专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版九年级上册

专题 07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 十字架模型是矩形、正方形中一类经典的相似模型，因两条互相垂直的线段形如 “十字架” 而得名。该模型依托垂直条件推导等角，进而构造相似三角形，得到线段比例关系，广泛应用于矩形、正方形的边长计算、面积问题，也是中考填空选择压轴、几何综合题的高频考点。本专题就十字架相似模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化基础图形的直接计算，强化模型构造与综合应用，多以 “正方形内十字垂直、矩形内十字斜交、折叠结合十字架” 形式出题，常与勾股定理、面积、折叠结合考查。 推导逻辑：垂直→互余→等角→AA 相似→对应边成比例，拒绝凭直观猜比例。 核心素养目标： 1.掌握正方形、矩形十字架模型的结论与推导； 2.能快速识别十字架模型，运用比例关系求解边长； 3.培养构造垂线、转化边角的几何思维，提升综合解题能力。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 4 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 5 模型拓展 9 【易错总结】 9 【模型运用】 10 模型根植于直角三角形两锐角互余与相似三角形 AA 判定：在矩形 / 正方形中，若两条线段互相垂直，可通过 “同角的余角相等” 推导出两组锐角相等，从而构造出相似三角形，得到线段成比例的结论。 因两条线段交叉垂直形如十字架，故得名 “十字架模型”。其中正方形内十字架比例为 1:1（相等），矩形内十字架比例等于长宽比，是矩形、正方形中垂直类问题的核心模型。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 正方形、矩形的性质：四个角为直角，对边相等； 2. 余角的性质：同角或等角的余角相等； 3. 相似三角形 AA 判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 4. 勾股定理：直角三角形三边的平方关系； 5. 全等三角形判定：正方形十字架常伴随全等（相似比为 1） 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 【模型解读】 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 【模型证明】 1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC， 结论：. 证明：四边形为矩形， ， ； DE⊥AC，， ，， ，. 2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC， 结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，， 四边形为矩形，； ； EF⊥AC，， ； ， ， ， 易证：DC=AB，FG=BC， . 3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN， 结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直， ； 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ； ∵EF⊥MN，， ∴； 又∵（对顶角相等）， ∴； ∴，， 易证：NH=AB，FG=BC，. 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 【模型证明】 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，， ， ∴AD=BE，； ， ∴AD和BE夹角为60°； ，， ， 同理： 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 【模型解读】 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 【模型证明】 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH， ∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°， ∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH， ∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG， ∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°， ∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴， ∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF， ∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°， ∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF， 易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ， ∴QEC为等腰直角三角形， ∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC， ①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF， ⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 【模型运用】 【典例1】(26-27九上·广东佛山顺德区·模拟)如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且．与交于点，连接，若，则的值为(     ) A． B． C． D． 【典例2】(九下·江苏无锡宜兴宜兴外国语学校·月考)如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝______°；则的周长为______．    【典例3】(26-27九·广东深圳龙岗区实验学校·月考)如图，矩形中，，，点E在边上，连接，过点A作交于点F，已知，点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为________． 【典例4】(九上·山西吕梁中阳县·期末)综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________． 深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长． 【典例5】(2024·江西省上饶市·一模)课本再现： （1）如图1，分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：是等边三角形， ． ， ， ． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______； 迁移应用： （2）如图2，将图1中的延长至点，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题． ①求证：； ②若，试探究与之间的数量关系． 【典例6】(24-25八上·广西防城港防城区第三中学·月考)【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 模型拓展 · 十字架模型可拓展到平行四边形，比例关系对应边长比与夹角正弦值； · 常与折叠结合，折叠后出现垂直即可构造十字架相似； · 坐标系中矩形、正方形的垂直问题，均可通过十字架模型快速求比例。 模型常见易错点 1. 易错点：矩形十字架比例记反，长宽比搞颠倒 · 错因分析：机械记忆 “长：宽”，不理解对应边的关系。 · 避坑指南：EF 对应竖直方向的高，GH 对应水平方向的长，比例 = 竖直边长：水平边长。 2. 易错点：忽略 “端点在对边上” 的前提，任意垂直线段乱用结论 · 错因分析：只要看到垂直就套十字架结论，忽略线段端点位置。 · 避坑指南：标准十字架要求两条线段分别连接两组对边，不满足则需推导，不能直接套结论。 3. 易错点：正方形十字架只记得相等，不会推导过程 · 错因分析：死记结论，图形变式后无法还原推导。 · 避坑指南：核心是作两条高，构造直角三角形证全等 / 相似，忘记结论时现场推导即可。 模型小结 · 核心口诀：正方形里十字架，垂直两线等长；矩形里面十字架，比例等于宽比长； · 解题步骤：找垂直十字 → 作边的垂线 → 证全等 / 相似 → 得比例 / 等长 → 计算边长； · 垂直类问题优先联想十字架模型，尤其是矩形、正方形背景； · 无完整十字时，可作辅助线补全十字架结构。 1．(九上·四川宜宾宜宾第二中学校·期中)如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤． 其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 2．(九上·期中模拟)如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为．若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(26-27九上·山西运城盐湖区实验初级中学)在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 4．(26-27九上·辽宁沈阳第四十三中学·学科素养)如图，矩形中，点F在线段上，连接．平分交于点E，过点E作，垂足为点N，交于点M．若，，则的面积为_________． 5．(26-27九上·河南南阳卧龙区南阳开元学校·模拟)如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 6．(26-27九上·黑龙江哈尔滨第三十九中学校·月考)如图，正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，且，连接，平分，连接，分别交、于点，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，下列结论：①垂直平分；②；③点M到的距离为；④的最小值为．其中一定正确的结论的序号为__________. 7．如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：． 8．(25-26九上·山东德州齐河县三校联考)【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 9．(26-27九上·四川成都盐道街中学·月考)如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．(26-27九上·北京顺义)如图，矩形中，点为边上一动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 11．(26-27九上·甘肃白银·期中)如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 12．(26-27九上·广东佛山)在正方形中，E、F分别是边、上一点，且，连接、交于点G． (1)判断线段、的位置关系并说明理由． (2)连接交于点H，连接，如图②； ①若点E是BC的中点，当时，求线段的长； ②当时，求的值． 13．(26-27九上·浙江金华义乌)在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 14．(26-27九上·上海)如图，在正方形中，边长，点E是边上的动点（点E不与端点C、D重合），的垂直平分线分别交于点F、H、G，交的延长线于点P． (1)当点E在边的中点时，求的值； (2)设，，求y关于x的函数表达式； 15．(26-27九上·河南驻马店)按要求完成以下问题 (1)问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． (2)类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． (3)拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 16．(23-24九上·浙江杭州·期中)我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 (1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 17．（1）如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？ （2）如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值； （3）如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长． 18．(26-27九·广东清远清城区)探究解题 (1)问题发现：如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．请问和相等吗，若相等请证明，若不相等；请说明理由． (2)类比探究：如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：； (3)拓展延伸：如图3，在平行四边形中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 19．(26-27九上·安徽亳州)综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，求的值； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 20．(26-27九上·辽宁沈阳·期中)如图，在平行四边形中，点为直线上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)若，点为边上一动点． ①如图1，当的延长线恰好经过点时，求证：； ②如图2，延长、分别与边、相交于、，若，，求的长； ③在②的条件下，直接写出的值； (2)如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、，若，直接写出的值． 21．(26-27九上·福建泉州·适考)如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 22．(26-27九上·辽宁丹东)定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_________； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点M，N分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，交于点，连接 ，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 23．(26-27九·广东深圳)【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 (1)如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当是中点时，________度； (2)【深入探究】 如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； (3)【拓展提升】 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 24．(黑龙江省齐齐哈尔市·模拟)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接、，，则的值为______； 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为______，请说明你的理由； 【实践应用】 (3)如图3，矩形中，，，点为矩形边上的一点，且，若将矩形折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为点，点，则折痕的长为______； (4)如图4，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，．则的长为______． 25．(九下·安徽芜湖·一模)如图，在等边的边上各取一点E，D，使相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)在（2）的条件下，动点P在从点C向终点E匀速运动，点Q在上，连结，满足，记为x，的长为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 26．(26-27九上·浙江温州)如图，为矩形的对角线，于点，交边于点，且． (1)求的值； (2)已知，如图，为线段延长线上一点，连接． ①连接，若有一个角等于，求所有符合条件的的长． ②求的最大值． 27．(25-26九上·陕西西安长安区·期中)问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 28．(25-26九上·河南开封杞县·期中)问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 29．(23-24·安徽阜阳太和县·一模)【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 十字架模型是矩形、正方形中一类经典的相似模型，因两条互相垂直的线段形如 “十字架” 而得名。该模型依托垂直条件推导等角，进而构造相似三角形，得到线段比例关系，广泛应用于矩形、正方形的边长计算、面积问题，也是中考填空选择压轴、几何综合题的高频考点。本专题就十字架相似模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化基础图形的直接计算，强化模型构造与综合应用，多以 “正方形内十字垂直、矩形内十字斜交、折叠结合十字架” 形式出题，常与勾股定理、面积、折叠结合考查。 推导逻辑：垂直→互余→等角→AA 相似→对应边成比例，拒绝凭直观猜比例。 核心素养目标： 1.掌握正方形、矩形十字架模型的结论与推导； 2.能快速识别十字架模型，运用比例关系求解边长； 3.培养构造垂线、转化边角的几何思维，提升综合解题能力。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 4 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 5 模型拓展 17 【易错总结】 17 【模型运用】 17 模型根植于直角三角形两锐角互余与相似三角形 AA 判定：在矩形 / 正方形中，若两条线段互相垂直，可通过 “同角的余角相等” 推导出两组锐角相等，从而构造出相似三角形，得到线段成比例的结论。 因两条线段交叉垂直形如十字架，故得名 “十字架模型”。其中正方形内十字架比例为 1:1（相等），矩形内十字架比例等于长宽比，是矩形、正方形中垂直类问题的核心模型。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 正方形、矩形的性质：四个角为直角，对边相等； 2. 余角的性质：同角或等角的余角相等； 3. 相似三角形 AA 判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 4. 勾股定理：直角三角形三边的平方关系； 5. 全等三角形判定：正方形十字架常伴随全等（相似比为 1） 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 【模型解读】 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 【模型证明】 1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC， 结论：. 证明：四边形为矩形， ， ； DE⊥AC，， ，， ，. 2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC， 结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，， 四边形为矩形，； ； EF⊥AC，， ； ， ， ， 易证：DC=AB，FG=BC， . 3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN， 结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直， ； 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ； ∵EF⊥MN，， ∴； 又∵（对顶角相等）， ∴； ∴，， 易证：NH=AB，FG=BC，. 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 【模型证明】 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，， ， ∴AD=BE，； ， ∴AD和BE夹角为60°； ，， ， 同理： 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 【模型解读】 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 【模型证明】 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH， ∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°， ∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH， ∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG， ∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°， ∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴， ∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF， ∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°， ∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF， 易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ， ∴QEC为等腰直角三角形， ∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC， ①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF， ⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 【模型运用】 【典例1】(26-27九上·广东佛山顺德区·模拟)如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且．与交于点，连接，若，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明得出，结合已知角度关系推导出为等腰三角形且，利用相似三角形性质求出与的数量关系，进而计算比值. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴. 【典例2】(九下·江苏无锡宜兴宜兴外国语学校·月考)如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝______°；则的周长为______．    【答案】 6 【分析】根据证，得出，在上取一点使，则，证，根据比例关系设，则，作延长线于，利用勾股定理列方程求解即可得出和的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 在上取一点使，则， ， 是等边三角形， ， 即， ， ， 设，则， 作延长线于，   ， ， ，， ， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ，， 的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键． 【典例3】(26-27九·广东深圳龙岗区实验学校·月考)如图，矩形中，，，点E在边上，连接，过点A作交于点F，已知，点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，则，即，可求，作，使，连接，作于，则，，证明，可得，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：矩形，， ∴，，，， ， ∴， 又， ， ，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，连接，， 则，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴三点共线， ∴为的中点， 点是的中点， ， 由勾股定理得，， ． 【典例4】(九上·山西吕梁中阳县·期末)综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________． 深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）过点作于点，过点作于点，且交于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质和勾股定理， （1）根据题意可证得，则有，即可求得答案； （2）过点作于点，过点作于点，且交于点，根据矩形的性质得和，进一步证得，即有结论成立； （3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例5】(2024·江西省上饶市·一模)课本再现： （1）如图1，分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：是等边三角形， ． ， ， ． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______； 迁移应用： （2）如图2，将图1中的延长至点，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题． ①求证：； ②若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）①证明：由（1）知， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； （2）①证明，求出，即可得到答案；②证明，根据三角形相似的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：①略 ②， ， ， ， ， 又， ， ； 【典例6】(24-25八上·广西防城港防城区第三中学·月考)【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 【答案】 （1）∵，， ∴，， ∴； （2）正确，理由如下， ∵，， ∴． ∵平分， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】本题考查同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，角平分线的定义．掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． （1）结合题意，根据同角的余角相等证明即可； （2）由等腰直角三角形的性质，角平分线的定义可得出，再结合题意，利用证明即可． 模型拓展 · 十字架模型可拓展到平行四边形，比例关系对应边长比与夹角正弦值； · 常与折叠结合，折叠后出现垂直即可构造十字架相似； · 坐标系中矩形、正方形的垂直问题，均可通过十字架模型快速求比例。 模型常见易错点 1. 易错点：矩形十字架比例记反，长宽比搞颠倒 · 错因分析：机械记忆 “长：宽”，不理解对应边的关系。 · 避坑指南：EF 对应竖直方向的高，GH 对应水平方向的长，比例 = 竖直边长：水平边长。 2. 易错点：忽略 “端点在对边上” 的前提，任意垂直线段乱用结论 · 错因分析：只要看到垂直就套十字架结论，忽略线段端点位置。 · 避坑指南：标准十字架要求两条线段分别连接两组对边，不满足则需推导，不能直接套结论。 3. 易错点：正方形十字架只记得相等，不会推导过程 · 错因分析：死记结论，图形变式后无法还原推导。 · 避坑指南：核心是作两条高，构造直角三角形证全等 / 相似，忘记结论时现场推导即可。 模型小结 · 核心口诀：正方形里十字架，垂直两线等长；矩形里面十字架，比例等于宽比长； · 解题步骤：找垂直十字 → 作边的垂线 → 证全等 / 相似 → 得比例 / 等长 → 计算边长； · 垂直类问题优先联想十字架模型，尤其是矩形、正方形背景； · 无完整十字时，可作辅助线补全十字架结构。 1．(九上·四川宜宾宜宾第二中学校·期中)如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤． 其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】根据题意证明，进而可确定①；由，，得出，进而判断结论② ，由 ，可得由，进而判断结论③， 可得，进而由可得，即可判断③，根据，以及是的中点即可判断④和⑤． 【详解】依题意得，，， ， ， ， 又， ， 故①正确； 如图，标记如下角， ，， ，， ，， ∴， 故②正确； 在与中， （ASA）， ， 又点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， （SAS）， ， 是直角三角形， ， ， 即点不是线段的中点， 故③不正确； 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ， ， 点是的中点， ， ， 即， 故⑤错误． 综上所述，①②④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质，证明 与是解题的关键． 2．(九上·期中模拟)如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为．若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点作于点，证明即可判断①；采用特殊值法判断②，若点是的中点，则，又，得到，从而，故②错误；过点作，交于点，交于点，证得，得到，，根据正方形的性质与得到，进而有，从而可证得，有，因此，故③正确；利用反证法证明④，假设成立，则，根据同角的余角相等推出，即，而是定值，随着点的变化而变化，故不成立，从而不成立，故④错误． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 在正方形中，， 四边形是矩形， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故①正确； 如图，若点是的中点，则， 设正方形的边长为，即， ， 在中，， 点是的中点， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， 在矩形中，， 在正方形中，， ， ， ，故②错误； 过点作，交于点，交于点， ，， 点是的中点， ， ， ，， 在正方形中，平分， ， ， ， ， ， ， 由①知，， ， ， ，即， 由①得，四边形是矩形， ， ， ，， ， ，， ， ， ，故③正确； 对于④，假设成立，则， ， ， ， ， ， 是定值，随着点的变化而变化， 不成立， 不成立．故④错误． 综上所述，结论正确的有2个． 3．(26-27九上·山西运城盐湖区实验初级中学)在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】先由正方形性质和中点条件，通过证，推得；再作辅助线，用证，结合求出相关线段长，最终在中由勾股定理计算的长度． 【详解】解：在正方形中，，， ∵、分别为、中点， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ． 又∵， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得，， ∴，． ∴， 在中，． 4．(26-27九上·辽宁沈阳第四十三中学·学科素养)如图，矩形中，点F在线段上，连接．平分交于点E，过点E作，垂足为点N，交于点M．若，，则的面积为_________． 【答案】 24 【分析】由矩形性质及角平分线性质证得，求出、长；通过建立方程求出长；再由求出长，进而求得面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．(26-27九上·河南南阳卧龙区南阳开元学校·模拟)如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 【答案】①②③ 【分析】①先根据正方形的性质证得和全等，再利用证得和全等，即可得出垂直平分；②连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即的最小值；③先证，再根据相似三角形的性质及，即可判断；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， 垂直平分，故①正确； ②如图，连接与交于点，交于点，连接，，   四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ，， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为6， ∴由勾股定理得，， ， 即的最小值为，故②正确； ③垂直平分， ， ， ， 又， ， ， 即， 由①知， ，故③正确； ④垂直平分， ， 又， ，故④不正确； 综上，正确的是：①②③． 6．(26-27九上·黑龙江哈尔滨第三十九中学校·月考)如图，正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，且，连接，平分，连接，分别交、于点，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，下列结论：①垂直平分；②；③点M到的距离为；④的最小值为．其中一定正确的结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质，三角形的全等，垂直平分线的定义，可得①正确；根据正方形的性质，三角形的全等，平行线分线段成比例，可得②正确；过点M作，根据相似三角形的性质，可得③正确；根据垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，可得④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 垂直平分，①正确； 垂直平分，点P在上， ， ， 要使最小，即求的最小值， 当D，P，N三点共线且时，取得最小值，最小值为点D到的距离， 如下图，作，交于点， ， ， ， ，即， 解得， 的最小值为，④错误； 四边形是正方形， ，， ， 由上可知： ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，②正确； 如下图，过点M作， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，即， 解得，③正确， 综上所述：①②③正确． 7．如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：． 【答案】 证明：如解图，过点作于点，过点作于点， ∵，且四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【分析】过点作于点，过点作于点，先根据余角的性质证明，再证明即可证明结论成立． 【详解】略 【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 8．(25-26九上·山东德州齐河县三校联考)【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【答案】 （1）证明：如图①，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，；，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （2）1；（3） 【分析】（1）过点作，交于点，过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，由此即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1） 略 （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：1． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图④，过点作于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 9．(26-27九上·四川成都盐道街中学·月考)如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形和垂直平分线得到，，即可证明； （2）由矩形得到，，，再证明，得到，接着根据得到，代入解得，最后得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 10．(26-27九上·北京顺义)如图，矩形中，点为边上一动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，证明，运用相似三角形的性质可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 11．(26-27九上·甘肃白银·期中)如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据同角的余角相等证明，然后再结合一组相等的直角即可证明； （2）先证明，再证明和，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ∴， ， 如图，设交于， 四边形是矩形， ，， ∴ ， ， ， ∴， ， ， ∴， ． 12．(26-27九上·广东佛山)在正方形中，E、F分别是边、上一点，且，连接、交于点G． (1)判断线段、的位置关系并说明理由． (2)连接交于点H，连接，如图②； ①若点E是BC的中点，当时，求线段的长； ②当时，求的值． 【答案】(1)线段、的位置关系：垂直，理由如下： ∵四边形是正方形，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段、的位置关系：垂直； (2)①；②的值为． 【分析】（1）垂直．证明，根据全等三角形的性质可得，从而得出，可得结论； （2）①证明，可得，再根据（1）的结论可得； ②设，则，可得，再设，，证明，求得，根据，可得，联立得，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵点是的中点，， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴线段的长为； ②设，则， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 联立，整理得， 两边同时除以，且设， 则， 解得或（舍去）， ∴的值为． 13．(26-27九上·浙江金华义乌)在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 【答案】(1)证明：如图，四边形是矩形， ∴， ， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴， ∴， ， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形与折叠的性质，确定两组角相等，进而证明相似； （2）设，利用勾股定理列方程，求出，则，再利用相似三角形对应边成比例，求出，即可得解； （3）延长、交于M点，连接，设，证明，推出，再利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图，延长、交于M点，连接， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ，即， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 14．(26-27九上·上海)如图，在正方形中，边长，点E是边上的动点（点E不与端点C、D重合），的垂直平分线分别交于点F、H、G，交的延长线于点P． (1)当点E在边的中点时，求的值； (2)设，，求y关于x的函数表达式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长、交于点K，证，得到，，进而得到，，再证，根据相似三角形的对应线段成比例，求出； （2）过点H作于点M，过点G作于点Q，证，得到，再证，得，将其变形为，即，由，得，进而得到，整理得． 【详解】（1）解：延长、交于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵点H是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点H作于点M，过点G作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 整理得． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键． 15．(26-27九上·河南驻马店)按要求完成以下问题 (1)问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． (2)类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． (3)拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)证明：过点H作，垂足为点Q，过点G作，垂足为点P，与相交于点O， , ， ， ， ， ， ， ， ， 由，可得：， ， ， 由可得四边形为矩形， ， 同理可得， ； (3) 【分析】（1）过点H作交于点N，过点G作交于点M，证明即可求解； （2）过点H作交于点Q，过点G作交于点P，由（1）可得，再结合相似三角形的性质可得结论； （3）过点作的平行线交于点，构造平行四边形，得到等角与等线段；在上截取，利用构造等边，得到角，创造相似三角形条件，利用平行线、三角形外角定理，证出两组对应角相等，证明，把，，代入相似比直接得到． 【详解】（1）解：过点H作于点N，过点G作于点M， 设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，与平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ； （2）略 （3）解：过点作的平行线交于点，交于点， 在上截取，连接 ， 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 又 是等边三角形 四边形是平行四边形 ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．(23-24九上·浙江杭州·期中)我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 (1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2) 证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点； 四边形是矩形， ，，，， 四边形、均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，，， 四边形、均为矩形， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ； (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；由矩形的性质得到，，，，，则四边形、均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据直角三角形的性质可得，则，根据相似三角形的性质求解即可； 乙方案：过点作交于点，过点作交于点；根据矩形的判定与性质得出，，结合直角三角形的性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解： （3）由矩形的性质可得，由勾股定理求得，由（2）可知，，据此计算求解即可； （4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，连接，由“”可证，可得，通过证明，可得，，由勾股定理可求、、的长，结合（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， 即， 解得， 的长为； （4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， （不合题意舍去），， ， 由（2）知，， 又， ， ， ，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．（1）如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？ （2）如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值； （3）如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长． 【答案】 （1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）（3） 【分析】（1）先判断出，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）构造出正方形，同（1）的方法得出，进而得出，再判断出，即可得出结论； （3）先构造出矩形，同（1）的方法得，，进而判断出，即可求出，再证明，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图2：过点A作， 过点C作，两线相交于M，延长交于G， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴矩形是正方形， ， 同（1）的方法可得，， ， 又∵D为边的中点， ， ， ， ， ； （3）解：如图3： 在中，， ， ∵点D是的中点， ， 过点A作， 过点C作，两线相交于N，延长交于P， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形， ∴， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键． 18．(26-27九·广东清远清城区)探究解题 (1)问题发现：如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．请问和相等吗，若相等请证明，若不相等；请说明理由． (2)类比探究：如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：； (3)拓展延伸：如图3，在平行四边形中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 【答案】(1)相等，理由如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； (2)证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到，；然后证明可得，设，则，解得最后代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：过点作， 在平行四边形中，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 解得：， ． 19．(26-27九上·安徽亳州)综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，求的值； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于点，过点作交于点， ， ， 由（1）同理可得， ， 在矩形中，，， ， 在矩形中，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 同理可得， ， ； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质证明即可； （2）过点作交于点，过点作交于点，由（1）同理证明，根据相似比即可证明； （3）把补成矩形，根据（1）中的结论利用相似三角形解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：过点作且，连接，延长交于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ， 由（1）同理可得， ， 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 20．(26-27九上·辽宁沈阳·期中)如图，在平行四边形中，点为直线上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)若，点为边上一动点． ①如图1，当的延长线恰好经过点时，求证：； ②如图2，延长、分别与边、相交于、，若，，求的长； ③在②的条件下，直接写出的值； (2)如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、，若，直接写出的值． 【答案】(1)①证明：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； ②； ③； (2)或 【分析】（1）①折叠得到，矩形的性质，得到，，进而得到，进而得到，得到； ②折叠得到，，设，推出，在中，利用勾股定理求出的值； ③证明，列出比例式进行求解即可； （2）分点在线段上和线段延长线上，然后推导出，据此构造直角三角形，然后根据折叠以及平行的性质得到，再设，通过勾股定理建立方程求解，最后再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）②解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同①可得：， ∵折叠， ∴，， ∴， 设， 则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴， ③∵， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，过点作于点， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ 由折叠可得，， 同上可得， 设，则 ∵ ∴ ∴， ∴，， 在中， ∴ 解得 ∵ ∴； ②当点在线段延长线上时，过点作于点， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ 由折叠可得，， 同上可得， 设，则 ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ 解得 ∵ ∴， 综上：的值为或． 21．(26-27九上·福建泉州·适考)如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 【答案】(1)证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； (2)解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接，取的中点，连接，    由（1）得：， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ，，， ， ， ， ， ∴ ． ， ，，， ，即， ，即， ， 点N是的中点， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）因为为等边三角形，所以，，又，即可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可； （2）延长至，使，连接，取的中点N，连接，可证得是等边三角形，得出，，再证得，推出，，证得，推出，结合点N是的中点，得出，是等边三角形，进而可得，，推出，即； （3）延长 至 使 ，取 的中点 ，连接 ，先证 ，把 用 表示；再由 与 推出点 是 的中点，从而得 是 的中位线；最后证 ，把所求线段之比转化为已知线段的比． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接，    由（2）知：，，． ， ． 又 ， ． ． ， ，即 ． ， ． 点 在 上，， ． ， ． 又 ， ． ． 又 ， ，即点 是 的中点． 点 是 的中点， 是 的中位线，． ． ， ． ． ，点 在 上， ． ． 又 ， ． ． ， ． ， ． 22．(26-27九上·辽宁丹东)定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_________； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点M，N分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，交于点，连接 ，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是“奋进四边形”， ， ； ②； (3)或 【分析】（1）根据各四边形的特征即可求解； （2）①证明得．根据四边形是“奋进四边形”得，即可求证； ②过点N作，可得四边形为矩形，推出，由①可得．根据题意可得、为等腰直角三角形，据此即可求解； （3）过点P作，垂足为D，先由勾股定理求解，分类讨论当时，当时，根据相似三角形的性质设未知数，再通过对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：直角梯形的对角线不一定相等，矩形四个内角均为直角且对角线相等； 菱形的对角线不一定相等，正方形四个内角均为直角且对角线相等； ∴是“奋进四边形”的是②④； （2）①略； ②如图1，过点N作，垂足为E， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 四边形为矩形， ． 由①知， ∵ ． ∵在正方形中，， 又∵ ，即， 为等腰直角三角形， ． ∵ ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∴； （3）解：中，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ． ∵， ∴ 第一种情况：当时， ∴， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， ； 第二种情况：当时， ， 设．则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， 综上：或． 23．(26-27九·广东深圳)【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 (1)如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当是中点时，________度； (2)【深入探究】 如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； (3)【拓展提升】 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为正方形， ∴，． 在和中， ， ∴； ②67.5； (2) (3)或或． 【分析】S（1）①根据正方形的性质得，再结合，可证得； ②连接，根据（1）得出，即可证明，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，可证得，从而，设，则，，可得出，从而，进而得出的方程，进而得出结果； （3）分三种情况讨论：当时，设，则，根据得出，根据得出，进而得出结果；当时，根据得出，从而设，则，从而得出，进而得出结果；当时，可得出，从而，此时点在的延长线上，不符合题意，进一步得出结果． 【详解】（1）（1）① 略； ②解：如图1，连接， 由①知，， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ，， ； （2）解：如图2，延长，交的延长线于点， ∵四边形是菱形， ， ， ∵点是的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， （舍去）， ； （3）解：分以下三种情况讨论： 情况一：如图，当时， ∵四边形是矩形，，， ，，， 设，则，， ∵， ， ①， ， ， ， ②， 由①②解得，，， ∴或； 情况二：如图，当时，作于， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； 情况三：当时，， ∵，， ∴， ， ， ， ， 此时点在的延长线上，不符合题意， 综上所述：或或． 24．(黑龙江省齐齐哈尔市·模拟)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接、，，则的值为______； 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为______，请说明你的理由； 【实践应用】 (3)如图3，矩形中，，，点为矩形边上的一点，且，若将矩形折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为点，点，则折痕的长为______； (4)如图4，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，．则的长为______． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 (3)或 (4) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）分图3-1和图3-2两种情况讨论求解即可； （4）过点作交的延长线于点，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示：   四边形是正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ，即， 故答案为：1； （2）解：的值为，理由如下： 如图2，设与交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ；    （3）解：如图3-1所示，当点P在上时，过点E作于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴；    如图3-2所示，当点P在上时， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴D、E都在线段的垂直平分线上，而D、E都在上且与不垂直， ∴两点重合， ∴， ∴，即， ∴四边形是正方形， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或；    （4）证明：过点作交的延长线于点，如图所示：   ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，即， ∴， 故答案为： 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 25．(九下·安徽芜湖·一模)如图，在等边的边上各取一点E，D，使相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)在（2）的条件下，动点P在从点C向终点E匀速运动，点Q在上，连结，满足，记为x，的长为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3). 【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ； （2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可； （3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明 △OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 又∵AE=CD， ∴△BAE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE； （2）解：由（1）得△BAE≌△ACD， ∴∠ABO=∠CAD，AD=BE ∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°， 又∵∠CAD=∠OAE， ∴△CAD∽△OAE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵CD=AE， ∴， ∴CD=2； （3）解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，有（2）得， ∵∠FAG=60°，∠AFE=30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵OG∥AB， ∴△OGE∽△BAE，∠OGF=∠BAC=60° ∴， ∴，， ∴， ∵∠AOE=60°， ∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE， ∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°， ∴∠OPE=∠CQP， ∴△PQC∽△OPG， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵动点P在CE从点C向终点E匀速运动，且满足， ∴. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 26．(26-27九上·浙江温州)如图，为矩形的对角线，于点，交边于点，且． (1)求的值； (2)已知，如图，为线段延长线上一点，连接． ①连接，若有一个角等于，求所有符合条件的的长． ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①或7； ② 【分析】（1）根据矩形的性质，相似三角形的判定和性质，得到，即可解答； （2）①由（1）的结论可得到对角线的长度，进而证得，整理得：，再通过勾股定理即可求得矩形的边长，有一个角等于，此时分情况讨论：（i）当时；（ii）当时；（iii）当时，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰三角形的性质分别求出相关线段的长度，最终可得到的长度； ②过点C作交于点K，通过勾股定理求出的长度，设，则，利用勾股定理表示出的长度表达式，将的式子进行化简，利用二次函数的最值即可求得最终结果． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴； ∴，， 在中，， ∴， ∵有一个角等于， 此时分情况讨论： （i）当时， 如图，过点E作交于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （ii）当时， ∵点P是延长线上一点， ∴， 如图，过点C作交延长线于点H， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （iii）当时， 由图可知，，且和均为定角，此时无符合条件的， 综上所述，的长为或7； ②如图，过点C作交于点K， 由①可知，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 分子分母同时除以m，得：， 令， ∴， ∵， 当时，最小值为， ∴， 即的最大值为． 27．(25-26九上·陕西西安长安区·期中)问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点A作，过点D作，则，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）过点A作，过点D作，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由（2）知， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．(25-26九上·河南开封杞县·期中)问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】 （1）证明：，， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2）证明：，， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3） 【分析】（1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 29．(23-24·安徽阜阳太和县·一模)【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）＝； （3） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $