期中复习：求二次函数解析式、二次函数平移问题、二次函数的图像与性质专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中复习：求二次函数解析式、二次函数平移问题、二次函数的图像与性质专项训练 期中复习：求二次函数解析式、二次函数平移问题、二次函数的图像与性质专项训练 考点目录 求二次函数解析式 二次函数平移问题 二次函数的图像与性质 考点一 求二次函数解析式 求二次函数解析式解题技巧 （1） 根据已知条件选形式：已知任意三点用一般式 ；已知顶点、对称轴或最值用顶点式 ；已知与 轴两交点用交点式 。 （2） 用待定系数法把已知点代入，列方程（组）求解系数。 （3） 顶点式中顶点为 ，括号内是 ，注意 的符号不要写错。 （4） 求得结果后可化为一般式，并把已知点回代验证，确保全部满足。 （5） 始终注意 ，且 的正负决定开口方向。 例1．（24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的图象经过，两点，则该二次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 变式1．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·湖北孝感·阶段检测）二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 变式3．（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）与抛物线形状相同，开口向下，顶点为的抛物线解析式为_________． 考点二 二次函数平移问题 二次函数平移问题解题技巧 （1） 平移优先使用顶点式：只移动顶点坐标， 保持不变，最不易出错。 （2） 上下平移直接在顶点纵坐标（常数项）上“上加下减”。 （3） 左右平移在括号内对 作“左加右减”，加减针对的是 本身。 （4） 一般式先配方成顶点式再平移，避免 、 同时变化造成混乱。 （5） 平移只改变位置，不改变形状，开口方向和开口大小（）均不变。 例1．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 变式1．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）若将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 变式3．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 考点三 二次函数的图像与性质 二次函数的图像与性质解题技巧 （1） 开口方向由 决定： 向上、 向下， 越大开口越窄。 （2） 对称轴 ，顶点坐标 ，顶点同时给出最值。 （3） 增减性以对称轴为界： 时左减右增， 时左增右减。 （4） 与 轴交点看判别式： 两个交点、 一个交点、 无交点。 （5） 指定区间上求最值，要结合对称轴与区间的位置判断，不能只代顶点而忽视端点。 （6） 用数形结合分析，画图时标出顶点、对称轴和与坐标轴的交点。 例1．（26-27九年级上·广东汕尾·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值5 D．当时，y随x的增大而减小 例2．（26-27九年级上·甘肃武威·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）若抛物线的最小值是2，则_________． 例4．（26-27九年级上·重庆开州·阶段检测）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为___________．（用符号连接） 例5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（m，n是实数） (1)当时，若该函数图象经过，求函数的表达式． (2)若， ①当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； ②若该函数图象经过，两点，当时，求的取值范围． 变式1．（26-27九年级上·广东潮州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是 （     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 变式2．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·四川南充·期末）已知抛物线，当时，函数的最大值为____________． 变式4．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点，其顶点坐标为，，下列五个结论： ①； ②若，则x的取值范围为或； ③若点，在抛物线上，且，则； ④若对任意实数x恒成立，则m的最大值是． ⑤将抛物线向右平移n个单位长度，当x为自然数时，y随着x增大而增大，则n的取值范围是； 其中正确的是________（填写序号）． 变式5．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：求二次函数解析式、二次函数平移问题、二次函数的图像与性质专项训练 期中复习：求二次函数解析式、二次函数平移问题、二次函数的图像与性质专项训练 考点目录 求二次函数解析式 二次函数平移问题 二次函数的图像与性质 考点一 求二次函数解析式 求二次函数解析式解题技巧 （1） 根据已知条件选形式：已知任意三点用一般式 ；已知顶点、对称轴或最值用顶点式 ；已知与 轴两交点用交点式 。 （2） 用待定系数法把已知点代入，列方程（组）求解系数。 （3） 顶点式中顶点为 ，括号内是 ，注意 的符号不要写错。 （4） 求得结果后可化为一般式，并把已知点回代验证，确保全部满足。 （5） 始终注意 ，且 的正负决定开口方向。 例1．（24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的图象经过，两点，则该二次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将，代入， 得，解得， ∴该二次函数的解析式为． 例2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 例3．（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 【答案】 直线 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，先根据两点式求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出对称轴即可． 【详解】解：抛物线的解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为，直线． 变式1．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 变式2．（26-27九年级上·湖北孝感·阶段检测）二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 【答案】 【分析】已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可利用交点式设解析式，代入第三个点的坐标求出未知系数，整理即可得到解析式． 【详解】解：∵二次函数图象经过和 ∴设二次函数解析式为，其中 把代入解析式得： 解得 ∴二次函数解析式为 展开整理得． 变式3．（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）与抛物线形状相同，开口向下，顶点为的抛物线解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点式的求法，抛物线形状相同，则说明a的值相等或互为相反数．设解析式为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：设解析式为， ∵抛物线形状与相同， ∴， ∵开口向下， ∴, ∵顶点为， ∴，， ∴解析式为． 故答案为：． 考点二 二次函数平移问题 二次函数平移问题解题技巧 （1） 平移优先使用顶点式：只移动顶点坐标， 保持不变，最不易出错。 （2） 上下平移直接在顶点纵坐标（常数项）上“上加下减”。 （3） 左右平移在括号内对 作“左加右减”，加减针对的是 本身。 （4） 一般式先配方成顶点式再平移，避免 、 同时变化造成混乱。 （5） 平移只改变位置，不改变形状，开口方向和开口大小（）均不变。 例1．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将向左平移2个单位，得， 再向下平移1个单位，得， 展开整理得． 例2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线平移的可逆性，将新抛物线反向平移即可求得原抛物线解析式． 【详解】解：原抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得， 将向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得原抛物线， 向右平移3个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为． 例3．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 【答案】 【分析】先将原抛物线的一般式配方为顶点式，再依据抛物线平移的“上加下减、左加右减”规则逐步计算，平移过程中二次项系数保持不变． 【详解】解：∵， ∴将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是． 变式1．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）若将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的平移规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：∵二次函数的图象向右平移3个单位长度， ∴得到， ∵再向上平移2个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为． 变式2．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】依据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式的自变量项和常数项做对应调整，即可得到平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规则． ∵ 原抛物线解析式为，需先向左平移2个单位， ∴ 按照左加的规则，将解析式中的替换为，得到第一次平移后的解析式． ∵ 再将第一次平移得到的抛物线向上平移3个单位， ∴ 按照上加的规则，在解析式整体后加3，得到． 化简后得到最终平移后的解析式为． 变式3．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】已知原抛物线解析式为，平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，结合二次函数图象平移规律推导最终解析式． 【详解】解：∵二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴将抛物线向左平移2个单位，得到第一次平移后的解析式为， ∵沿y轴方向向下平移1个单位时，需在整个解析式后减去平移的单位长度， ∴对第一次平移得到的抛物线向下平移1个单位后，得到最终的抛物线解析式为． 考点三 二次函数的图像与性质 二次函数的图像与性质解题技巧 （1） 开口方向由 决定： 向上、 向下， 越大开口越窄。 （2） 对称轴 ，顶点坐标 ，顶点同时给出最值。 （3） 增减性以对称轴为界： 时左减右增， 时左增右减。 （4） 与 轴交点看判别式： 两个交点、 一个交点、 无交点。 （5） 指定区间上求最值，要结合对称轴与区间的位置判断，不能只代顶点而忽视端点。 （6） 用数形结合分析，画图时标出顶点、对称轴和与坐标轴的交点。 例1．（26-27九年级上·广东汕尾·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值5 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，图象开口向下，A正确，不符合题意， ∴对称轴是直线，B正确，不符合题意， ∴顶点坐标为，当时，有最大值，C正确，不符合题意， ∴当时，随的增大而增大，D错误，符合题意． 例2．（26-27九年级上·甘肃武威·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，确定对称轴与顶点坐标，结合开口方向和给定的取值区间，分别计算顶点和区间端点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：将二次函数配方得， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵ 在范围内， ∴ 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 例3．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）若抛物线的最小值是2，则_________． 【答案】 【分析】将二次函数解析式通过配方法转化为顶点式，结合开口向上的二次函数最小值为顶点纵坐标的性质列方程求解． 【详解】解：∵二次项系数为，抛物线开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标， ∴． ∵， ∴当时，取得最小值， 即， 解得或． 例4．（26-27九年级上·重庆开州·阶段检测）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为___________．（用符号连接） 【答案】 【分析】将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应纵坐标值后比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴，，， ∵， ∴． 例5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（m，n是实数） (1)当时，若该函数图象经过，求函数的表达式． (2)若， ①当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； ②若该函数图象经过，两点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）①求得抛物线与轴的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解； ②把，两点代入，表示出和，然后将求出即可求得． 【详解】（1）解：当时，则， 把点代入得，， ， ，即； （2）①解：， 抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 对称轴为直线， 抛物线开口向上且当时，随的增大而减小， ， ∴； ②解：把，代入解析式，得， ，， ∵， 化简得，， ， ， 当时，的值随的增大而增大， 当时， 时，； 时，； ． 变式1．（26-27九年级上·广东潮州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是 （     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】把函数解析式化为顶点式，运用性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 图象开口向下，对称轴为直线，故选项、均错误，不符合题意； ∴顶点坐标为，故选项正确，符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 变式2．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理，得，. ， ． 变式3．（25-26九年级上·四川南充·期末）已知抛物线，当时，函数的最大值为____________． 【答案】 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向与给定的自变量取值范围，比较区间端点的函数值即可得到最大值 【详解】解：∵， ∴二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处取得函数最小值， ∵自变量取值范围为， ∴计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∴该区间内函数的最大值为． 变式4．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点，其顶点坐标为，，下列五个结论： ①； ②若，则x的取值范围为或； ③若点，在抛物线上，且，则； ④若对任意实数x恒成立，则m的最大值是． ⑤将抛物线向右平移n个单位长度，当x为自然数时，y随着x增大而增大，则n的取值范围是； 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①④ 【分析】先根据抛物线的对称轴与已知交点推导系数关系，再逐一验证每个结论的正确性． 【详解】解：由抛物线顶点坐标为，得对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于，根据抛物线的对称性，另一交点为， ∴抛物线可写为交点式，即，， ∵顶点在轴下方（）且抛物线与轴有两个交点， ∴开口向上，； ① ∵， ∴，故①正确； ② 即，化简得， ∵，两边除以得， 解得或， 与题目中或的范围不符，故②错误； ③开口向上的抛物线，点离对称轴越远，函数值越大， 若且，则， 平方展开得， 整理得， ∵即， ∴， 与结论不符，故③错误； ④对任意恒成立，代入抛物线表达式得， 整理得对任意恒成立； ∵， ∴二次函数开口向上， ∵， 解得， 顶点纵坐标为时的函数值，代入得， ∵， ∴，即的最大值为，故④正确； ⑤ 抛物线向右平移个单位后，对称轴为直线， 要使为自然数时随增大而增大，需满足对任意自然数，，最小的两个自然数为和，需满足，即到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 即， 化简得， 平方得， 展开解得， 与题目中的范围不符，故⑤错误； 综上，正确的结论为①④． 变式5．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为，对称轴为直线 (2)的值为或 【分析】（1）将代入解析式，即可求出解析式，再根据抛物线的对称轴公式即可作答； （2）先确定函数的增减性，再分类讨论第一类：当时，；第二类：当时，；第三类：当时，；确定每一类中最大值和最小值，问题即可作答． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 即对称轴为：； （2）解：， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 分类讨论： 第一类：当时，， 此时当时，y有最大值，；当时，y有最小值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，与矛盾，舍去； 第二类：当时，， 此时当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，不满足，舍去； 第三类：当时，， 此时当时，y有最小值，； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（负数不满足，舍去）； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（不满足，舍去）； 综上所述：的值为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $