精品解析：四川省眉山市仁寿县2025-2026学年九年级上学期半期小练习（12月期中）数学试题

九年级半期小练习 数学试卷 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性解题即可． 【详解】解：∵ ∴，解得： 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，能够熟练根据性质列不等式计算是解题关键． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：∵ A. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； B. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； C. ，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式； D. 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 故选：D． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，此项错误； B、整数3与无理数不可合并，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误； 故选：C． 4. 下列多边形一定相似的是 （ ） A. 两个菱形 B. 两个平行四边形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等． 矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误； 而两个正方形，对应角都是，对应边的比也都相等，故一定相似，C正确． 故选：D． 【点睛】本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 5. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的方程x2+x+a=0，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：根据题意，得当x=1时，1+1+a=0， 解得，a=-2； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，即一元二次方程的根，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得a的值． 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，使用配方法解一元二次方程，将常数项移项后，两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 7. 如图，，直线，与，，分别交于点A，，和点，，，若，，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；因此由题意易得，然后可得的长，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 8. 若，分别是方程的两实根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握计算法则是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵α，β是方程的两实根， ∴，， ∴ ． 故选：A． 9. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＞2 B. a＜2 C. a＜2且a≠1 D. a＜－2 【答案】C 【解析】 【分析】当△=b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2－4ac<0时，方程没有实数根． 【详解】解：Δ＝4−4（a−1）＝8−4a＞0， 得a＜2． 又a−1≠0， 所以a＜2且a≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的零点以及方程根的关系，是基础题． 10. 若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似多边形的性质，得出对应边成比例进而得出答案． 【详解】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边， ∴， ∵AB=8cm，A′B′=6cm，AD=5cm， ∴， 解得：A′D′= ． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟记相似多边形对应边成比例． 11. 如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ） A. 3:2 B. 3:1 C. 1:1 D. 1:2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可． 【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴ ， ∵点E是边AD的中点， ∴AE=DE=AD， ∴． 故选D． 12. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， 又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴， ∵AB=BC=3，BP=1， ∴PC=2， ∴， ∴CD=， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 14. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 15. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用设k法求解． 根据，可设，再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示， 设小路宽为x米， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 17. 方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方程的两个根． 先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：， 解得，， 若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立； 若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：21． 18. 如图，在正方形中，为边的中点，、分别为、边上的点．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确利用相似求出是解题的关键．利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等，可得，进而可得，利用相似三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E为边的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和正确化简二次根式． （1）分别计算负整数指数幂、化简二次根式、零指数幂以及绝对值，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． （3）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 【小问3详解】 解：∵， 在这里，， ∴， 解得，． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 22. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程有两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式和解一元二次方程，解题关键是明确一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确的解方程． （1）根据根的判别式的意义得到，然后根据根的情况列出不等式，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，整理得，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：， 即k的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ， ， ∴， 解得，， 由（1）可知，方程有两个实数根时，， ． 23. 如图所示，在矩形中，为上一点，于点. (1)与相似吗？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1) 与相似．(2)7.2. 【解析】 【分析】（1）两三角形相似，只要证明∠B＝∠AFD，∠AEB＝∠DAE即可；（2）根据（1）得，把 代入计算即可得出的长． 【详解】解：(1)与相似．理由如下： 在矩形中，， ∴. ∵，∴， ∴. (2)∵，∴， ∴. 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 受新冠疫情影响，实体店受影响很大，小明爸爸的服装店里堆积了一批服装打算在网上销售，平均每天可销售 件，每件盈利 元．为减少库存，小明的爸爸决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价 元，平均每天可多销售 件． （1）每件服装降价多少元时，小明爸爸的服装店的日盈利可达到 元？ （2）小明爸爸的服装店的日盈利能否达到 元？ 【答案】（1）降价20元 （2） 不能，理由如下： 假设每件服装降价a元，可达到日盈利1500元， 根据题意：， 整理，得：， ∵方程的判别式， ∴方程无实数解， 即小明爸爸的日盈利不可能达到1500元． 【解析】 【分析】（1）设每件服装降价x元，根据题意列出一元二次方程即可求解； （2）假设每件服装降价a元，可达到日盈利1500元，列出一元二次方程，根据方程的判别式小于0，可知方程无实数解，即可解决问题． 【小问1详解】 设每件服装降价x元， 根据题意有：， 解得：，， 为了减少库存，则取， 即：每件服装降价20元，即可日盈利1200元； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 25. 已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ （3）如果，分别从，同时出发，那么几秒后与相似？ 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设运动时间为，根据题意，得，，则，根据的面积为，列式解答即可； （2）设运动时间为，根据题意，得，，则，根据的长度等于，利用勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意，分和，解答即可． 本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，三角形相似的性质． 【小问1详解】 解：设运动时间为，根据题意，得，，则， ∵的面积为， ∴， 整理，得， 解得，， 时，大于，舍去， 故当运动时，的面积等于． 【小问2详解】 解：设运动时间为，根据题意，得，，则，根据的长度等于， 利用勾股定理，得， 解得或，舍去， 故3秒后，的长度等于． 【小问3详解】 解：设运动时间为，根据题意，得，，则， 当， ∴， ∴， 解得； 当， ∴， ∴， 解得； 故当运动或时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级半期小练习 数学试卷 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多边形一定相似的是 （ ） A. 两个菱形 B. 两个平行四边形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 5. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，直线，与，，分别交于点A，，和点，，，若，，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 10 8. 若，分别是方程的两实根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＞2 B. a＜2 C. a＜2且a≠1 D. a＜－2 10. 若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 11. 如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ） A. 3:2 B. 3:1 C. 1:1 D. 1:2 12. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 14. 计算____________． 15. 若，则_______． 16. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 17. 方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 18. 如图，在正方形中，为边的中点，、分别为、边上的点．若，，，则的长为________． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程有两个实数根，且满足，求的值． 23. 如图所示，在矩形中，为上一点，于点. (1)与相似吗？请说明理由； (2)若，求的长． 24. 受新冠疫情影响，实体店受影响很大，小明爸爸的服装店里堆积了一批服装打算在网上销售，平均每天可销售 件，每件盈利 元．为减少库存，小明的爸爸决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价 元，平均每天可多销售 件． （1）每件服装降价多少元时，小明爸爸的服装店的日盈利可达到 元？ （2）小明爸爸的服装店的日盈利能否达到 元？ 25. 已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ （3）如果，分别从，同时出发，那么几秒后与相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $