重难点专题21 函数的零点四大题型（专项训练）数学苏教版高一必修第一册

重难点专题21 函数的零点四大题型 重难点一 求函数的零点 直接解方程法：令通过代数运算（如因式分解、指对数运算）求解方程的根，根即为零点。 数形结合法：将函数零点转化为两个函数图象的交点横坐标，结合函数单调性、奇偶性、对称性分析交点位置。 利用函数性质法：奇函数满足（定义域含 0），偶函数、周期函数可通过对称性、周期性推导零点。 1.不等式其中为自然对数的底数的解集是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次不等式的解集问题，属于基础题． 根据题意，的两个零点为，；分段讨论可得时． 【解答】 解：设，两个零点为，， 根据都是上的增函数， 所以可得： 当时，，所以； 当时，，所以 当时，，所以 综上所述：不等式解集为． 故选：． 2.已知函数，，的零点分别为，，，则有(    ) A. ，， B. C. ， D. ， 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查函数与方程的关系，涉及指对幂函数的图象与性质，属于中档题． 由题，化简可得，，，作出函数图像，、、分别为直线和曲线，，的交点的横坐标，再据图分析即可． 【解答】 解：函数，，的零点分别为，，， ，，， ，，， 、、分别为直线和曲线，，的交点的横坐标， 如图所示： 结合图象可知，，，即选项A正确： 由图可知，即选项B正确 ，互为反函数，其图象关于直线对称， 且直线与垂直于点， ，即选项C正确，选项D错误． 3.已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在上的零点为(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，对称性以及零点问题，数形结合思想，属于中档题 由题意，解法一：当时，，令，解得，又得到对称轴为，于是得到，再根据是奇函数，得到，，，得到答案； 解法二：根据题意画出的函数图象，结合图象判断零点，即可判断． 【解答】 解法一：由，解得，． ，函数的对称轴为， ． 是奇函数， ，， ，， 在上零点为，，，，． 解法二：依题意，作出函数的图象，如图所示． 由图象可知，的图象在内与轴的交点有个． 在上的零点为，，，，． 故选：． 4.设函数，若函数有四个零点分别为且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了函数零点与函数图象的关系，二次函数，对数函数的性质，属于中档题． 作出的图象，根据图象得出，，，的数量关系及范围，得出答案． 【解答】 解：作出的解析式如下图所示： 函数有四个零点， 即函数与的图象有四个交点， 当时，有三个交点，则当有四个交点，故A错误； 根据二次函数的对称轴为直线， ，且，，故B正确； ， ，， ，故C正确； ， 当时，， 函数在上单调递减， ，故D正确． 故选BCD． 重难点二判断函数的零点所在的区间 零点存在性定理：若函数在上连续，且，则在内至少有一个零点（适用于单调函数时可确定唯一零点）。 单调性辅助法：先判断函数在区间内的单调性，再结合区间端点函数值符号，精准锁定零点所在区间。 图象估算法：画出函数大致图象，观察图象与x轴交点的区间范围。 1.设函数，则函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的零点，属于基础题． 已知函数，代入，，再根据函数的零点的判定定理即可得到结果． 【解答】 解：根据题意可得，，  因此函数在区间上有零点， 易知在定义域上是增函数， 所以函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是． 故选B． 2.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查判断函数零点、方程的根所在区间，属于基础题． 直接利用零点判定定理判定求解即可． 【解答】 解：在上是增函数． 而，，，， ， 故函数在区间上有零点． 故选：． 3.在下列区间中，函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数零点存在性定理． 由函数解析式可知，进而根据函数零点存在性定理可知函数的零点所在的区间． 【解答】 解：函数在上连续，且易知在上是增函数， 至多只有一个零点， ， ， ， 由函数零点存在性定理可知函数的零点所在的区间为 故选C． 4.方程的解所在的区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，体现了转化的数学思想，属于基础题． 令，则利用函数零点的判定定理求得函数的零点所在区间即可． 【解答】 解：令，则在， 又因为，， ， 所以方程的解所在区间为， 故选：． 5.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题． 由在上是增函数且连续，再通过计算、、的值，发现，即可得到零点所在区间． 【解答】 解：函数在上单调递增， ，，，， 根据零点存在性定理可知的零点所在区间为． 6.若，则函数的两个零点分别位于区间(    ) A. 和内 B. 和内 C. 和内 D. 和内 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查判断函数零点所在区间，熟练掌握函数零点存在的判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键，属于基础题． 根据已知条件可得，，，，由函数零点存在判定定理可知及二次函数的零点，即可判断得解． 【解答】 解：，，， ， 由函数零点存在判定定理可知：在区间，内分别存在一个零点； 又函数是二次函数，最多有两个零点， 因此函数的两个零点分别位于区间，内． 故选A． 7.已知幂函数在上为增函数，则函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数零点的判定定理，以及幂函数的图像与性质，属于中档题． 利用幂函数的概念及其单调性列式可求得，再利用函数的零点存在定理分析判断即可． 【解答】 解：依题意，得，解得， ． ，易得为上的减函数， 又，，， ， 由零点存在定理知，函数的零点所在的区间为， 故选C． 8.函数的零点所在的一个区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数零点存在性定理的知识，属于基础题． 根据函数零点存在性定理，若，则使得，逐个检验选项即可． 【解答】 解：因为函数在上单调递增， 因为，， ，． 所以， 所以函数的零点所在的一个区间是． 故选B． 9.设方程，的根分别为、，则    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用指数、对数函数的图象比较大小，考查判断函数的零点、方程的根所在区间，属于中档题． 由方程得，得：，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论． 【解答】 解：由方程得， 得：， 分别画出左右两边函数的图象，如图所示． 由指数与对数函数的图象知：， 于是有， 所以， 所以． 故选：． 10.若函数的零点所在的区间为，则整数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键． 根据题意，分析函数的定义域，由函数零点的判定定理即可得到结论． 【解答】 解：函数的定义域为，且函数单调递增， ，， 在内函数存在零点，， 故选：． 重难点三函数的零点个数 数形结合法：作出函数图象，统计图象与x轴的交点个数，或转化为两个函数图象的交点个数。 分段讨论法：分段函数按分段区间分别分析零点个数，再汇总总数（注意分段点的取值验证）。 方程转化法：令转化为含参数的方程，通过参数范围分析方程根的个数。 1.已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则(    ) A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数零点、方程的根的个数，是中档题． 将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误           【解答】 解：有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解． 的图象如下图示，   由图知：， 所以，即的取值范围是． 由二次函数的对称性得：， 因为，即，故． 故选： 2.已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于拔高题． 问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，当时，讨论两个函数四否能有个交点，进而得出的取值范围． 【解答】 解：若函数恰有个零点， 则有四个根， 即与有四个交点， 当时，与图象如下： 两图象有个交点，不符合题意， 当时，与轴交于两点， 图象如图所示， 两图象有个交点，符合题意， 当时， 与轴交于两点， 在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点， 只需与在还有两个交点，即可， 即在还有两个根， 即在还有两个根， 函数，当且仅当时，取等号， 所以，且， 所以， 综上所述，的取值范围为． 故选：． 3.已知函数若存在个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题． 由得，作出函数和的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 【解答】 解：当时，， 作出函数和的图象如下： 所以由图象可得，当直线的截距，即时，两个函数的图象有个交点， 即函数存在个零点， 故实数的取值范围是， 故本题选：． 4.已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了分段函数的图象，函数零点、方程的根的个数和二次方程根的分布，属于中档题． 利用分段函数的图象，结合指、对数函数的图象作出函数的图象，利用函数零点、方程的根的个数，结合图象把问题转化为关于的方程在有两个不同的实数根，再利用二次方程根的分布，计算得结论． 解：作函数的图象如下： 由图象知：要关于的方程有个不同的实数根， 设，则关于的方程在有两个不同的实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围为 5.已知是定义在上的奇函数，且当时，，其中为常数，则下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. 是上的增函数 C. 的值域为 D. 若方程有个根，则 【答案】AD  【解析】解：选项，当时，，由时，得， 因是奇函数，故。因此选项正确。 选项，由可得 当时，不是递增函数，因此选项错误． 选项，由可得函数值域， 当时，值域不为，因此C错误。 选项，方程有个根，由奇函数性质可知， 时，有两个根，由此可得，因此选项正确。 6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是(    ) A. 函数有个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 【答案】BCD  【解析】解：对，当时，由得， 又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有个零点，故A错误； 对，设，则，则，故B正确； 对，当时，由，得； 当时，由，得无解；故C正确； 对，，都有 ，故D正确； 故选：． 7.已知函数，关于的方程，下列判断中正确的是(    ) A. 时方程有个不同的实数根 B. 方程至少有个不同的实数根 C. 若方程有个不同的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有个不同的实数根，，，则的取值范围为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查分段函数图象，方程根的个数，属于中档题． 作出函数图象，结合图象依次判断选项即可． 【解答】 解：作出函数的图象如图所示， 当时，函数与有个不同交点，故方程有个不同的实数根，A正确； 当时，函数与有个交点，此时方程只有个实数根，B错误； 若方程有个不同的实数根， 则函数与有个不同交点， 结合图象可知，，C正确； 对于，由选项可知，此时，不妨令， 结合图象可知， 故的取值范围为：，D正确． 故选：． 8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的零点，属于基础题． 在同一平面直角坐标系中画出与的图象即可． 【解答】 解：由，得． 在同一平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示： 则当时，两函数图象有两个交点，从而函数有两个零点． 故答案为． 9.已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于拔高题． 作出函数的图象，依题意，可得，解之即可． 【解答】 解：当时，函数的图象如下： 时，， 要使得关于的方程有三个不同的根， 必须， 即， 解得， 的取值范围是． 故答案为． 10.已知函数． 求不等式的解集； 若方程有三个不同实数根，求满足条件的实数取值范围． 【答案】解：由可得，或 解得或， 即不等式的解集为； 方程有三个不同实数根， 即函数的图象与的图象有三个不同的交点， 作出函数的图象，如图所示： 可知实数取值范围为．  【解析】本题考查分段函数、不等式求解、函数零点与方程根的关系，考查数形结合法，属基础题． 根据已知分段函数，原不等式化为或，求解即可； 将方程有三个不同实数根转化为函数的图象与的图象有三个不同的交点，画出的图像，数形结合即可得结果． 11.设，函数． 当时，求在上的最小值和最大值； 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】解：． 设，则， 因为，所以． 因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 又，． 所以； 由知，就是，其中． 则方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 解得， 故的取值范围是．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 重难点四函数的零点分布 参数分离法：将含参数的零点问题转化为参数与函数值域的关系，通过求函数值域确定参数范围。 对称性分析法：利用二次函数、指对数函数的对称性，推导多个零点的数量关系。 区间限定法：结合函数单调性、区间端点值符号，限定零点在指定区间内的条件。 1.已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数零点，方程根的分布，属于一般题． 作出函数图象，由图象得出  具有的关系、范围，从而再由函数的单调性得出结论． 【解答】 解：作出函数  的图象，如图，在  上它关于直线  对称，  时，  ，且  为增函数，  ，则  ，  ，  ，  ，所以  ， 故选：． 2.已知函数，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数的性质及应用，属于中档题． 根据分段函数的图象判断，，，所在区间，根据二次函数图象的对称性得的值，利用对数函数的图象和对数运算可得的值，进而求解即可． 【解答】 解：由，得其图象如下， ，且， ， 则，即； 由，得，即， 可得，即， ． 故选：． 3.已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查方程解的问题，函数图象的应用，属于中档题． 令，，将方程有解，转化为与的图象在上有交点，结合函数图象即可求解． 【解答】 解：关于的方程在上有实数解， 则在上有实数解， 即在上有实数解， 令，易知函数在上单调递减， 令，因为，则函数在上单调递增， 在同一坐标系中作出两函数的大致图象，如图所示： 则问题转化为与的图象在上有交点， 故，即，解得， 即的取值范围为：． 故选：． 4.函数的零点所在区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查函数零点、方程根的分布，属于基础题． 求出函数的定义域后，再根据零点存在性定理判断即可． 【解答】 解：函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 所以有唯一零点在上， 故选： 5.已知函数，若，且，则的取值范围(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：画出的图象，如图所示： 因为，且， 所以， ， ， ， 又因为， 时，取最大值， 的取值范围是． 故选：． 6.设函数，若函数有四个零点分别为且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了函数零点与函数图象的关系，二次函数，对数函数的性质，属于中档题． 作出的图象，根据图象得出，，，的数量关系及范围，得出答案． 【解答】 解：作出的解析式如下图所示： 函数有四个零点， 即函数与的图象有四个交点， 当时，有三个交点，则当有四个交点，故A错误； 根据二次函数的对称轴为直线， ，且，，故B正确； ， ，， ，故C正确； ， 当时，， 函数在上单调递减， ，故D正确． 故选BCD． 7.已知函数，若函数有个零点，，，，且，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数的应用，考查函数的零点问题解法，注意运用数形结合思想，考查运算能力与分析能力． 作出的图象，由的图象与轴有个交点，可得，，是方程的两个根，解方程可得，则答案可求． 【解答】 解：画出的大致图象， 可知，且当时，有个零点，； 当时，有个零点，． ，， 得，， ； 当时，由函数有个零点，， 根据图象的对称性，得． ． 故答案为． 8.设函数，关于的方程有三个不等实根，，，且，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查方程的根的个数及其关系，分段函数的图象，属于中档题． 做出函数图象可得它们显然关于对称，故，然后即可求出结果． 【解答】 解：画出函数图象，结合图形可知， 仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标， 其中两个交点位于二次函数图象上，它们显然关于对称， 因为，故， 另一个交点位于一次函数图象上，显然它在和以及的交点和之间，故 所以，． 故答案为 ． 8.已知函数，，其中且 当时，求不等式的解集 若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】解：当时，不等式可化为， 当时，得，解得 当时，得，解得 综上，当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为． 由题意可得：函数， 令， 因为，所以，则有， 故， 得，或， 解得的取值范围为或．  【解析】本题考查利用对数函数单调性解不等式，函数零点与方程根的分布，属于拔高题． 利用对数的运算和对数的性质进行求解可得． 对函数进行化简然后令其为，再进行后面的求解可得。 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题21 函数的零点四大题型 重难点一 求函数的零点 直接解方程法：令通过代数运算（如因式分解、指对数运算）求解方程的根，根即为零点。 数形结合法：将函数零点转化为两个函数图象的交点横坐标，结合函数单调性、奇偶性、对称性分析交点位置。 利用函数性质法：奇函数满足（定义域含 0），偶函数、周期函数可通过对称性、周期性推导零点。 1.不等式其中为自然对数的底数的解集是(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.已知函数，，的零点分别为，，，则有(    ) A. ，， B. C. ， D. ， 3.已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在上的零点为(    ) A. B. C. D. 4.设函数，若函数有四个零点分别为且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 重难点二判断函数的零点所在的区间 零点存在性定理：若函数在上连续，且，则在内至少有一个零点（适用于单调函数时可确定唯一零点）。 单调性辅助法：先判断函数在区间内的单调性，再结合区间端点函数值符号，精准锁定零点所在区间。 图象估算法：画出函数大致图象，观察图象与x轴交点的区间范围。 1.设函数，则函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 2.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 3.在下列区间中，函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 4.方程的解所在的区间是(    ) A. B. C. D. 5.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 6.若，则函数的两个零点分别位于区间(    ) A. 和内 B. 和内 C. 和内 D. 和内 7.已知幂函数在上为增函数，则函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 8.函数的零点所在的一个区间是(    ) A. B. C. D. 9.设方程，的根分别为、，则    ． A. B. C. D. 10.若函数的零点所在的区间为，则整数的值为(    ) A. B. C. D. 重难点三函数的零点个数 数形结合法：作出函数图象，统计图象与x轴的交点个数，或转化为两个函数图象的交点个数。 分段讨论法：分段函数按分段区间分别分析零点个数，再汇总总数（注意分段点的取值验证）。 方程转化法：令转化为含参数的方程，通过参数范围分析方程根的个数。 1.已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则(    ) A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. D. 2.已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数若存在个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知是定义在上的奇函数，且当时，，其中为常数，则下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. 是上的增函数 C. 的值域为 D. 若方程有个根，则 6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是(    ) A. 函数有个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 7.已知函数，关于的方程，下列判断中正确的是(    ) A. 时方程有个不同的实数根 B. 方程至少有个不同的实数根 C. 若方程有个不同的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有个不同的实数根，，，则的取值范围为 8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是          ． 9.已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是          ． 10.已知函数． 求不等式的解集； 若方程有三个不同实数根，求满足条件的实数取值范围． 11.设，函数． 当时，求在上的最小值和最大值； 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 重难点四函数的零点分布 参数分离法：将含参数的零点问题转化为参数与函数值域的关系，通过求函数值域确定参数范围。 对称性分析法：利用二次函数、指对数函数的对称性，推导多个零点的数量关系。 区间限定法：结合函数单调性、区间端点值符号，限定零点在指定区间内的条件。 1.已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.函数的零点所在区间为(    ) A. B. C. D. 5.已知函数，若，且，则的取值范围(    ) A. B. C. D. 6.设函数，若函数有四个零点分别为且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 7.已知函数，若函数有个零点，，，，且，则          ． 8.设函数，关于的方程有三个不等实根，，，且，则的取值范围是          ． 8.已知函数，，其中且 当时，求不等式的解集 若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $