期中（第25章-28章）阶段复习拔高卷《典例全解·题型通关》（考前押题卷一）-2026-2027学年九年级上册数学人教版

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习拔高卷（考前押题卷一） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．下列方程：①，②，③，④，⑤，一元二次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，古代工匠在制作杆秤时，需校准刻度以确保称量准确．他们在秤纽（支点O）左侧固定位置B处悬挂物体A，右侧通过调整秤砣的重量y（单位：斤）及其悬挂位置与秤纽的距离x（单位：寸），使秤杆平衡（秤杆平衡时，秤砣重秤砣距秤纽距离物体重物体距秤纽距离）．工匠发现，若固定物体A的重量和位置B，改变秤砣与秤纽的距离x，观察所需的秤砣重量y的变化情况，记录数据如下： x（寸） … 5 6 10 12 15 … y（斤） … 12 10 6 5 4 … 观察表中的数据，当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是（     ） A．2 B．3 C．20 D．30 6．如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若设每个竖彩条的宽度均为，则依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．在同一坐标系内，函数 和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别以点，点为圆心，以的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点；连接，；分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线，与相交于点．若将点绕点逆时针旋转得到点，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 12．若关于的一元二次方程满足：与（均为常数），则称它们为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 13．如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 14．已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为__________________．（用“”连接） 15．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是________． 16．已知正方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，，则的长为________． 三、解答题（共72分） 17．解下列方程： (1) (2) 18．已知：关于x的二次函数的图象与x轴有交点．求k的取值范围． 19．某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，交了首付款后平均每月付款万元，个月结清（）．与的函数关系如图所示， 根据图像回答下列问题： (1)求出与的函数解析式； (2)若王先生交了首付款后，打算用20个月结清，平均每月应付多少万元？ 20．西安“网红”景区大唐不夜城，以盛唐文化为背景，全面打造集购物、餐饮、娱乐、休闲、旅游、商务为一体的开放式消费场所，已成为西安最具影响力的城市文化地标之一．该景区内某店销售一批成本为55元/袋的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系式； (2)若超市按售价不低于成本价，且不高于90元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21．某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． (1)图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在上，求线段的长； (2)图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 22．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的生成点． (1)方程的生成点的坐标为 ； (2)已知关于的方程． ①求该方程生成点的坐标(用含有的代数式表示)； ②若该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点，求的值． 23．如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 24．在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“二次变换点”． (1)如图，已知点，，点是点关于点的“二次变换点”． ①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标； ②的长度是否与有关？若有关，说明理由，若无关，求的长． (2)已知点，是边长为的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“二次变换点”，在绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线第一象限上的一点，连接、，过点P作轴于点E，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）． (3)如图3，在（2）的条件下，点H为延长线上一点，连接，在线段上取点F，使，且，延长至点G，使，连接，且，过点G作交y轴于点K，过点A作x轴的垂线交的延长线于点I，连接IF，过点K作于点J，在线段上取点L，连接、，当时，求点L的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习拔高卷（考前押题卷一） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据将图形沿一条直线对折，两边重合的图形是轴对称图形，将图形绕一个点旋转与原图形重合的图形是中心对称图形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：A．图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， B．图形既是轴对称图形又是中心对称图形符合题意， C．图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， D．图形不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意， 2．下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 3．若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点在反比例函数图象上的条件转化为横纵坐标乘积为6，简化计算． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； A选项：点的横纵坐标乘积为，故点在图象上； B选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； C选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； D选项：点的横纵坐标乘积为，故此点不在图象上． 4．下列方程：①，②，③，④，⑤，一元二次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①是一元二次方程． ②是分式方程，④含根号下的未知数，均不是整式方程，不是一元二次方程． ③将右边展开得，移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程． ⑤未说明，不一定是一元二次方程． 综上，一元二次方程共1个． 5．如图，古代工匠在制作杆秤时，需校准刻度以确保称量准确．他们在秤纽（支点O）左侧固定位置B处悬挂物体A，右侧通过调整秤砣的重量y（单位：斤）及其悬挂位置与秤纽的距离x（单位：寸），使秤杆平衡（秤杆平衡时，秤砣重秤砣距秤纽距离物体重物体距秤纽距离）．工匠发现，若固定物体A的重量和位置B，改变秤砣与秤纽的距离x，观察所需的秤砣重量y的变化情况，记录数据如下： x（寸） … 5 6 10 12 15 … y（斤） … 12 10 6 5 4 … 观察表中的数据，当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是（     ） A．2 B．3 C．20 D．30 【答案】B 【分析】计算表格的数据可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由表格的数据可得， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 由此可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于， 当时，， ∴， ∴当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是． 6．如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若设每个竖彩条的宽度均为，则依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设竖彩条宽，则横彩条宽，利用平移法将彩条移至边缘，表示出剩余空白部分的长和宽，根据空白面积占总面积的四分之三列方程． 【详解】解：设竖彩条的宽度为， 横、竖彩条的宽度比为， 横彩条的宽度为， 利用平移法，将两横两竖彩条分别平移至矩形的边缘， 剩余空白部分可合成为一个长方形， 其长为，宽为， 彩条所占面积是整个图案面积的四分之一， 空白部分面积是整个图案面积的四分之三， ． 7．在同一坐标系内，函数 和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正负，分别判断二次函数开口方向和一次函数经过的象限及与轴交点位置； 【详解】解：当时， ∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，顶点在原点， ∵一次函数中，常数项为， ∴直线从左向右上升，且与轴交于点，即交点在轴正半轴，观察选项，D 选项符合题意； 当时， ∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， ∵一次函数中，常数项为，直线从左向右下降，且与轴交于点，即交点在轴正半轴， 观察选项，A 选项中直线与轴交于负半轴，B 选项中直线与轴交于负半轴，C选项中抛物线开口向上，均不符合题意，分析选项可得，只有 D 选项符合题意． 8．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据网格特征确定点 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标积为定值 列方程求解． 【详解】解：由点 的坐标为 及网格图可知，点 在点 左侧 个单位，下方 个单位处， 点 的坐标为 ， 点 ， 都在反比例函数 的图象上 ， ， 解得， ∴． 9．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为，即， ∴一元二次方程的正数解的范围是． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别以点，点为圆心，以的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点；连接，；分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线，与相交于点．若将点绕点逆时针旋转得到点，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断 为等边三角形，直线 为线段 的垂直平分线，从而确定点 的位置及 的长，结合旋转性质确定点 的位置． 【详解】解：由作图可知， 是等边三角形 直线 是线段 的垂直平分线 为 的中点， 将点 绕点 逆时针旋转 得到点 ， 点 在 轴正半轴上，且距离原点 个单位长度， 点 的坐标为 ． 二、填空题（共18分） 11．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】将所求代数式通分变形为含两根之和、两根之积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系求出对应值，代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴将，代入， 可得． 12．若关于的一元二次方程满足：与（均为常数），则称它们为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】19 【分析】根据“同类方程”的定义可得第二个方程需与第一个方程的结构一致，即可写成的形式，通过展开后对比系数可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同类方程”， ∴方程可表示为的形式， 即方程可表示为的形式， ∴，，， 解得，，， ∴． 13．如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 【答案】10 【分析】根据落地时，，代入求解即可． 【详解】解：∵落地时，， ∴将代入，得 ， 即， ， 解得（负根舍去）． 故铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是． 14．已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为__________________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，结合各点横坐标的取值范围，利用反比例函数的图像性质比较函数值大小． 【详解】解：∵ ∴ ∴反比例函数的比例系数 ∴该反比例函数图像位于第二、第四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ∴点、位于第二象限，第二象限内点的纵坐标均为正，即，， ∵在第二象限内随的增大而增大，且 ∴， ∵ ∴点位于第四象限，第四象限内点的纵坐标均为负，即， ∴． 15．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是________． 【答案】2 【分析】先利用反比例函数k的几何意义求出两个反比例函数对应与坐标轴围成的矩形面积，再根据大矩形的面积等于两个小矩形面积之和求出，最后结合反比例函数所在象限确定k的符号，计算得到k的值． 【详解】解：如图，令与y轴的交点为点M，则四边形和四边形均为矩形． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积为． ∵矩形的面积为6， ∴矩形的面积为：． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积等于， 即 又∵点D在第一象限，k为正数， ∴． 16．已知正方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据旋转性质得到，，结合正方形的边、角性质构造等腰直角三角形，通过勾股定理建立关系求解线段长度，最终计算的长. 【详解】解：∵ 四边形为正方形， ∴ ， ∵ 边绕点顺时针旋转得到线段 ∴ ， 延长交的延长线于点，过点作于点，延长交的延长线于点， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ， ∵ ， ∴ 四边形为矩形 ∴ ， ∵ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴ 设 则， ∴ 在中，由勾股定理得 代入得： 整理得 ∵ 线段长度为正 ∴ ，即 ∴ ， ∴ 在中，由勾股定理得： 三、解答题（共72分） 17．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， 开平方得， 即或， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 即或， 解得，． 18．已知：关于x的二次函数的图象与x轴有交点．求k的取值范围． 【答案】 【分析】二次函数的图象与x轴有交点，得方程有实数根，得，计算即可，本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 故答案为：． 19．某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，交了首付款后平均每月付款万元，个月结清（）．与的函数关系如图所示， 根据图像回答下列问题： (1)求出与的函数解析式； (2)若王先生交了首付款后，打算用20个月结清，平均每月应付多少万元？ 【答案】(1) (2)平均每月应付0.45万元 【分析】（1）由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入函数解析式并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数解析式为， 将代入解析式，得，解得， ∴与的函数解析式为； （2）当时，（万元）， 答：平均每月应付0.45万元． 【点睛】本题主要考查了利用反比例函数解决实际问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 20．西安“网红”景区大唐不夜城，以盛唐文化为背景，全面打造集购物、餐饮、娱乐、休闲、旅游、商务为一体的开放式消费场所，已成为西安最具影响力的城市文化地标之一．该景区内某店销售一批成本为55元/袋的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系式； (2)若超市按售价不低于成本价，且不高于90元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元 【分析】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用； （1）设，将，代入得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设利润为W元，建立W关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：设， 将，代入得， 解得， ． （2）解：设利润为W元， ，且， ∴函数的对称轴为直线， ∵二次函数图象开口向下，且 ∴当时，（元）， ∴当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元． 21．某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． (1)图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在上，求线段的长； (2)图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 【答案】(1) (2) 将图案补充完整如图所示： 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、中心对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接交于点，由正方形的性质可得，，，．结合勾股定理可得．证明，得出．求出．进而可得．根据中心对称性，得，即可得解； （2）根据中心对称图形的定义以及正方形的性质，并结合三条线段表示字母“Z”，作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，连接交于点， 四边形是正方形，且， ，，，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 根据中心对称性，得， ． （2）将图案补充完整如图所示： 22．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的生成点． (1)方程的生成点的坐标为 ； (2)已知关于的方程． ①求该方程生成点的坐标(用含有的代数式表示)； ②若该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点，求的值． 【答案】(1) (2)①  ②0 【分析】本题考查了解一元二次方程，一次函数与反比例函数的交点，理解生成点的定义并熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解一元二次方程，再由定义得出生成点的坐标； （2）①用因式分解法解一元二次方程，将生成点的坐标表示出来即可； ②将生成点的坐标分别代入到一次函数与反比例函数中，解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，． ． 方程的生成点的坐标为． 故答案为：． （2）①， ． ，． ． 方程的生成点的坐标为． ②该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点， 由②得，，③ 将③代入①得，， 整理得，，解得，． 当时，的坐标为，不符合题意，舍去， ∴的值为0． 23．如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 【答案】(1)3 (2)解：不存在一个时刻，使得， 理由如下：如图，过点作于点，同理可得矩形，矩形， ， ，， 当时，有， ， 化简得，， ， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得． (3)解：不存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴P点运动的时间为（秒）， Q点运动的时间是（秒）， ∵P、Q的时间不一样， ∴不存在该时刻． 【分析】（1）先求出，，得到，再根据梯形的面积公式进行求解即可； （2）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得． （3）根据正方形的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为， ， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得， ∴当时，四边形的面积为； （2）略 （3）略 24．在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“二次变换点”． (1)如图，已知点，，点是点关于点的“二次变换点”． ①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标； ②的长度是否与有关？若有关，说明理由，若无关，求的长． (2)已知点，是边长为的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“二次变换点”，在绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 【答案】(1)①； ②的长与t的值无关， 由①得：，， ∴， 即的长为4； (2)的长为或 【分析】（1）①根据“二次变换点”定义得到点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，根据点，，得到点，，即可；②根据点，，即可求解； （2）连接，过点A作于点D，设点B绕着点C旋转得到对应点为，则点，C，B三点共线，根据“二次变换点”定义得到，点，N关于直线对称，垂直平分，从而得到，进而得到，进而得到当点N与点重合时， 的长最大，此时三线重合，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点是点关于点的“二次变换点”， ∴点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为， ∵点，， ∴点， ∴， ∵， ∴点； 在图中画出点的位置略； ②略 （2）解：如图，连接，过点A作于点D，设点B绕着点C旋转得到对应点为，则点，C，B三点共线， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是点关于点的“二次变换点”， ∴，点，N关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当点N与点重合时， 的长最大，此时三线重合， 如图， 或 ∵点， ∴， ∴， ∴或， 即的长为或． 25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线第一象限上的一点，连接、，过点P作轴于点E，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）． (3)如图3，在（2）的条件下，点H为延长线上一点，连接，在线段上取点F，使，且，延长至点G，使，连接，且，过点G作交y轴于点K，过点A作x轴的垂线交的延长线于点I，连接IF，过点K作于点J，在线段上取点L，连接、，当时，求点L的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点L的坐标为 【分析】（1）由，求出．根据，得，即可求得； （2）求出，，得．由．求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）在上取点M使，延长交x轴于点N，连接．延长交于点Q．过点J作于点R，作轴，轴，由 ，得，解得，得，在中，，得，在中，，得．证明，得，，在中，，得．可得≌，得，，证明∽，得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，交y轴于点C， ∴当时，，． ∵， ∴，， ∴把代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵时，， ∴，， ∴，， ∴． ∵P点的横坐标为t， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：在上取点M，使， ∵， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴．． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 把代入，得， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴． 延长交x轴于点N， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 连接． ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 延长交于点Q． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 设， ∴，， ∴． 过点J作于点R， ∴≌， ∴，， ∴设，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 作轴，轴， ∴∽， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴点L的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $