第8章 函数应用（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学函数应用单元复习讲义通过题型分类系统梳理知识体系，将函数零点问题、函数模型应用等七大压轴题型按“基础理解-综合应用-拓展提升”递进组织，用对比表格归纳不同零点题型的解题策略，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境-模型构建-拓展探究”的练习设计，如结合企业利润、空气质量指数等实际问题设计分段函数应用题型，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过一题多解培养数学思维。基础题夯实方法，综合题提升能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供有效素材。

第8章 函数应用全章七大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 求函数零点（方程根）的个数 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的零点个数为 . 5．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 题型2 比较零点的大小关系 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）设分别为函数的零点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的零点依次为，则的大小关系为 . 5．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数， (1)当时，求的单调递减区间； (2)若有三个零点，且求证： ① ②. 题型3 根据函数零点（方程根）的个数求参数 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的零点； (2)若函数恰好有两个零点，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 题型4 分段函数模型的应用 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 3．（24-25高一上·福建三明·期末）某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 题型5 分式型函数模型的应用 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为 元. 4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 题型6 选择合适的函数模型 1．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一 x 2 2.99 4 5 6.02 y 4 8.02 15.99 32 64.01 个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是 （只填序号） 4．（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 5．（24-25高一上·江西南昌·期末）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，②，③供选择. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数） 题型7 建立拟合函数模型解决实际问题 1．（24-25高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·甘肃·学业考试）加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（    ） A． B．且 C． D．且 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    4．（24-25高一上·广东广州·期末）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系． (1)若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②； (2)若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围． 5．（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 函数应用全章七大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 求函数零点（方程根）的个数 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【解答过程】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C. 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用零点存在性定理分段求解即可. 【解答过程】当时，，即，令函数， 函数与都是减函数，因此函数在上单调递减， 而，则函数在上有唯一零点； 当时，，即，令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，则函数在上有唯一零点， 所以方程的解的个数是2. 故选：C. 3．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【解答过程】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 4．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的零点个数为 . 【答案】 【解题思路】利用指数函数和对数函数图象来研究函数零点个数即可. 【解答过程】由函数的零点个数等价于方程解的个数， 又等价于与的交点个数， 作图： 由图可得与的交点个数为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【解答过程】（1）依题意，得，即 即恒成立，得. （2）令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 题型2 比较零点的大小关系 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）设分别为函数的零点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对于，可直接求出零点；对于和的零点，可以转化为函数的交点的横坐标，画图可知道范围，最后比较，，的大小. 【解答过程】对于，令，即，解得，所以. 对于，令，即，变形为. 零点b可以看作，的交点的横坐标， 对于，令，即，变形为. 零点c可以看作，的交点的横坐标， 画出草图如下，可以知道. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依据零点存在性定理可判定的零点所在范围；对通分，应用一元二次方程可求解；将的零点转化为两个函数图像交点的横坐标，画简图可求，从而得出结果. 【解答过程】由函数在上为增函数，又， 则存在唯一零点，即； 令，则，解得或，则； 令，可得函数的零点即为与的交点的横坐标，画简图如图： 可得（负值舍去），则．综上，． 故选：B. 3．（24-25高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【解答过程】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 4．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的零点依次为，则的大小关系为 . 【答案】 【解题思路】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【解答过程】根据题意，得 令，即，故，所以； 令，即，故，且，则，所以； 令，即，故； 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数， (1)当时，求的单调递减区间； (2)若有三个零点，且求证： ① ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【解题思路】（1）根据题意去绝对值，然后根据二次函数的性质即可求解； （2）①根据题意可得当时不符合题意即，且进而得到，然后根据题意代入即可证明； ②根据题意和求根公式可得，，然后作差即可证明. 【解答过程】（1）因为， 所以， 当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增； 因此的单调递减区间为. （2）①， 当时，仅有一个零点，不合题意； 当时， 当时，在仅有一个零点，在没有零点，不合题意； 当时，在仅有一个零点，因为，所以在没有零点，不合题意； 因此，所以 在仅有一个零点，在有两个零点，，且当时； ，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴， 综上： ②由题意可知： ，， ∴ ， ∴. 题型3 根据函数零点（方程根）的个数求参数 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【解答过程】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 2．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【解答过程】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围. 【解答过程】画出函数的图像如下图所示， 当时，，在处取得最小值， 时单调递减，时单调递增； 当时，，在处取得最大值， 时单调递增，时单调递减. 令，则方程转化为. 要使原方程有个相异的实根，需有两个不同实根， 且每个对应有个解. 由的图像可知，需在内，因此的两根均在内. 设，需满足： ①判别式或； ②对称轴； ③. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的零点； (2)若函数恰好有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）令，解方程可求得零点； （2）采用分离参数的方式可得，设，将问题转化为与有两个不同交点，采用数形结合的方式可求得结果. 【解答过程】（1）当时，， 令，则，解得：，有唯一零点. （2）令，则， 令，，，令， 恰好有两个零点，与图象有两个不同的交点， 的对称轴为，开口向上，， 又当时，，图象如下图所示， 当时，与有两个不同的交点，即恰好有两个零点， 实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性定义即可证明； （2）令可得或.由函数零点与方程根的关系结合函数的图象即可求解. 【解答过程】（1）在上单调递增. 证明如下：当时，.设， 则. 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）的图象如图所示. 因为函数恰有4个零点， 所以方程恰有4个解. 即或共有4个解. 由图知，且或或， 解得或或， 即实数的取值范围为. 题型4 分段函数模型的应用 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】设年平均利润为，表示出，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即可得解. 【解答过程】依题意，设年平均利润为，则（）， 当时， 当且仅当，即时取等号； 当时，则当时取得最大值且， 又，所以当时年平均利润取得最大值. 故选：C. 2．（24-25高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【解题思路】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【解答过程】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C. 3．（24-25高一上·福建三明·期末）某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    【答案】 【解题思路】分，两种情况求出函数解析式，再结合不等式求解即可. 【解答过程】当时，设， 将代入得，，解得， 则， 由，解得，即； 当时，设， 将，代入得，则， 由，解得，即. 综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)，400万元． (2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【解题思路】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【解答过程】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解题思路】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【解答过程】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 题型5 分式型函数模型的应用 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【解题思路】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解. 【解答过程】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则， 所以， 设总造价为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为 元. 【答案】 【解题思路】设房屋的长为，由题可得总造价，再利用基本不等式即得； 【解答过程】设房屋的长为，则宽为，则总造价 ，当且仅当，即时取等号， 故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为 【解题思路】（1）由题得，化简即得解； （2）利用基本不等式即可求解． 【解答过程】（1）； （2）， ， 当且仅当即时等号成立， 当为40m时，蔬菜的种植面积S最大，最大值为． 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）求出行车所用时间，列出总费用表达式，从而求解； （2）根据（1）中的表达式并结合基本不等式，从而求解. 【解答过程】（1）行车所用时间为， 根据汽油的价格是每升7元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元， 可得行车总费用：． （2）由（1） 当且仅当即取得最小值. 题型6 选择合适的函数模型 1．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解题思路】根据表中数据，得到西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数判断. 【解答过程】解：根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是， 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一 x 2 2.99 4 5 6.02 y 4 8.02 15.99 32 64.01 个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是 （只填序号） 【答案】④ 【解题思路】将数据分别代入①②③④，即可得出答案. 【解答过程】将数据分别代入①②③④， x 2 2.99 4 5 y 4 8.02 15.99 32 ① 4 5.98 8 10 ② 1.5 3.97 7.5 12 ③ 1 1.58 2 2.32 ④ 4 7.94 16 32 由表格数据可知其中最接近的一个是④. 故答案为：④. 4．（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【答案】(1)选择③；， (2)预计平台建立年后会员数超过千人 【解题思路】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果. 【解答过程】（1）解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢 所以，选择③， 代入表格中的前三个点可得：，解得：， 所以，函数解析式为，． （2）解：由（1）可知：，则． 所以，，则 ． 所以，预计平台建立年后会员数超过千人. 5．（24-25高一上·江西南昌·期末）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，②，③供选择. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数） 【答案】(1)模型③，理由见解析， (2)55分钟 【解题思路】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可. （2）将代入解析式即可. 【解答过程】（1）第一步：分析题中每个模型的特点 对于模型一，当时，匀速增长； 对于模型二，当时，先慢后快增长； 对于模型三，当时，先快后慢增长. 第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选. 第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式 将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即， 解得，即. 第四步：验证模型是否合适 当时，， 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为. （2）由，得， 得，得， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟. 题型7 建立拟合函数模型解决实际问题 1．（24-25高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意以及表中数据画出散点图，可知，函数在定义域上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型. 【解答过程】依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件： 第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点. 由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A， 函数单调递减，排除C， 当时，没有意义，排除D， 故最符合实际的函数模型为. 故选:B． 2．（2025高二下·甘肃·学业考试）加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解题思路】由题意可得该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数，即可得解. 【解答过程】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增， 则该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    【答案】2080 【解题思路】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【解答过程】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 4．（24-25高一上·广东广州·期末）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系． (1)若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②； (2)若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围． 【答案】(1)，函数符合预测①与预测②，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）分别将“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得的值，进而判断函数是否符合预测①与预测②即可； （2）同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得，再结合对数函数的性质分两种情况判断函数是否符合预测①与预测②，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）由于函数， 第1年参观人数为12万人，即； 第2年参观人数为14万人，即； 联立可得：， 所以， 设，， 且，得，，所以，即， 所以在区间上单调递增，符合预测①， 同时，，符合预测②； （2）由于函数， 第1年参观人数为12万人，即； 第2年参观人数为14万人，即； 联立可得：， 由指数函数的性质可知：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增； 若符合预测①，则或， 当时，，符合预测①， 此时，，，， 再符合预测②，只需即可，由，且，得：； 当时，，符合预测①， 此时函数在区间上单调递增， 同时，， 解方程，可得， 其中，，， 即当时，，不符合预测②； 综上所述，的取值范围是：. 5．（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【答案】(1)选择模型③，，100千人． (2)4． 【解题思路】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值. 【解答过程】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适， 由表格中的数据可得，解得 所以，函数模型的解析式为， 令，预测2024年年末的会员人数为100千人． （2）由题意可得， 令，则， 令，，则函数的定义域上单调递增， 又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，， 即．所以的最小值为4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $