第8章 函数应用（复习讲义）数学苏教版必修第一册

第8章 函数应用 复习要点 1、理解函数零点概念，掌握函数零点与方程根的等价转化关系； 2、能运用零点存在定理判断零点所在区间，掌握二分法求方程近似解的步骤； 3、熟悉常见函数模型的增长特征，能建立函数模型解决实际问题。 复习重难点 重点：函数零点的概念与零点存在定理的应用；二分法的原理与操作流程；常见函数模型的识别与实际问题的函数建模方法。 难点：零点存在定理的内涵辨析，结合函数性质判断零点个数；实际问题中函数模型的合理选择与关系式建立。 知识点 函数的零点 （1）零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． （2）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 要点速测 1．函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即，解得， 故的零点为. 知识点 函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 注意：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： ①函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；②. 要点速测 2．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. 知识点 二分法 （1）二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． （2）二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： ①确定的初始区间,验证； ②求区间的中点； ③计算,并进一步确定零点所在的区间 若(此时),则就是函数的零点； 若(此时零点),则令； 若(此时零点),则令. ④判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 要点速测 3．已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 知识点 函数模型 （1）常见的函数模型：建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型,还有常见的以下函数模型： 指数函数模型(且) 对数函数模型： (且)． （2）常见的图象对应的数学模型 ①相邻两点之间的距离变化越来越大时,如图（1）常选(且)模型． ②相邻两点之间的距离越来越近似相等,如图（2）,常选 (且)．模型． ③点的变化趋势先升后降(或先降后升),如图（3）,常选二次函数模型． ④相邻两点之间等距,如图（4）,常选一次函数模型． （3）用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 要点速测 4．目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】设里氏8.0级地震所释放出来的能量为，里氏6.0级地震所释放出来的能量为， 则，；，． 故选：C 题型一 函数的零点 【典例1】（2026·高一·山西朔州·阶段检测）函数的零点是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】令，得， 即，解得. 所以函数的零点是. 【变式1-1】（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）函数的零点为（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】C 【解析】令得，解得或. 【变式1-2】函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 【答案】B 【解析】令，即，解得：，， 所以函数的零点为和. 故选：B 【变式1-3】（2026·高一·广西·期中）函数的零点是（　　） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】令，即，解得或， 故选：A． 题型二 判断函数零点所在的区间 【典例2】（2026·高一·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 【变式2-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 【变式2-2】已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】由题意得， 故， 在上至少有1个零点， 故在区间上的零点至少有3个. 【变式2-3】（2026·高一·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 题型三 函数零点个数的判断 【典例3】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 【变式3-1】在区间内，函数与函数图象交点的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】在区间内，函数与函数图象交点的个数， 就是在区间内方程解的个数， 方程变形后得到， 在区间内方程的解为， 即两个函数的图象有3个交点． 【变式3-2】（2026·高一·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 【变式3-3】（2026·高一·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 题型四 根据零点情况求参数值（范围） 【典例4】（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. 【变式4-1】（2026·高一·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 【变式4-2】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【变式4-3】（2026·高一·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 题型五 二分法的理解与近似解 【典例5】下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 【变式5-1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二分法求零点的前提：函数在零点附近连续，且零点左右两侧函数值异号． 选项B，函数图象与轴相切，函数零点两侧函数值均大于，不满足， 不能用二分法求零点. 选项A、C、D中的函数零点两侧函数值异号，满足，可采用二分法求零点. 【变式5-2】用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 【变式5-3】（2026·高一·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 题型六 几个函数模型的比较 【典例6】下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当充分大时，指数函数增长最快． 一次函数是线性增长，增长率为固定常数，增长速度稳定； 对数函数是对数增长，增长速度越来越慢，当x足够大时增长率趋近于0； 幂函数是多项式增长，增长速度快于线性增长、对数增长，但远慢于指数增长； 指数函数是指数增长，当x足够大时，增长速度会远超幂函数、一次函数、对数函数，因此本题增长率最大的是指数函数. 故选：D 【变式6-1】当x充分大时，下列函数增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】比较一次函数、指数函数与对数函数、二次函数可知，指数函数增长速度最快．故答案为：A 【变式6-2】（039限时小练31不同函数增长的差异高中数学必修第一册）图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 【答案】B 【解析】由图易知C错误；函数的图象增长速度越来越快，的图象增长速度一直不变，均匀增长，故A错误，B正确． 【变式6-3】（2026·高一·云南昭通·阶段检测）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为一次函数，为对数函数，为幂函数，为指数函数， 指数函数，当时呈爆炸式增长，当x足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：D. 题型七 利用函数模型解决实际问题 【典例7】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）某工厂生产工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为60万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为60元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润G（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【解析】（1）当时， ， 当时，， 故， （2）当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ，所以当年产量为万件时，取得最大值为万元． 【变式7-1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.(利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本) (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大. 【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，， 当产量大于50万盒时，， 故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为： . （2）当 时， (万元)， 当 时，， 开口向下，对称轴为， 所以当时，取到最大值1200万元， 因为，所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大. 【变式7-2】（2026·高一·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【解析】（1）由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； （2）由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 【变式7-3】（2026·高一·云南文山·期末）文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； (2)假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 【解析】（1）模型①是一次函数，是一条直线，不符合题意； 模型②是指数型函数，当时，函数图象下凹，不符合题意， 当时，函数为减函数，不合题意， 故考虑模型③： 代入点 和 ： 解得：， 因此函数解析式为：. （2）2025年销售额 万元，代入解析式： ， ， 把，代入得： ， 因此：（万元）， 该果农应得补贴金约万元. 难点一 等高线问题 第一步分析函数图像与单调性，明确方程根的分布规律，推导零点间的等量关系（如对称性、乘积定值）或取值区间，确定变量可行域。第二步将目标式转化为对应等值线模型：线性目标对应平移直线系，平方和型对应同心圆系，比值型对应过定点的斜率模型。第三步在可行域边界、对称点、相切位置锁定临界值。最后校验零点取值边界，排除取不到的情形，确保结果符合零点分布的实际范围。 难点精练 1．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，分两段分析： 当时，，其对称轴为，最小值为3，， 故当时，在上有两个不等实根，， 令，即，由韦达定理得. 当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故当时，在上有两个不等实根，， 令即，由韦达定理得. 所以， 由上述得，则. 2．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 可得函数图象如下所示由图可知: 当时，存在，使得， 不妨令此时， 则对于满足方程，即，所以； 对于满足方程， 即，所以，则有， ， 其中，则， 即， 故选：A 3．（2026·高三·山东济宁·阶段检测）已知函数，其中，，，是互不相同的正数，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数的大致图象如图所示． 因为，，，互不相同，不妨设，且， 则有，即，可得，则． 由，且，可得，且， 由图知，故的取值范围是． 4．（2026·高三·重庆·阶段检测）已知函数，且存在不同的实数，使得，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 函数，画出的图像如图所示，作出直线， 当时，直线与图像有三个交点，横坐标由小到大，设为， 令，即，则有， 令，得到，即有， 令，则，越大其值越大； ，越大其值越大，则有， 故选:A． 5．（2026·高一·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 【答案】B 【解析】当时，． 若在上有两个不同的解，则且，即． 当时，在上单调递增，且值域为，因此方程有唯一解． 于是存在使当且仅当，故A错误． 由，得，故B正确． 又，故C错误； 并且从而，其最大值不能取到，故D错误． 难点二 零点嵌套问题 核心是换元分层、由外到内拆解复合函数零点。第一步换元：令，先解外层方程，得到全部外层零点。第二步分层求解：对每个，将转化为内层函数与水平线的交点问题，结合内层图像、值域与单调性判断解的个数或参数范围。 关键要点：坚持数形结合，优先绘制内层函数图像；严格验证是否落在内层值域内，超出则无解；含参问题按t的取值分类讨论，避免漏解与重复计数。 难点精练 1．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 2．（2026·高一·四川攀枝花·期末）已知函数，则方程的实数根的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， ①当时，，，，即， ②当时，，， 画出函数的图象，如图所示， 若，即，无解； 若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根； 若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根； 综上所述，方程的实数根的个数为5个， 故选：． 3．（2026·高一·浙江台州·阶段检测）已知函数，若关于的方程有七个不同的实根，则的值是（    ） A．0或 B．0 C． D．不存在 【答案】C 【解析】做出图像如下图所示： 令，方程， 为， 当时，方程没有实数解， 当或时，方程有2个实数解， 当，方程有4个实数解， 当时，方程有3个解， 要使方程方程有七个不同的实根， 则方程有一根为1，另一根大于0且小于1， 当时，有或， 当时，，或，不满足题意， 当时，，或，满足题意， 所以. 故选：C. 4．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为，解之得或2， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，，的图象如图： 由图可知使得或的点有4个. 故选：A. 5．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【解析】由，或， 函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点， 所以函数有7个零点. 故选：B 基础达标 1．某工厂生产某产品的固定成本为 元，每生产一件产品成本增加 元．若产量为 件，总成本为 元，则 关于 的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵总成本 = 固定成本 + 变动成本 由题知：固定成本为元； 生产件，每件增加成本10元；变动成本 元， . 2．（2026·高一·安徽淮南·阶段检测）二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】令，则，解得或， 故二次函数的零点为，． 3．（2026·高一·湖北武汉·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知，函数在区间有唯一零点， 所以函数的零点所在区间是. 4．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】P与t的函数关系式为． 5．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. 6．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 7．（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【解析】若，则，则， 若，则，则， 则，得， 故30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的100倍. 8．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 9．（2026·高一·广东·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， ，， 根据零点存在定理，可知函数的零点所在区间为. 故选：C 10．（2026·高一·北京房山·期末）北京时间2025年11月14日，航天员陈冬､陈中瑞､王杰乘坐神舟二十一号载人飞船成功返回地球，平安抵达北京，不仅带回了珍贵的科学实验数据；还见证了我国航天事业的多个“第一次”：载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，声压级的单位为分贝（），声压的单位为帕（）：已知人正常说话的声压约为，火箭发射时的声压约为，人正常说话的声压级记为，火箭发射时的声压级记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】人正常说话的声压，对应的声压级， 火箭发射时的声压，对应的声压级， 声压级之差 ． 故选：C． 11．（多选题）（2026·高一·湖北恩施·期末）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标， 通过上面函数图象可得：， 而，即， 所以，，正确，错误； 故选：ACD 12．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的零点为 C． D． 【答案】BD 【解析】A.函数的定义域为，所以A错误； B.令，解得或，所以B正确； C.因为，所以，所以C错误； D.由底数大于1的指数函数单调递增得，成立，所以D正确． 故选：BD 13．（多选题）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 【答案】ABD 【解析】对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，A正确． 对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，B正确． 对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，C错误． 对于D，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，D正确． 故选：ABD． 14．（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 m³ 的部分 元/ 超过 但不超过 m³ 的部分 元/ 超过 的部分 元/ 若某居民 9 月份交纳水费 99 元，则此居民9月份月用水量为 ______ ． 【答案】 【解析】由题意得用水量为时水费为（元）； 用水量为时水费为（元）． 因为，所以用水量超过，超出部分的水费为（元）， 对应水量为（），故此居民用水量为（）． 15．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）函数的零点是______． 【答案】 【解析】，. 16．（2026·高一·辽宁·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】因为函数有两个零点， 即有两个不同的根， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 17．函数的图像在区间上连续，且，则函数在区间上至少有______个零点． 【答案】2 【解析】因为， 所以， 所以函数在上至少存在1个零点，在上至少存在1个零点， 所以函数在区间上至少有2个零点． 18．（2026·高一·云南昭通·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数，现有的物体，放在的空气中冷却，20min以后物体的温度是． (1)求的值； (2)若要将该物体的温度降为，求需要冷却的时间． 【解析】（1）由题知，    当，由得，    则，所以．    即． （2）设再经过分钟，温度可由降为，即，    解得，    即．    所以．    物体的温度由降为需要冷却30分钟． 19．（2026·高一·广东深圳·期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【解析】（1）因为关于成线性关系，关于成线性关系，所以选①作为，选③作为； （2），代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. ，代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. （3）设乙产品的研发投入为万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润， 当且仅当，即时取等号，则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元. 20．（2026·高一·新疆喀什·期末）已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，解得或， 故解集为 （2）解法一：令， 为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 因此，解得，或（舍去）， 所以，即. 解法二：令，为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 即在上有解，且.               所以 即. 21．（2026·高一·广东广州·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 【解析】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上. 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， （2）由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 22．（2026·高一·河北·期中）m取何值时，关于x的方程； (1)有实根？ (2)有两个正实根？ 【解析】（1）∵关于的方程有实数根， ∴， ∴，解得. 即. （2）∵关于x的方程有两个正实根， ∴ 解得或， 即. 能力进阶 1．（2026·高一·山东济南·阶段检测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】“不动点”就是方程 的根，即方程在内恰有两个不同的实根，令，则在内有两个零点，由此分析即可求得实数 的取值范围． 由 ，得 ， 令， 由函数 在区间 上恰有两个不同的不动点， 得方程在内恰有两个不同的实根， 在内有两个零点， 所以或， 所以或， 所以或， 所以实数 的取值范围为. 2．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合二次函数性质，作出函数图象如下： 关于的方程有三个不同的实数根， 则函数与函数的图象有三个不同的交点， 结合图象可知. 3．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（     ） A．80元 B．8000元 C．90元 D．9000元 【答案】B 【解析】设该超市每月销售该商品所获得的利润为元，由题意可知，每件商品的利润为元，每月销售量为件（的单位为百件）， 因此利润函数为， 令 ，由 得 ，且 ，代入得： ， 由基本不等式得，当且仅当 ， 即 ，（）时取等号，此时 元， 代入利润函数（元）. 4．（2026·高一·天津河东·阶段检测）已知方程 的根都大于，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，抛物线开口向上， 的两根都大于，需同时满足： ，对称轴大于 ，， ①， ②， ③对称轴，满足条件， 联立不等式得：. 5．（2026·河南平顶山·模拟预测）函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】令，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 要使函数只有一个零点， 则函数的图象与直线只有一个交点， 根据偶函数的图象特征，可知. 6．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 【答案】C 【解析】由方程，得，设函数与， 画出与的图象有两个交点， 故方程的实数解的个数为2个. 7．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出分段函数的图象如下： 结合图象可知，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是. 8．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出函数的图象，如图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数解， 不妨设，则，根据二次函数的对称性可得， 所以，即的取值范围是. 9．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知二次函数，则（   ） A．若，则在上的最小值为2 B．若在上单调递增，则 C．若恒成立，则 D．若方程的两个实根一个大于1，一个小于1，则 【答案】ACD 【解析】已知二次函数，图象开口向上，对称轴为. A选项：若，则. 对称轴，所以当时，取得最小值.故A正确； B选项：的单调递增区间为. 若在上单调递增，则需满足.故B错误； C选项：若恒成立，则图象与轴无交点，需满足. . 化简得，解得，故C正确； D选项：若方程的两个实根一个大于1，一个小于1， 因为抛物线开口向上，所以必有，即， 化简得，解得.故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）高斯（1777-1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，．下列命题正确的是（　　　） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．方程恰有两个不同实数解 D．若不等式的解集为，则 【答案】ABD 【解析】对于A，令，则为整数， 原式等价于无解， 令， 因为，所以，， 则，因为区间内没有整数，所以无解， 即不等式的解集为； 对于B，因为，根据取整函数的性质， 若，则，与不符，故，同理可得， 所以不等式的解集为； 对于C，因为为整数，所以也是整数，则为整数， 所以原式等价于求的解的个数， 解得，所以方程仅有一个实数解； 对于D，令，原式转化为 因为，所以， 当时有，解得， 取，此时有，解得， 所以若不等式的解集为，则， 综上所述选ABD. 11．（多选题）（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】A：当时，， 当时，，因为， 所以此时不等式的解集为. 当时，， 当时，，此时不等式的解集为， 所以原不等式的解集为，因此本选项说法不正确； B：因为函数是实数集上的增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当函数为上的增函数时，必有， 在同一直角坐标系内，函数和的图象如下图所示，显然两个函数都是实数集上的增函数，且，当时， 由数形结合思想可知：当时，，当时，， 所以不等式的解集为，因此本选项说法正确； C：函数在上的值域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，该函数的值域为， 当时，该函数的值域为. 若函数的值域为， 当时，则有，由选项B的解答可知该不等式的解集为， 当时，则有，解得该不等式的解集为， 综上所述：实数的取值范围是，所以本选项说法不正确； D：因为函数的零点为， 函数的零点为， 所以当函数恰有两个零点时，实数的取值范围是，因此本选项说法正确. 12．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）若函数的两个零点分别为，，且有，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设 ，其图象开口向上. 由 及零点存在定理，需满足 且 ；由 需满足 且 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 四个条件取交集：，，，，化简得 . 故 的取值范围为 . 13．（2026·高三·江西·阶段检测）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】∵ 函数的二次项系数为， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线. ∵ 的两个零点分别位于区间与内， ∴ . 解得. 14．（2026·高一·河南信阳·阶段检测）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有4个不同的实数根， 故方程在上有两个不同的正数解， 故，解得. 15．（2026·高一·河南三门峡·阶段检测）“这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚.近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销.已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入5万元.现根据市场行情，该工厂代加工x万件该产品，可获得t万元的代加工费，且． (1)求该工厂代加工该产品的利润y（单位：万元）关于代加工量x（单位：万件）的函数表达式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 【解析】（1）代加工万件产品的总成本为万元. 由利润，得： 当时，； 当时，. 故. （2）当时，. 注意到二次函数开口向上，对称轴为，故函数在上递减，在上递增. 由，，知此段最大值为. 当时，. 由于，由基本不等式得. 当且仅当即时等号成立. 此时取得最大值. 由于， 综上，当代加工量为万件时，利润最大，最大值为万元. 16．（2026·高一·云南昆明·期中）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 【解析】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值． 当时， ， 当且仅当，即时等号成立 因为． 所以当甲投入26万元，乙投入74万元时，才能使总利润最大，最大总利润是204万元. 17．（2026·高一·河南平顶山·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 【解析】（1）由题意有：，解得； （2）由已知有：， 设两个相异的不动点为，，依题意可得， 即是方程的两个相异的正实数根， 根据韦达定理，故，解得， 故实数c的取值范围是. 18．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知函数． (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【解析】（1）将代入不等式，整理得，该不等式对任意恒成立，分类讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，符合条件； 当时，函数是二次函数，要使恒成立，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. （2）由得， 当时，不等式化为，解得，解集为， 当时，不等式化为，此时，不等式的解集为或， 当时，方程的两根为，， 若，则，不等式的解集为， 若，则不等式化为，无解，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为； （3）令，原方程化为 整理为， 原方程有四个不同实根，等价于关于的方程有两个不同的正实根（每个正根对应两个互为相反数的）. 由基本不等式，时，因此，即方程的常数项恒为负数. 设方程两个不同的正实根为，需同时满足： ，因为分子，因此必须. ，结合，得，即. ，化简得，结合，两边除以（不等号变向）：， 题目要求“存在”满足条件，即存在使得上述不等式成立，只需右边大于的最小值即可，，结合，得， 解二次不等式，得或， 结合前提，所以，故实数的取值范围为． 19．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个不等的实数根，求的取值范围. 【解析】（1）由得，即函数的定义域为. 又. 所以函数为偶函数. （2）①因为. 所以. 则. 当时，，因为“双勾函数”：在上单调递增，所以. 又因为函数在上单调递增，所以， 所以. 即时，方程在内有解. 故. ②因为，所以. 所以方程. 下面讨论该方程在上实数根的情况： 设，则，则为奇函数； 且在上单调递增，. 所以当时，，方程可化为，即， 因为，所以至多有1解，此时； 当时，方程可化为，此时方程最多只有1解，且； 当时，，方程可化为， 因为函数在上单调递增，所以方程在上最多只有1解. 由. 综上，方程在上有两个不等的实数根，则. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 函数应用 复习要点 1、理解函数零点概念，掌握函数零点与方程根的等价转化关系； 2、能运用零点存在定理判断零点所在区间，掌握二分法求方程近似解的步骤； 3、熟悉常见函数模型的增长特征，能建立函数模型解决实际问题。 复习重难点 重点：函数零点的概念与零点存在定理的应用；二分法的原理与操作流程；常见函数模型的识别与实际问题的函数建模方法。 难点：零点存在定理的内涵辨析，结合函数性质判断零点个数；实际问题中函数模型的合理选择与关系式建立。 知识点 函数的零点 （1）零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． （2）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 要点速测 1．函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 知识点 函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 注意：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： ①函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；②. 要点速测 2．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 知识点 二分法 （1）二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． （2）二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： ①确定的初始区间,验证； ②求区间的中点； ③计算,并进一步确定零点所在的区间 若(此时),则就是函数的零点； 若(此时零点),则令； 若(此时零点),则令. ④判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 要点速测 3．已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 知识点 函数模型 （1）常见的函数模型：建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型,还有常见的以下函数模型： 指数函数模型(且) 对数函数模型： (且)． （2）常见的图象对应的数学模型 ①相邻两点之间的距离变化越来越大时,如图（1）常选(且)模型． ②相邻两点之间的距离越来越近似相等,如图（2）,常选 (且)．模型． ③点的变化趋势先升后降(或先降后升),如图（3）,常选二次函数模型． ④相邻两点之间等距,如图（4）,常选一次函数模型． （3）用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 要点速测 4．目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 题型一 函数的零点 【典例1】（2026·高一·山西朔州·阶段检测）函数的零点是（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）函数的零点为（　　） A．和 B． C．和 D．和 【变式1-2】函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 【变式1-3】（2026·高一·广西·期中）函数的零点是（　　） A． 和 B．和 C．和 D．和 题型二 判断函数零点所在的区间 【典例2】（2026·高一·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-3】（2026·高一·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型三 函数零点个数的判断 【典例3】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】在区间内，函数与函数图象交点的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-2】（2026·高一·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-3】（2026·高一·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四 根据零点情况求参数值（范围） 【典例4】（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 二分法的理解与近似解 【典例5】下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】（2026·高一·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 题型六 几个函数模型的比较 【典例6】下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】当x充分大时，下列函数增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（039限时小练31不同函数增长的差异高中数学必修第一册）图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 【变式6-3】（2026·高一·云南昭通·阶段检测）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 题型七 利用函数模型解决实际问题 【典例7】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）某工厂生产工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为60万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为60元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润G（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【变式7-1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.(利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本) (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大. 【变式7-2】（2026·高一·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【变式7-3】（2026·高一·云南文山·期末）文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； (2)假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 难点一 等高线问题 第一步分析函数图像与单调性，明确方程根的分布规律，推导零点间的等量关系（如对称性、乘积定值）或取值区间，确定变量可行域。第二步将目标式转化为对应等值线模型：线性目标对应平移直线系，平方和型对应同心圆系，比值型对应过定点的斜率模型。第三步在可行域边界、对称点、相切位置锁定临界值。最后校验零点取值边界，排除取不到的情形，确保结果符合零点分布的实际范围。 难点精练 1．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·高三·山东济宁·阶段检测）已知函数，其中，，，是互不相同的正数，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·重庆·阶段检测）已知函数，且存在不同的实数，使得，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5．（2026·高一·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 难点二 零点嵌套问题 核心是换元分层、由外到内拆解复合函数零点。第一步换元：令，先解外层方程，得到全部外层零点。第二步分层求解：对每个，将转化为内层函数与水平线的交点问题，结合内层图像、值域与单调性判断解的个数或参数范围。 关键要点：坚持数形结合，优先绘制内层函数图像；严格验证是否落在内层值域内，超出则无解；含参问题按t的取值分类讨论，避免漏解与重复计数。 难点精练 1．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·高一·四川攀枝花·期末）已知函数，则方程的实数根的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·浙江台州·阶段检测）已知函数，若关于的方程有七个不同的实根，则的值是（    ） A．0或 B．0 C． D．不存在 4．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 5．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 基础达标 1．某工厂生产某产品的固定成本为 元，每生产一件产品成本增加 元．若产量为 件，总成本为 元，则 关于 的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·安徽淮南·阶段检测）二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·高一·湖北武汉·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 8．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2026·高一·广东·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·北京房山·期末）北京时间2025年11月14日，航天员陈冬､陈中瑞､王杰乘坐神舟二十一号载人飞船成功返回地球，平安抵达北京，不仅带回了珍贵的科学实验数据；还见证了我国航天事业的多个“第一次”：载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，声压级的单位为分贝（），声压的单位为帕（）：已知人正常说话的声压约为，火箭发射时的声压约为，人正常说话的声压级记为，火箭发射时的声压级记为，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·湖北恩施·期末）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的零点为 C． D． 13．（多选题）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 14．（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 m³ 的部分 元/ 超过 但不超过 m³ 的部分 元/ 超过 的部分 元/ 若某居民 9 月份交纳水费 99 元，则此居民9月份月用水量为 ______ ． 15．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）函数的零点是______． 16．（2026·高一·辽宁·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是______ 17．函数的图像在区间上连续，且，则函数在区间上至少有______个零点． 18．（2026·高一·云南昭通·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数，现有的物体，放在的空气中冷却，20min以后物体的温度是． (1)求的值； (2)若要将该物体的温度降为，求需要冷却的时间． 19．（2026·高一·广东深圳·期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 20．（2026·高一·新疆喀什·期末）已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 21．（2026·高一·广东广州·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 22．（2026·高一·河北·期中）m取何值时，关于x的方程； (1)有实根？ (2)有两个正实根？ 能力进阶 1．（2026·高一·山东济南·阶段检测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（     ） A．80元 B．8000元 C．90元 D．9000元 4．（2026·高一·天津河东·阶段检测）已知方程 的根都大于，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南平顶山·模拟预测）函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 6．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 7．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知二次函数，则（   ） A．若，则在上的最小值为2 B．若在上单调递增，则 C．若恒成立，则 D．若方程的两个实根一个大于1，一个小于1，则 10．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）高斯（1777-1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，．下列命题正确的是（　　　） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．方程恰有两个不同实数解 D．若不等式的解集为，则 11．（多选题）（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 12．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）若函数的两个零点分别为，，且有，，则的取值范围为__________． 13．（2026·高三·江西·阶段检测）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 14．（2026·高一·河南信阳·阶段检测）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 15．（2026·高一·河南三门峡·阶段检测）“这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚.近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销.已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入5万元.现根据市场行情，该工厂代加工x万件该产品，可获得t万元的代加工费，且． (1)求该工厂代加工该产品的利润y（单位：万元）关于代加工量x（单位：万件）的函数表达式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 16．（2026·高一·云南昆明·期中）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 17．（2026·高一·河南平顶山·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 18．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知函数． (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个不等的实数根，求的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $