专题02 相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)（几何模型讲义）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理相似三角形母子型（共边共角）模型知识体系，涵盖普通三角形共边共角、直角三角形射影定理等核心内容，以“公共角+等角→AA相似→乘积式”推导逻辑为主线，呈现模型识别、结论证明与重难点分布。 讲义亮点在于“模型识别-推导-应用”递进练习设计，如典例5结合直角三角形射影定理进行边长计算，典例8融入正方形综合题培养几何直观与推理意识。易错总结针对性解决对应边找错等问题，分层题目满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题02 相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型) 母子型模型又称共边共角模型，是相似三角形中最经典的单三角形内嵌相似模型，因大三角形包含小三角形、形似母子而得名。其中直角三角形斜边上的高分出的母子相似，更是衍生出著名的射影定理，是几何计算、证明的高频工具。该模型依托“公共角+一组等角”构造AA相似，实现边的乘积式转化，是相似三角形的核心重点模型。本专题就母子型（共边共角）模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化单纯的定理背诵，强化模型识别与乘积式转化，多以“普通三角形共边共角、直角三角形射影定理”形式出题，常与几何计算、证明、圆的综合题结合考查。 推导逻辑：公共角+一组等角→AA相似→对应边成比例→交叉相乘得乘积式，拒绝死记硬背结论。 核心素养目标： 1.掌握母子型模型的相似判定与核心结论，能快速识别模型； 2.理解射影定理的推导过程，能运用定理进行直角三角形的边长计算； 3.培养比例转化、乘积式变形的几何运算能力。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 模型拓展 7 【易错总结】 7 【模型运用】 8 模型根植于相似三角形AA判定定理：两个三角形共享一个公共角，再有一组角相等，即可判定相似。因两个三角形有一条公共边、一个公共角，故又称共边共角模型；又因大三角形包含小三角形，形似母子，俗称“母子型”。 直角三角形斜边上的高将原三角形分为两个小直角三角形，且均与原三角形相似，是母子型的特殊情况，由此推导的三组乘积式称为射影定理（欧几里得定理），是几何中最经典的边关系结论之一。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 2. 直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余； 3. 相似三角形的性质：对应边成比例，交叉相乘得乘积式； 4. 勾股定理：直角三角形三边的平方关系； 5. 比例的基本性质：比例式与乘积式的互化。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC， ∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 模型识别标志：两个三角形共享一个公共角，且有一条公共边，其中一个三角形的一边落在另一个三角形的边上。 核心结论： ①相似结论：△ABD∽△ACB； ②乘积结论：AB2=AD·AC（公共边的平方=共线两边的乘积）。 适用场景：三角形内角度相等的边长计算、乘积式证明。 变式点拨：这是相似中最经典的“平方型”结论，看到边的平方优先考虑共边共角母子型。 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC， ∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 核心结论（射影定理）： ①三相似：斜边上的高分原三角形为两个小直角三角形，且均与原三角形相似； ②三乘积：直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的乘积；斜边上的高的平方等于两条射影的乘积。 适用场景：直角三角形边长计算、面积计算、圆的弦高问题。 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE， ∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，， 结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB， ∴，∴ 【模型运用】 【典例1】如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【典例2】(2026安徽省怀远县中考预测)将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例3】(25-26八下·江苏苏州姑苏区·期末)如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例4】如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________． 【典例5】(2024贵州省中考模拟)如图，在中，，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【典例6】(25-26九上·江西抚州临川区联考·)如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 (1)请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【典例7】(25-26八·山东泰安东平县·期末)解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【典例8】如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【典例9】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 模型拓展 1.母子型可拓展到圆中，切割线定理本质也是共边共角相似； 2.射影定理可结合勾股定理，实现直角三角形六线段（三边、高、两段射影）知二求四； 3.是后续圆、三角函数、二次函数综合题的重要计算工具。 模型常见易错点 1. 易错点：共边共角模型的对应边找错，乘积式列错 错因分析：未理清公共边与共线边的对应关系。 避坑指南：公共边是两个三角形的共用边，一定是平方项，对应共线的两条边。 2. 易错点：射影定理的三个结论记混，高的平方记成直角边乘积 错因分析：死记硬背，不理解相似对应关系。 避坑指南：每次用之前先找相似三角形，按对应边写比例，再交叉相乘。 3. 易错点：非直角三角形误用射影定理 错因分析：只要看到高就套用射影结论。 避坑指南：射影定理仅适用于直角三角形斜边上的高，普通三角形用一般母子型。 模型小结 1. 核心口诀：共边共角母子型，公共边方等乘积；直角高射影定理，三对相似三乘积； 2. 解题步骤：找公共角 → 找等角 → 定相似 → 列比例 → 化乘积； 3. 看到边的平方、线段乘积，优先联想母子型相似； 4. 直角三角形遇高，优先考虑射影定理快速求边长。 1．(25-26八下·山东泰安宁阳县·期末)如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 2．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 3．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 4．(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 5．如图，，是的两条高．求证：． 6．(25-26九上·辽宁阜新细河区·期中)如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： (1)请判断三个说法中正确的是：______（填序号） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（2）的条件下，，若，求的长 7．(24-25九下·广西南宁百灵路初级中学·开学考)如图，在中，于，求证：． 8．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 9．(24-25九上·安徽合肥蜀山区合肥望龙中学·月考)如图，已知中，分别为边上的高，过作的垂线交于，交于，交延长线于，求证：． 10．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 12．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 13．(25-26八下·山东泰安肥城·期末)如图，平分，，若，，求的长． 14．(25-26八下·山东泰安新泰·期末)如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．(24-25九下·江苏常州钟楼外国语学校·开学考)如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．(24-25九下·浙江杭州浙江师范大学附属天目初中·)如图所示，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求证：． 17．(24-25九上·吉林长春南关区东北师大附中明珠校区·开学考)如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 18．(25-26八下·山东威海乳山（五四制）·期末)如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： (1)； (2)． 19．(25-26八下·吉林长春外国语学校·期末)如图，在中，，，，点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作（保留作图痕迹），与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 20．(25-26九上·福建漳州长泰区·期中)【知识探究】 如图，在中，，若，垂足为点D，则有，请完成证明； 【结论应用】 如图，在菱形中，过点C作交的延长线于点E，过点E作交边于点F，当时，求的值； 【拓展提升】 如图，在菱形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过点E作交于点G，，求的值． 21．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型) 母子型模型又称共边共角模型，是相似三角形中最经典的单三角形内嵌相似模型，因大三角形包含小三角形、形似母子而得名。其中直角三角形斜边上的高分出的母子相似，更是衍生出著名的射影定理，是几何计算、证明的高频工具。该模型依托“公共角+一组等角”构造AA相似，实现边的乘积式转化，是相似三角形的核心重点模型。本专题就母子型（共边共角）模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化单纯的定理背诵，强化模型识别与乘积式转化，多以“普通三角形共边共角、直角三角形射影定理”形式出题，常与几何计算、证明、圆的综合题结合考查。 推导逻辑：公共角+一组等角→AA相似→对应边成比例→交叉相乘得乘积式，拒绝死记硬背结论。 核心素养目标： 1.掌握母子型模型的相似判定与核心结论，能快速识别模型； 2.理解射影定理的推导过程，能运用定理进行直角三角形的边长计算； 3.培养比例转化、乘积式变形的几何运算能力。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 模型拓展 14 【易错总结】 14 【模型运用】 15 模型根植于相似三角形AA判定定理：两个三角形共享一个公共角，再有一组角相等，即可判定相似。因两个三角形有一条公共边、一个公共角，故又称共边共角模型；又因大三角形包含小三角形，形似母子，俗称“母子型”。 直角三角形斜边上的高将原三角形分为两个小直角三角形，且均与原三角形相似，是母子型的特殊情况，由此推导的三组乘积式称为射影定理（欧几里得定理），是几何中最经典的边关系结论之一。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 2. 直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余； 3. 相似三角形的性质：对应边成比例，交叉相乘得乘积式； 4. 勾股定理：直角三角形三边的平方关系； 5. 比例的基本性质：比例式与乘积式的互化。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC， ∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 模型识别标志：两个三角形共享一个公共角，且有一条公共边，其中一个三角形的一边落在另一个三角形的边上。 核心结论： ①相似结论：△ABD∽△ACB； ②乘积结论：AB2=AD·AC（公共边的平方=共线两边的乘积）。 适用场景：三角形内角度相等的边长计算、乘积式证明。 变式点拨：这是相似中最经典的“平方型”结论，看到边的平方优先考虑共边共角母子型。 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC， ∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 核心结论（射影定理）： ①三相似：斜边上的高分原三角形为两个小直角三角形，且均与原三角形相似； ②三乘积：直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的乘积；斜边上的高的平方等于两条射影的乘积。 适用场景：直角三角形边长计算、面积计算、圆的弦高问题。 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE， ∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，， 结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB， ∴，∴ 【模型运用】 【典例1】如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 【典例2】(2026安徽省怀远县中考预测)将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．故A正确． 由题意可知，，， ∴不一定等于． ∴不一定等于．故B错误． ∵无法判断和是否相等， ∴无法判断与是否相似，故C错误． ，，但的大小无法判断， ∴与不一定相等，故D错误． 【典例3】(25-26八下·江苏苏州姑苏区·期末)如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 【典例4】如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________． 【答案】 （答案不唯一，也可以增加条件：或）． 【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似． 【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC， ∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键． 【典例5】(2024贵州省中考模拟)如图，在中，，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明： ，， ，， ， ， ， ， 即． (2) 【详解】（1）略 （2）解： ，， ，，， ，， ， ， 即， ，， ． 【典例6】(25-26九上·江西抚州临川区联考·)如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 (1)请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)对，对，错 (2)证明：选择小星的证明： ∵，， ∴， 选择小红的证明： ∵，， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错； （2）略 【典例7】(25-26八·山东泰安东平县·期末)解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． (2)9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 【典例8】如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明：由旋转可知： ， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)4 【分析】（1）由旋转性质推出，结合角平分线定义得到，再根据相似三角形判定定理即可证明； （2）利用三角形内角和定理推出，进而证明，结合全等三角形性质即可证明； （3）利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合旋转性质求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵由（1）可知：， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴． 【典例9】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）略 （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 模型拓展 1.母子型可拓展到圆中，切割线定理本质也是共边共角相似； 2.射影定理可结合勾股定理，实现直角三角形六线段（三边、高、两段射影）知二求四； 3.是后续圆、三角函数、二次函数综合题的重要计算工具。 模型常见易错点 1. 易错点：共边共角模型的对应边找错，乘积式列错 错因分析：未理清公共边与共线边的对应关系。 避坑指南：公共边是两个三角形的共用边，一定是平方项，对应共线的两条边。 2. 易错点：射影定理的三个结论记混，高的平方记成直角边乘积 错因分析：死记硬背，不理解相似对应关系。 避坑指南：每次用之前先找相似三角形，按对应边写比例，再交叉相乘。 3. 易错点：非直角三角形误用射影定理 错因分析：只要看到高就套用射影结论。 避坑指南：射影定理仅适用于直角三角形斜边上的高，普通三角形用一般母子型。 模型小结 1. 核心口诀：共边共角母子型，公共边方等乘积；直角高射影定理，三对相似三乘积； 2. 解题步骤：找公共角 → 找等角 → 定相似 → 列比例 → 化乘积； 3. 看到边的平方、线段乘积，优先联想母子型相似； 4. 直角三角形遇高，优先考虑射影定理快速求边长。 1．(25-26八下·山东泰安宁阳县·期末)如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 2．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 3．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 4．(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 5．如图，，是的两条高．求证：． 【答案】 证明：∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先由，是的两条高可知，， ，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】略 6．(25-26九上·辽宁阜新细河区·期中)如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： (1)请判断三个说法中正确的是：______（填序号） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（2）的条件下，，若，求的长 【答案】(1)①② (2)证明：选择①：∵，， ∴， 选择②∵，， ∴； (3)2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①②正确；③错误； 故答案为：①② （2）略； （3）解：， ， ， 解得：（负值舍去）． 7．(24-25九下·广西南宁百灵路初级中学·开学考)如图，在中，于，求证：． 【答案】 证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】略 8．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 9．(24-25九上·安徽合肥蜀山区合肥望龙中学·月考)如图，已知中，分别为边上的高，过作的垂线交于，交于，交延长线于，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及垂直定义、互余、三角形相似的判定及性质，根据题中垂直关系，利用互余定义得到及，利用相似三角形性质得到相似比，等量代换即可得证，熟练运用三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】略 10．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：如图所示， 是斜边上的高， ， ， ． ， ， ， ； (2) 证明：，， ， ． ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到对应边成比例，将式子变形即可得证； （2）先证明，得到对应边成比例，将式子变形得到，进而化简即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）∵， ， ∴； （2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 12．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 13．(25-26八下·山东泰安肥城·期末)如图，平分，，若，，求的长． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值求解即可． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ∵，， ∴，解得． 14．(25-26八下·山东泰安新泰·期末)如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 15．(24-25九下·江苏常州钟楼外国语学校·开学考)如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 16．(24-25九下·浙江杭州浙江师范大学附属天目初中·)如图所示，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：，， ， 又， ， ， ； (2)证明：过点作交于点， 为的中点， ， ， ， ， ． 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作交于点，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质得，即可得证 17．(24-25九上·吉林长春南关区东北师大附中明珠校区·开学考)如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 18．(25-26八下·山东威海乳山（五四制）·期末)如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)∵ ， ∴． ， ． ． (2)点是的中点， ． ． ， ． ． ，， ． ， ． ． ， ． ． ∴． 【分析】（1）由，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，进而证明，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）略 （2）略 19．(25-26八下·吉林长春外国语学校·期末)如图，在中，，，，点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作（保留作图痕迹），与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵ ，， ∴ ， 在 中，， 在 中，， 根据同角的余角相等，得 ． (2)解：①如图所示， ② (3) 或 【分析】 （1）因为，，所以，，利用同角的余角相等证明两角相等；（2）①首先确定中点E的位置，连接，过点A作交于D，连接即可得到所求图形； （2）②利用直角三角形斜边中线性质得到，利用勾股定理和三角形的面积公式可推出，最后再利用勾股定理即可得解； （3）先通过比例关系设和的长度，进而表示出的长度，，利用相似三角形列方程求解的长度即可． 【详解】（1）略 （2）① 略． ②解： ∵，， ∴在中，， ∵是 的中点， ∴，， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴在中，， 代入得：， 化简得， 设，则， ∴在中，， 解得， ∴ ． （3）解： 在 中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ①若 ， 设 ，则，， 代入①得 ， 解得 ， ∴， 解得 （负值已舍）； ②若 ， 设 ，则，， 代入①得 ， 解得 ， ∴代入②得 ， 解得 ； 综上所述， 或． 20．(25-26九上·福建漳州长泰区·期中)【知识探究】 如图，在中，，若，垂足为点D，则有，请完成证明； 【结论应用】 如图，在菱形中，过点C作交的延长线于点E，过点E作交边于点F，当时，求的值； 【拓展提升】 如图，在菱形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过点E作交于点G，，求的值． 【答案】知识探究： 证明：在中，，， ， ， ， ， ； 结论应用：； 拓展提升：或 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质、菱形性质及直角三角形的性质， 知识探究：证明即可证明结论； 结论应用：先证明，设，则，根据相似三角形性质求出即可求出结论； 拓展提升：连接，延长交于点M，作于点H，先求出，证明得出，进而求出，再证明，求出或，即可求出结论． 【详解】知识探究：略 结论应用：， ， 在菱形中，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ； 拓展提升：连接，延长交于点M，作于点H， 在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：或， ， 或． 21．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $