，包含零点的区间长度小于0.002．取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即0.001．于是可取0.653作为零点的近似值． 题型一：求函数的零点 【典例1-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【解析】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 【典例1-2】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 【答案】C 【解析】解方程得或， 所以函数的零点为和5. 故选：C. 【方法技巧与总结】 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 【变式1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】令，解得， 故零点为， 故选：A 【变式1-2】（2024·高一·上海·随堂练习）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察图象可知只有A选项中的图象与轴没有交点，其他BCD选项中的图象与轴有交点， 这意味着只有A选项中的函数没有零点. 故选：A. 【变式1-3】（2024·高一·上海·随堂练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】函数的零点可以转化为方程的根， 所以. 故选：C. 【变式1-4】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【解析】设，即， 因为，可得，所以，解得， 所以，令，可得，即， 解得. 故选：A. 题型二：根据零点求函数解析式的参数 【典例2-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，是方程的两个根 代入可得， 解得 所以 故选：B 【典例2-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）若函数有个不同的零点，则.已知，存在实数满足，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．与实数有关 【答案】A 【解析】依题意知有三个零点， 即， 展开对应项系数相等得， 所以. 故选：A 【变式2-1】（2024·高一·江苏·假期作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得是方程的两不等实根， 所以， ，， 所以，即， 又，所以. 故选：A 【变式2-2】（2024·高一·江苏宿迁·期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（    ） A．9 B．12 C．0或9 D．0或12 【答案】C 【解析】因为，令，得到， 当时，，得到，满足题意， 当时，因为函数有且只有一个零点，故，得到，综上，或. 故选：C. 【变式2-3】（2024·高一·湖北荆州·期末）已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】函数只有一个零点，则， 不等式的解集为，即的解集为. 设方程的两根为，则，且， ∴，则，整理得，. 故选：C. 【变式2-4】（2024·高一·全国·课后作业）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ） A．0， B．0， C．0，2 D．2， 【答案】A 【解析】因为函数的零点为2，所以， ∵，，∴，∴． 令，得或． 故选：A. 题型三：零点存在性定理的应用 【典例3-1】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知函数图象是连续不断的，并且在上，随着自变量的不断（严格）增大，函数值也不断（严格）增大，有如下的对应值表： 1 2 3 4 1.32 4.28 12.65 以下说法： ①一定小于0         ②，则 ③这个函数一定和轴有一个交点 ④关于的方程有且只有一个解 其中，正确的个数为（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由题意在R上单调递增，故，①对； 由，即在区间内存在一个零点， 所以，则，②错； 由上，在R上单调递增，且在区间内存在一个零点，③对； 由，即， 而在上递增，在上递减，且值域为， 在上恒负，在上恒正，所以上无解， 而时，时， 所以，在区间内有且仅有一个根， 综上，关于的方程有且只有一个解，④对. 故选：C 【典例3-2】（2024·高一·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 【方法技巧与总结】 解决这类判断函数零点的大致区间的题目，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【答案】B 【解析】因为,在区间具有单调性， 但是的连续不知道， 因此根据零点存在性定理可知在区间至多只有一实根. 故选：B. 【变式3-2】（2024·高一·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 【变式3-3】（2024·高一·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 【变式3-4】（2024·高一·北京海淀·期中）已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，，. 故选：B. 题型四：根据零点所在区间求参数范围 【典例4-1】（2024·高一·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【解析】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上， 所以. 故答案为：2 【典例4-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： 【变式4-1】（2024·高一·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，令得，符合题意； 当时，是二次函数，对于方程， 只需，即，解得，且， 当时，，此时，得或，符合题意， 当时，，此时，得或，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·江苏南通·期末）试写出一个实数 ，使得函数在上恰有一个零点. 【答案】1（答案不唯一） 【解析】不妨取，则， 则，即得， 又图象的对称轴为，则在上单调递增， 故在上恰有一个零点， 故答案为：1 【变式4-3】（2024·高一·江苏南京·期末）已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 . 【答案】 【解析】因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 且，所以； 由可得， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 因为函数与的图象关于对称，且互相垂直， 且由解得，即、的中点为， 所以. 故答案为：1；2. 题型五：根据零点的个数求参数范围 【典例5-1】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）若函数在上有两个零点，则的取值范围为 【答案】 【解析】因为在上有两个零点， 所以，，解得. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高一·浙江·期中）已知，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，画出的图象，如下图， 要使函数有5个不同的零点， 即函数有两个零点，或，， 当，时，即，所以有两根和，符合题意； 当，时，又因为， 所以，解得. 综上所述：的取值范围为. 【方法技巧与总结】 体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径． 【变式5-1】（2024·高一·北京通州·期中）已知函数若互不相等的三个实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】画出的图象如下图所示， 当时，令，解得， 依题意，互不相等的三个实数满足， 不妨设，由图可知， 而，所以. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高一·宁夏银川·期中）已知函数 ，若互不相等的实数满足 ，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示 不妨设，则关于直线对称，故， 且满足， 则的取值范围为； 即． 故答案为：. 【变式5-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称， 所以有解， 即， ①， 令，当且仅当时等号成立， 则，则①可化为， 依题意，此方程在上有解， 当，解得， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意. 当，即②时， 设，的开口向上，对称轴， 要使在上有零点， 则或， 解得或， 结合②得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式5-4】（2024·高一·内蒙古·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 . 【答案】 100 20 【解析】当时，由，解得，得的零点为100. 由题意得关于x的方程有两个解.作出的图象， 则，且，则，即， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：100，20 【变式5-5】（2024·高一·江苏·专题练习）已知函数 ， 方程 有四个不同根， 且满足， 则 的取值范围是 【答案】 【解析】作出函数图象，可得 ， 所以，从而得 ， 且， 所以， 所以. 令 ， 则在上单调递增， 所以. 故答案为：. 题型六：一次函数零点分布求参数范围 【典例6-1】（2024·高三·福建厦门·阶段练习）函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵ 函数在区间上存在一个零点 ∴，即 ∴ ∴或 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·山东临沂·期中）已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 由函数恰有两个零点，可知在和x>1各有一个零点， 可得：     ，解得 故填： 【变式6-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数. （1）若时，集合恰有三个元素，则实数k的取值范围是 ； （2）若集合恰有两个元素，则实数a的取值范围是 . 【答案】 // // 【解析】（1）时，，函数的图象如图所示， 集合恰有三个元素，所以实数k的取值范围是； （2）对于函数，满足的只有； 对于函数，满足的只有； 又， 如图所示，要使集合恰有两个元素， 所以必须包含，必须包含点， 所以. 故答案为：；. 【变式6-2】（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 【答案】1 【解析】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 【变式6-3】（2024·高一·山东临沂·开学考试）已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于函数， 明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以函数在定义域上单调递增， 又，所以， 所以，即， 即函数在上存在零点， 令，得， 令，， 对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以的值域为， 所以实数的取值范围是. 题型七：二次函数零点分布求参数范围 【典例7-1】（2024·高一·上海长宁·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】的图象开口向上，又，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别， 所以在上，在上， 当时，在上， 于是在上，在上， 因此，当时，不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，在上， 要使不等式恒成立，则， 如图所示： 所以，将把代入方程， 即，即， 整理得，解得， 又，则. 综上所述，实数的取值集合为 故答案为： 【典例7-2】（2024·高一·四川绵阳·期中）若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有四个不同的实数根， 故在上有两个不同的正数解， 故，解得. 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高一·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】易知，令， 则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 由解得. 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式7-3】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期中）若函数与的图象上存在关于轴的对称点，则取值范围是 ． 【答案】 【解析】在曲线上任取一点，其中， 则点关于轴对称的对称点在函数的图象上， 则，则有，可得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 由因为，，则， 所以，函数在上的值域为， 因为关于的方程在时有解， 故的取值范围即为函数在上的值域，故. 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】二次函数，即， 若二次函数在区间上仅有一个零点， 则或，即或. 故答案为：. 【变式7-5】（2024·高一·全国·专题练习）若三个方程，和中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当三个方程均无实根时，有， ， ， 故三个方程均无实根时，的取值范围为， 三个方程中至少有一个方程有实根时，实数的取值范围为． 故答案为： 题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 【典例8-1】（2024·高一·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是 【答案】 【解析】函数的图象如图，且， 令，则，可得或，， 当时，有3个不等的实根， 又函数有6个零点，所以方程有6个不等实根， 则有3不等实根，所以，解得. 故答案为：. 【典例8-2】（2024·高一·重庆·阶段练习）已知函数是偶函数，若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围 ． 【答案】 【解析】，即对于任意恒成立． ，， ，由题意知方程即方程无解． 令，则函数的图象与直线无交点． 任取，且，则． ， 在上是单调减函数．． 的取值范围是． 故答案为：． 【变式8-1】（2024·高一·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】不妨设，因为函数有两个零点分别为、， 所以，所以，即，即， 所以，，其中，所以，， 因为函数在上为减函数，当时，， 所以，，故的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，分别为与图象交点的横坐标， 而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直， 因此这两个交点关于直线对称，如图所示： ， ∵，∴， . 故答案为：． 【变式8-3】（2024·高一·江苏南京·期末）设为实数，若实数是关于的方程的解，则 . 【答案】/ 【解析】由题意知，得， 即， 设，则在上单调递增， 则由可得， 而实数是关于的方程的解，即， 故， 故答案为： 【变式8-4】（2024·高一·江苏·期末）设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】∵，则函数关于直线对称， 又∵函数是定义在R上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以4为周期的周期函数， 又∵，即， 故函数关于点对称， 令，则， 原题等价于与有3个交点，且的定义域为， 如图所示，则可得，解得， 故答案为： 【变式8-5】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若分别是函数的零点，则等于 ． 【答案】 【解析】因为是函数的零点，所以是方程的根，即是与交点的横坐标， 同理是与交点的横坐标，而，， 由与图象关于对称， 所以两点关于对称，，即. 故答案为：. 题型九： 函数与方程的综合应用 【典例9-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 【解析】（1）由题意知：， 解得，，所以不动点为和． （2）依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得 所以 因为，所以 所以，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为． 【典例9-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)在如图所示的坐标系中，画出在区间上的图象； (2)求函数在区间上的零点个数； (3)将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在时有2个不等实根，求实数的取值范围和的值． 【解析】（1）列表如下： 0 1 2 0 0 1 在区间上的图象如图所示． （2）令，可得， 即， 所以或． 结合（1）中的图象，可知在上，当时，的值有2个， 当时，的值有2个， 所以在区间上的零点个数为4． （3）将的图象先向右平移个单位长度，可得的图象， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象． 关于的方程在时有2个不等实根， 即在时有2个不等实根． 当时，，， 所以，，即的取值范围为． 再根据正弦函数的图象的对称性，可得，则， 故． 【变式9-1】（2024·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，. (1)若存在，对任意，，求实数的取值范围； (2)若函数，求函数零点的个数. 【解析】（1）由得， 因为存在，对任意，， 所以或在上有解， 即或在上有解， 令，所以或在上有解， 又，， 所以或； （2）， 令，， 则， 故只需要讨论方程大于等于的解， ①当时，，方程无大于等于的解，函数无零点； ②当时，， 若，即时，方程无大于等于的解，函数无零点； 若，即时，方程有一个等于的解，此时， 解得，函数有一个零点； 若，即时，方程有一个大于的解，此时， 即，此时，方程有2根，即函数有两个零点； ③当时，，，此时方程无大于等于的解，函数无零点； 综上所述：当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当或时，函数无零点. 【变式9-2】（2024·高一·江西·开学考试）已知（且）是指数函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)求函数在区间上零点的个数. 【解析】（1）由指数函数定义，得，而且，解得，则， 不等式，而函数在R上递增， 因此，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）由（1）知，，由，得， 令，由，得，则， 设函数，显然该函数在上单调递增，在上单调递减，且， 作出直线与函数的图象，如图， 观察图形知，当或时，直线与函数的图象没有公共点； 当或时，直线与函数的图象只有一个公共点； 当时，直线与函数的图象有两个公共点， 函数在区间上零点的个数等价于方程在区间上解的个数， 即直线与函数的图象的交点的个数， 所以当或时，函数在区间上没有零点； 当或时，函数在区间上只有一个零点； 当时，函数在区间上有两个零点. 【变式9-3】（2024·高一·全国·竞赛）已知函数且． (1)就的取值情况，讨论关于的方程在上的解的个数； (2)若可变动的实数满足，求的最小值． 【解析】（1）由可得， ， 设，， 所以. 因为曲线在上递减，在上递增， 即在上递增，在上递减， 也即在上递增，在上递减. 因为，所以 ①当或时，关于的方程在上无解； ②当时，关于的方程在上有一个解； ③当时，关于的方程在上有两个解. （2）因为， 所以，所以 因为，所以， 解得（当且仅当时取“=”）. 因为在上是增函数， 所以的最小值为. 【变式9-4】（2024·高一·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 【解析】（1）当时, 若; （2）若是偶函数, 所以， 即: ， 所以； （3）当时，由（2）可知， 令，设， 则， 因为，则， 所以， 即 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 又是偶函数，所以在上单调递增， 易知，所以为偶函数，， 则， 当时，方程没有实数根，          当时，方程，有且仅有1个实数根，              当 时，取，则， 所以在上，且在上单调递减， 由零点存在性定理可知在上，有1个实数根， 所以时，方程，有2个实数根. 综上所述：当时，方程没有实数根； 当时，方程有且仅有1个实数根； 当 时，方程有2个实数根. 题型十：用二分法求近似解的条件 【典例10-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 【典例10-2】（2024·高一·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 【方法技巧与总结】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 【变式10-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列函数的图象中没有零点的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】从图中观察知，只有D中函数图象与轴没有交点. 所以D选项函数的图象没有零点. 故选：D 【变式10-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列关于二分法的叙述中，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 【答案】B 【解析】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误； B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值， 可精确到小数点后任一位，B正确； C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号， 因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误； D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误． 故选：B． 【变式10-3】（2024·高一·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 故选：C 【变式10-4】（2024·高一·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 【变式10-5】（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6. 故选：B. 题型十一：用二分法求方程近似解的过程 【典例11-1】（2024·高一·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【解析】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【典例11-2】（2024·高一·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【解析】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）． （2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）． 【变式11-1】（2024·高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【解析】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 【变式11-2】（2024·高一·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式11-3】（2024·高一·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 【变式11-4】（2024·高一·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值. 故选：C. 【变式11-5】（2024·高一·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【解析】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值）， 根据四个选项可知：. 故选：C. 题型十二：用二分法求函数零点的过程 【典例12-1】（2024·高一·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 【解析】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示， 可以发现方程有唯一解，记为，并且解在区间(1,2)内． 设，则的零点为． 用计算器计算得，； ，， ，， ，， ，， ∵， ∴曲线和直线的交点的横坐标约为． 【典例12-2】（2024·高一·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【解析】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 【方法技巧与总结】 利用二分法求函数近似零点的流程图： 【变式12-1】（2024·高一·全国·课前预习）用二分法求函数零点的近似值 【解析】由于函数为单调递增函数，且，， 因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 1.5 0.375 1.25 1.375 1.4375 当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程， 实际上，如果我们一开始给一个误差范围的话，只要满足了给出的误差范围，我们就可以停止计算， 比如，该问题中，我们给出误差不超过0.1． 由于，所以原函数的一个正实数零点可取为1.4375． 【变式12-2】（2024·高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【解析】令函数，， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 由于，故函数的零点区间为， 因为，，又，且零点结果精确到0.1. 所以在区间内的零点近似为. 【变式12-3】（2024·高一·江苏·专题练习）用二分法求在内的近似解（精确到）．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75 2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 【解析】令，则， 区间 区间中点值 的值及符号 因为与精确到的近似值都为， 所以在内的近似解可取为． 【变式12-4】（2024·高一·山东青岛·阶段练习）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 【解析】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. 【变式12-5】（2024·高一·全国·随堂练习）已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1） 【解析】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解， 由于函数和均为单调递增函数，所以在区间上递增， ， ，，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 此时满足精确度为0.1，则函数在区间上的零点近似为1.2， 故方程在区间内的近似解为1.2． 1．（2024·高一·辽宁盘锦·期中）已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】当函数只有一个零点，则，解得； 当函数有两个零点，且一个零点在上时，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：D 2．（2024·高一·福建龙岩·期中）已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于任意，都有成立， 令，则，即， 又因为是上的偶函数，所以， 则，即函数是周期为4的周期函数． ①，正确； ②的周期为4，又是上的偶函数，所以， 故直线是函数的图象的一条对称轴，即②正确； ③：且时，都有成立则函数在上为增函数， 是上的偶函数，函数在上为单调递减函数 而的周期为4，函数在上为减函数，故③不正确； ④，的周期为4，函数在上为增函数，在上为减函数， 在上只有一个零点2， 则， 所以，函数在上有4个零点，故④正确． 故选：C 3．（2024·高一·浙江宁波·期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】当时，取， 则方程为，显然无解，即充分性不成立； 当方程在区间上有两个不等实根时， 则，即，则， 此时成立，即必要性成立； 所以前者是后者的必要不充分，故C正确. 故选：C. 4．（2024·高一·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C 5．（2024·高一·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为开口向上的抛物线， 由题意可得：，即 解得：. 故选：C 6．（2024·高一·重庆·期中）对于函数，若存在，则称为的不动点．若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 显然，整理得， 所以，即，对恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 7．（2024·高一·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 8．（2024·高一·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是， 故选：C． 9．（多选题）（2024·高一·江苏·期中）已知为偶函数，当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．函数恰有3个零点 D．若关于x的方程有2个解，则或 【答案】ACD 【解析】因为为偶函数，且当时，， 且，画出函数的图象如图所示， 对于A，，故A正确； 对于B，如图，的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，令，即， 由函数图象可知，函数与有3个交点， 则函数恰有3个零点，故C正确； 对于D，若方程有2个解， 则函数与有2个交点， 由函数图象可知，或，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 对于A项：因为当时，与轴切于点， 与轴交于点. 当时，与轴交于点，如图， 因为关于的方程有四个不同的根， 所以与有四个交点，所以.故A正确； 对于B项：因为，所以， 所以，所以.故B正确； 对于C项：因为，， 所以，即. 又因为方程即的两根为，且， 所以， 因为，所以，即.故C正确； 对于D项：由，得， 所以，，，， 因为无解；有两解；有三解；有三解， 所以有8个根，所以函数有8个零点.故D错误. 故选：ABC. 11．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·期中）已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（    ） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A．若，均为增函数，则也为增函数 B．若，均为减函数，则也为减函数 C．若，均存在零点，则也存在零点 D．若，均存在零点，则也存在零点 【答案】AC 【解析】对A，，均为增函数，则也为增函数，故A正确； 对B，，均为减函数，则不一定是减函数，例如，不是减函数，故B错误； 对C，因为定义域为，且有解，则有解，故C正确； 对D，，均存在零点，则不一定有零点，例如都有零点，但无零点，故D错误. 故选：AC 12．（多选题）（2024·高一·陕西榆林·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【解析】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 13．（2024·高一·江苏连云港·期中）已知函数，则函数的零点为 . 【答案】/ 【解析】易知将化简可得： ； 令函数，显然的定义域为， 且满足，因此即可得函数为奇函数，且为单调递增， 若，解得； 令，可得，解得； 即可得函数的零点为. 故答案为： 14．（2024·高一·广东广州·阶段练习）已知函数，对与中的最大值记为，则函数的零点为 ，函数的最小值为 【答案】 ，3； . 【解析】因为的解为和，所以与交点为和． 作出函数的图象如图： 由图可知，零点为，3．当时，有最小值. 故答案为：，3；. 15．（2024·高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 【答案】 【解析】函数在，上单调递减，在上单调递增，，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 16．（2024·高一·江苏·专题练习）已知，若互不相等且，且，则的范围是 ． 【答案】 【解析】函数在，上单调递减，在上单调递增，， 画出的图象，如图， 因为，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 17．（2024·高一·江苏·期中）记函数的两个零点为，． (1)若，，求m的取值范围； (2)若，求的最值． 【解析】（1）由题意， 得，解得， 所以m的取值范围为. （2）由韦达定理得，，且，即或， 则，且恒成立， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 令，， 则，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以， 则的最小值为4，最大值为5. 18．（2024·高一·福建·期中）已知命题：函数与的图象有两个交点；命题，.    (1)在坐标系中画出的图象，并求当命题是真命题时，实数的取值范围； (2)若命题，的真假性相同，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的图象如图1 由图可知，的取值范围为. （2）方法一：若命题是真命题，则在上恒成立， 则在上恒成立， 令， 任取，且， ，即， 所以在上单调递增， 所以的最大值为， 所以的取值范围为. 因为命题，的真假性相同，所以，都为真或都为假， 当，都为真时，即，此时无解， 当，都为假时，即，则，或， 所以的取值范围为. （2）方法二：当命题是真命题，设， 则，即，即. 所以的取值范围为. 以下部分同方法一. 19．（2024·高一·四川成都·期中）已知函数. (1)设集合，判断是否是中的元素，并说明理由； (2)证明：当时，； (3)当时，若有方程的两相异实根均在内，求的取值范围. 【解析】（1），命题为真， 故是中的元素； （2）当时，， 即； （3）令， ，方程与为同解方程，设两根分别为， 当，即时，二次函数开口向下， 由题设知至少还应满足，解得， 而，可知，，满足题设， 当，即时，而二次函数的对称轴，不满足题设， 综上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8．1 二分法与求方程近似解 课程标准 学习目标 （1）通过本节内容的学习，让学生结合实例，运用图形判定零点，提升直观想象和逻辑推理素养. （2）运用零点判定定理确定零点范围，提升逻辑推理素养. （3）运用二分法求具体方程的近似解，提升直观想象和数学抽象素养. （1）了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. （2）会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. （3）了解二分法的原理及其适用条件. （4）掌握二分法的实施步骤. 知识点01 函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【即学即练1】（2024·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02 二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 【即学即练2】（2024·全国·高一课堂例题）在在上恰有一个零点．试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值（误差不超过0.001）． 题型一：求函数的零点 【典例1-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【典例1-2】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 【方法技巧与总结】 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 【变式1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2024·高一·上海·随堂练习）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一·上海·随堂练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 【变式1-4】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 题型二：根据零点求函数解析式的参数 【典例2-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）若函数有个不同的零点，则.已知，存在实数满足，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．与实数有关 【变式2-1】（2024·高一·江苏·假期作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·江苏宿迁·期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（    ） A．9 B．12 C．0或9 D．0或12 【变式2-3】（2024·高一·湖北荆州·期末）已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-4】（2024·高一·全国·课后作业）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ） A．0， B．0， C．0，2 D．2， 题型三：零点存在性定理的应用 【典例3-1】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知函数图象是连续不断的，并且在上，随着自变量的不断（严格）增大，函数值也不断（严格）增大，有如下的对应值表： 1 2 3 4 1.32 4.28 12.65 以下说法： ①一定小于0         ②，则 ③这个函数一定和轴有一个交点 ④关于的方程有且只有一个解 其中，正确的个数为（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3-2】（2024·高一·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法技巧与总结】 解决这类判断函数零点的大致区间的题目，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【变式3-2】（2024·高一·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高一·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·高一·北京海淀·期中）已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：根据零点所在区间求参数范围 【典例4-1】（2024·高一·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【典例4-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【变式4-1】（2024·高一·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【变式4-2】（2024·高一·江苏南通·期末）试写出一个实数 ，使得函数在上恰有一个零点. 【变式4-3】（2024·高一·江苏南京·期末）已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 . 题型五：根据零点的个数求参数范围 【典例5-1】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）若函数在上有两个零点，则的取值范围为 【典例5-2】（2024·高一·浙江·期中）已知，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径． 【变式5-1】（2024·高一·北京通州·期中）已知函数若互不相等的三个实数满足，则的取值范围是 . 【变式5-2】（2024·高一·宁夏银川·期中）已知函数 ，若互不相等的实数满足 ，则的取值范围为 ． 【变式5-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 ． 【变式5-4】（2024·高一·内蒙古·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 . 【变式5-5】（2024·高一·江苏·专题练习）已知函数 ， 方程 有四个不同根， 且满足， 则 的取值范围是 题型六：一次函数零点分布求参数范围 【典例6-1】（2024·高三·福建厦门·阶段练习）函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是 ． 【典例6-2】（2024·高一·山东临沂·期中）已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是 ． 【变式6-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数. （1）若时，集合恰有三个元素，则实数k的取值范围是 ； （2）若集合恰有两个元素，则实数a的取值范围是 . 【变式6-2】（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 【变式6-3】（2024·高一·山东临沂·开学考试）已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是 . 题型七：二次函数零点分布求参数范围 【典例7-1】（2024·高一·上海长宁·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【典例7-2】（2024·高一·四川绵阳·期中）若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【变式7-1】（2024·高一·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【变式7-2】（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【变式7-3】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期中）若函数与的图象上存在关于轴的对称点，则取值范围是 ． 【变式7-4】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 【变式7-5】（2024·高一·全国·专题练习）若三个方程，和中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是 ． 题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 【典例8-1】（2024·高一·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是 【典例8-2】（2024·高一·重庆·阶段练习）已知函数是偶函数，若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围 ． 【变式8-1】（2024·高一·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 【变式8-2】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 【变式8-3】（2024·高一·江苏南京·期末）设为实数，若实数是关于的方程的解，则 . 【变式8-4】（2024·高一·江苏·期末）设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 . 【变式8-5】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若分别是函数的零点，则等于 ． 题型九： 函数与方程的综合应用 【典例9-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 【典例9-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)在如图所示的坐标系中，画出在区间上的图象； (2)求函数在区间上的零点个数； (3)将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在时有2个不等实根，求实数的取值范围和的值． 【变式9-1】（2024·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，. (1)若存在，对任意，，求实数的取值范围； (2)若函数，求函数零点的个数. 【变式9-2】（2024·高一·江西·开学考试）已知（且）是指数函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)求函数在区间上零点的个数. 【变式9-3】（2024·高一·全国·竞赛）已知函数且． (1)就的取值情况，讨论关于的方程在上的解的个数； (2)若可变动的实数满足，求的最小值． 【变式9-4】（2024·高一·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 题型十：用二分法求近似解的条件 【典例10-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2024·高一·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 【变式10-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列函数的图象中没有零点的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式10-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列关于二分法的叙述中，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 【变式10-3】（2024·高一·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】（2024·高一·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式10-5】（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十一：用二分法求方程近似解的过程 【典例11-1】（2024·高一·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【典例11-2】（2024·高一·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【方法技巧与总结】 （1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）． （2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）． 【变式11-1】（2024·高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【变式11-2】（2024·高一·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2024·高一·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【变式11-4】（2024·高一·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【变式11-5】（2024·高一·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 题型十二：用二分法求函数零点的过程 【典例12-1】（2024·高一·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 【典例12-2】（2024·高一·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【方法技巧与总结】 利用二分法求函数近似零点的流程图： 【变式12-1】（2024·高一·全国·课前预习）用二分法求函数零点的近似值 【变式12-2】（2024·高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【变式12-3】（2024·高一·江苏·专题练习）用二分法求在内的近似解（精确到）．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75 2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 【变式12-4】（2024·高一·山东青岛·阶段练习）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 【变式12-5】（2024·高一·全国·随堂练习）已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1） 1．（2024·高一·辽宁盘锦·期中）已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（2024·高一·福建龙岩·期中）已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·高一·浙江宁波·期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4．（2024·高一·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·重庆·期中）对于函数，若存在，则称为的不动点．若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·高一·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 8．（2024·高一·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·江苏·期中）已知为偶函数，当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．函数恰有3个零点 D．若关于x的方程有2个解，则或 10．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 11．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·期中）已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（    ） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A．若，均为增函数，则也为增函数 B．若，均为减函数，则也为减函数 C．若，均存在零点，则也存在零点 D．若，均存在零点，则也存在零点 12．（多选题）（2024·高一·陕西榆林·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 13．（2024·高一·江苏连云港·期中）已知函数，则函数的零点为 . 14．（2024·高一·广东广州·阶段练习）已知函数，对与中的最大值记为，则函数的零点为 ，函数的最小值为 15．（2024·高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 16．（2024·高一·江苏·专题练习）已知，若互不相等且，且，则的范围是 ． 17．（2024·高一·江苏·期中）记函数的两个零点为，． (1)若，，求m的取值范围； (2)若，求的最值． 18．（2024·高一·福建·期中）已知命题：函数与的图象有两个交点；命题，.    (1)在坐标系中画出的图象，并求当命题是真命题时，实数的取值范围； (2)若命题，的真假性相同，求实数的取值范围. 19．（2024·高一·四川成都·期中）已知函数. (1)设集合，判断是否是中的元素，并说明理由； (2)证明：当时，； (3)当时，若有方程的两相异实根均在内，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$