精品解析：四川眉山市仁寿县鳌峰初中共同体2026-2027学年第一学期期中考试九年级数学试题

鳌峰初中共同体2026年秋半期学情监测 九年级（上）数学试题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一．选择题(共10小题，满分40分，每小题4分) 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程配方为的形式，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 或 B. C. 或1 D. 4. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分) 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 12. 若，则______________． 13. 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场如图，旧墙长为10米，篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门，已知矩形养鸡场的面积为80平方米，则矩形养鸡场的边的长为______________． 14. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数（即）时，可以发出“sol”的音．若瓶高为，则水面高度为________． 15. 如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 三．解答题(共9小题，满分90分) 16. 计算： 17. 解下列方程： （1）． （2） 18. 已知实数在数轴上如图，化简的值 19. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 20. 仁寿奎星阁是四川省眉山市仁寿县老城区核心地标、省级文物保护单位．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“奎星阁（如图）高度”的实践活动，采用镜面反射法进行测量：如图，把一面小镜子水平放在地面上的点O处，乐乐后退到点D处，恰好在镜子里看到奎星阁顶端点A．已知乐乐眼睛距离地面高度，，．根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出奎星阁的高度． 21. 2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． （1）求2023年、2024年这两年的平均增长率； （2）市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 22. 如图，已知正方形内接于，在斜边上， 试证明： （1）； （2）． （3）过点A作边上高交于点N，已知，求正方形的面积 23. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： （1）由材料可知，___________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC． （1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鳌峰初中共同体2026年秋半期学情监测 九年级（上）数学试题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一．选择题(共10小题，满分40分，每小题4分) 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 2. 将方程配方为的形式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程配方后对应得到的值，再计算． 【详解】解：移项，得， 两边加，得， 即. 对应，． ． 3. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 或 B. C. 或1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选结果． 【详解】解：将代入，得. 整理得. 因式分解得. 解得或. ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ，即. ∴ （舍去）， ∴． 4. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 5. 如图，，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 6. 如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可依次排除选项． 【详解】解：∵， ∴A、由可判定，故不符合题意； B、由可判定，故不符合题意； C、由不能判定，故符合题意； D、由可判定，故不符合题意； 故选C． 7. 如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形内角为推导角相等，证得；再由得到相似比，求出两条直角边长，最后转化为横、纵坐标． 【详解】解：如图所示：过点作于点， ∵点，点， ∴，， ， ，又， ． 又， ． ∵相似比， ∴． 代入、： ， ． 由图知在的右下方， 故横坐标为，纵坐标为． ． 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 9. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到，然后得到，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ， ． 10. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】证明，可得，可判断结论①；代入计算，可判断结论②；由正方形的性质可知，得到，再由得到，算出后可推出，可判断结论③；证明，再根据，可判断结论④． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∴，故结论②正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确的结论个数为． 二．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分) 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 12. 若，则______________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知的值，可将所求分式拆分为与已知比值相关的形式，直接代入计算即可. 【详解】解：将所求分式拆分为同分母分式的和， ∵， ∴代入上式计算得 ． 13. 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场如图，旧墙长为10米，篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门，已知矩形养鸡场的面积为80平方米，则矩形养鸡场的边的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形养鸡场的边的长为，则平行于墙的边长为米，根据“矩形养鸡场的面积为80平方米”列出方程，即可求解． 【详解】解：设矩形养鸡场的边的长为，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 解得：， ∵旧墙长为10米， ∴， 解得：， ∴x取8， 答：矩形养鸡场的边的长为． 14. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数（即）时，可以发出“sol”的音．若瓶高为，则水面高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的黄金分割定义式，结合，可推导出与的数量关系，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用重心的性质得出为中点及的比值，结合平行线分线段成比例定理求出、与的数量关系，进而求出与的关系，最后利用相似三角形性质求解． 【详解】解：点是重心，且、、共线， 为中点，， ，， ，， ， 为中点， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ，即， ， ． 三．解答题(共9小题，满分90分) 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法运算法则，完全平方公式，二次根式的乘法、加减法运算法则来计算求解． 【详解】解：原式 = ． 17. 解下列方程： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解； （2）利用因式分解求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 即； 【小问2详解】 解： 移项，得， 分解因式，得， 即或， 解得． 18. 已知实数在数轴上如图，化简的值 【答案】2c-a. 【解析】 【详解】试题分析： 由图可知：，从而可得：，然后根据“绝对值的意义”化简即可. 试题解析： ∵从数轴可知：， ∴， ∴ = = =. 点睛：解这类时，首先要从数轴上获取所涉及的数的大小和正、负信息；若绝对值符号里（或被开方数中）涉及到异号两数和的还要从数轴上获取两数绝对值的大小关系；然后根据所获取的信息确定好绝对值符号里各个式子的符号，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号化简. 19. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解： 对于方程， 其中，，         ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； 【小问2详解】 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 20. 仁寿奎星阁是四川省眉山市仁寿县老城区核心地标、省级文物保护单位．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“奎星阁（如图）高度”的实践活动，采用镜面反射法进行测量：如图，把一面小镜子水平放在地面上的点O处，乐乐后退到点D处，恰好在镜子里看到奎星阁顶端点A．已知乐乐眼睛距离地面高度，，．根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出奎星阁的高度． 【答案】奎星阁的高度为． 【解析】 【分析】根据光的反射原理得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：根据光的反射原理可得：， 在和中，，， ∴， ∴，即 解得：， ∴奎星阁的高度为． 21. 2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． （1）求2023年、2024年这两年的平均增长率； （2）市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）2023年、2024年这两年的平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 22. 如图，已知正方形内接于，在斜边上， 试证明： （1）； （2）． （3）过点A作边上高交于点N，已知，求正方形的面积 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （3）正方形的面积为． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，从而得到，即可得出结论； （3）设正方形的边长为，则，证明，得到，即，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴正方形的面积． 23. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： （1）由材料可知，___________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分母有理化的应用、实数的大小比较、二次根式有意义的条件，解题关键是根据分母有理化理解分子有理化的方法． （1）根据题意进行分子有理化即可得解； （2）先根据材料分别给和分子有理化，然后再进行比较即可； （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后对无理数部分分子有理化，求最大值即可． 【小问1详解】 解：依题得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 而， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ， 当时，分母有最小值， 有最大值是． 24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC． （1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）（，0）；（2）存在，当m＝或时，△APQ与△ADB相似 【解析】 【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD的长，即可求点D坐标； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D， ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°， ∴△ABC∽△ADB， ∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°， ∴△ABC∽△BDC， ∴ ∵A（﹣3，0），C（1，0）， ∴AC＝4， ∵BC＝AC． ∴BC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∵， ∴， ∴CD＝， ∴AD＝AC+CD＝4+＝， ∴OD＝AD﹣AO＝， ∴点D的坐标为：（，0）； （2）如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时， ∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ， ∴△APQ∽△ABD， ∴， ∴ ∴m＝， 如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时， ∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD， ∴△APQ∽△ADB， ∴， ∴ ∴m＝； 综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $