专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版九年级上册

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 半角模型是旋转相似的经典应用，核心是大角内部包含一个度数为其一半的角，通过旋转构造相似三角形，实现线段关系的转化。相似半角模型由全等半角拓展而来，常见于正方形、等腰直角三角形中，除了线段和差关系，还衍生出比例、乘积等相似结论，是压轴题的高频考点。本专题就相似半角模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化全等半角的线段和差，强化相似半角的比例、乘积结论，多以“正方形半角相似、等腰直角半角相似”形式出题，常与勾股定理、比例计算结合考查。 推导逻辑大角套半角，共顶点等线段→旋转构全等；边成比例时→旋转构相似，化分散线段为集中线段，拒绝硬凑全等。 核心素养目标： 1.掌握相似半角模型的构造方法与核心结论； 2.能运用旋转相似解决半角类线段比例、乘积问题； 3.培养旋转转化、综合推理的几何思维。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.半角模型（相似模型） 2 模型拓展 28 【易错总结】 29 【模型运用】 29 模型源于旋转变换：一个大角内部包含一个度数为其一半的角，且大角两边相等（或成比例），通过将半角一侧的三角形绕公共顶点旋转，使大角两边重合，可构造出全等（或相似）三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中。 全等半角是边长相等的特殊情况，相似半角是其一般化形式，经典类型有正方形90°含45°半角、等腰直角90°含45°半角、等边三角形60°含30°半角等。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 旋转的性质：旋转前后图形相似，对应边成比例、对应角相等； 2. 相似三角形SAS判定：两边成比例且夹角相等，两三角形相似； 3. 正方形、等腰直角三角形性质：边、角的特殊关系； 4. 勾股定理：直角三角形三边关系； 模型1.半角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 半角模型特征： ①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法： 由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于E、F两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形， ∴∠ADM=45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA， ∴△MDA∽△MAN， 同理：△MAN∽△ABN， ∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形， ∴∠NDF=45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM， ∴△AMN∽△DFN， 同理：△BME∽△AMN， ∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，， ∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAC+∠MAC=45°， ∴∠BAM=∠FAC， ∴△AMB∽△AFC， ∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN； ∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD， ∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE， 由图3证明知：，∴ 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵， ∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°， ∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA； ∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA， ∴，即：， 即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴， ∵AD=AE=DE， ∴ 【模型运用】 【典例1】（九上·建始红岩寺初中·期末）将两个全等的斜边长为2的等腰直角三角板如图放置，其中一块三角板角的顶点与另一块三角板的直角顶点A重合，若将三角板固定，当另一个三角板绕点A旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边交于点E、F．设，，则y关于x的函数图像大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，推出，得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 又是等腰直角三角形，且， ，又，， ，即，． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证是解题的关键． 【典例2】（山东泰安新泰·一模）如图，为正方形对角线上一动点，，，在上结论：①；②；③；④若，，则．其中正确结论的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①利用等腰直角三角形判定即可；②利用“8”字形模型即可判断；③证明即可；④先利用求出AG、GE的长度，再利用即可求出 【详解】∵， ∴ ∴，故①正确， ∵正方形 ∴ ∵， ， ∴，故②正确， ∵ ∴ ∴ ∴，故③正确， ∵，， ∴，， ∵AB∥CD ∴ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴，解得，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④ 故选：D 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【典例3】（25-26九上·四川宜宾翠屏·质量监测）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、交于点、，连接，以下结论：①；②；③，④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，把绕点逆时针旋转，得到．进而证明，得出，即可证明①正确；证明，得出，即可判断②，进而可得是等腰直角三角形，得出，即可判断③，证明，结合，进而判断，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴ 把绕点逆时针旋转，得到． ， 、、在同一直线上， ，， ． ，， ， ， ．故①正确． ∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故②正确， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴，故③错误， ∵， ∴ ∵把绕点逆时针旋转，得到． ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴，故④正确 故选：C． 【典例4】（2025·上海黄浦·模拟）已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE＝45°． (1)如图1，当AC＝1，，且点D与A重合时，求线段BE的长. (2)如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2＝DE2. (3)如图3，当AC＝3，BC＝4时，设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【分析】(1)如图1，根据勾股定理得到AB＝2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，得到∠F＝∠ACE，根据相似三角形的性质即可得到结论； (2)作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答； (3)如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，由∠HFG＝∠B，∠HGF＝∠CGD＝∠A，∠A+∠B＝90°，得到∠DHF＝90°，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：(1)如图1，∵∠ACB＝90°，，AC＝1， ∴AB＝2， 过B作BF∥AC交CE的延长线于F， ∴∠F＝∠ACE， ∵∠BCA＝90°，∠DCE＝45°， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴∠BCE＝∠F， ∴， ∵△BEF∽△AEC， ∴， ∴； (2)证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF， ∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠FAC＝45°， ∴△CAF≌△CBE(SAS)， ∴CF＝CE， ∠ACF＝∠BCE， ∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°， ∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°， ∵∠ACF＝∠BCE， ∴∠ACD+∠ACF＝45°， 即∠DCF＝45°， ∴∠DCF＝∠DCE， 又∵CD＝CD， ∴△CDF≌△CDE(SAS)， ∴DF＝DE， ∵AD2+AF2＝DF2， ∴AD2+BE2＝DE2； (3)如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD， ∵∠DCE＝45°，∠ACB=90°，则C,F,G在同一直线上， ∵∠HFG＝∠B，∠HGF＝∠CGD＝∠A，∠A+∠B＝90°， ∴∠DHF＝90°， ∵FG＝4-3=1，∠B＝∠F，当AC＝3，BC＝4时 ∵△ABC∽△GFH ∴ ∴， ∵EH2+HD2＝ED2， ∴， ∴． ∵x≥0，60-28x≥0，21-5x＞0 ∴ 故. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解． 【典例5】（25-26九年级·武汉美加外语学校·月考）如图1，在中，，，点D、E在边上，，过点B作的垂线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长； (3)如图2，过点F作射线的垂线，垂足为点G，设，，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）证明两个角相等证明，列比例式可得结论； （2）如图，过D作于N，根据是等腰直角三角形，由相似三角形的性质得，计算和的长，利用勾股定理计算和的长，证明，列比例式得，即可求解； （3）如图，作辅助线构建全等三角形，证明，得，证明，得，证明，列比例式得，即，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据D，E是上一点，，可知当点E与重合时，最大为，可得x的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于N， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点C作，交的延长线于点， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴ ， 中，， ∴， ∵D，E是上一点，， ∴当点与重合时，最大为， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【典例6】（25-26九年级·辽宁十四地市联考·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰中， ，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 顺时针旋转得到线段，连接．求证： ． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小亮同学从条件的角度出发，过E作交的延长线于点 G，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在等腰中，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 逆时针旋转得到线段，连接交边于点 F，求证： ． 【类比分析】 （3）如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上， ，连接，求线段的长． 【答案】 （1）①小明同学方法：在上截取 ，连接，如下图： 在等腰中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ； ②小亮同学方法：过E作交的延长线于点 G， 在等腰中，， ， ， ， ， 在中，， ； （2）证明：在上截取，连接， ， ， ， ， 在中，，， ； 在中，， ； （3） 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质及勾股定理的应用， （1）①证明即可证明结论，②证明即可证明结论； （2）在上截取，连接，先证明，即可证明，根据勾股定理得出结论； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，证明，设，则，根据相似三角形性质列方程并解方程即可解决． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）在上截取，连接，在上截取，连接， 在矩形中，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 在中，， ． 【典例7】（2026·乌鲁木齐八一中学·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：正方形， ， 由旋转的性质可知，，，，， ， 点、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ； (2)12 (3) ，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ； (4)4 【分析】（1）根据正方形和旋转的性质，先证明点、、三点共线，再利用“”可证明，从而得出，即可得解； （2）利用勾股定理可得，结合（1）所得结论，可得，即可求出正方形的边长； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，根据正方形和旋转的性质可证明，再证明四边形是平行四边形，从而推出，最后结合勾股定理求解即可； （4）延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，四边形是正方形，得到，证明，求出，，同（1）理可证，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， ， ， ，即正方形的边长是12； （3）略 （4）解：如图，延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接， 在矩形中，，， ，，， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 同（1）理可证， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即的长为4． 【典例8】（25-26九下·第二次月考）如图，正方形中，E、F分别是边、上的点，、分别交于点G、H，连接，恰好有． (1)求证：； (2)求证：； (3)图中能够证明的相似三角形（不连接其它线段，包括全等三角形）共有 对； (4)直接写出的值； 【答案】(1) 证明：将绕点A顺时针旋转得到．如图所示： 由旋转可得，． ∴． ∴点M、B、E在同一条直线上． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴； (2) 证明：由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； (3)16 (4) 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质确定点M、B、E在同一条直线上，再由全等三角形的判定和性质得出，利用等量代换求解即可； （2）由（1）知，利用三角形内角和定理及等量代换得出，再由相似三角形的判定证明即可； （3）同（2）中证明方法一致找出相似三角形即可； （4）连接交于点O，根据正方形的性质及（1）（2）中结果求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：同（2）中证明方法一致可得： ，两两相似共15对， 另外，合计16对． 故答案为：16； （4）解：连接交于点O，如图所示： ∴，为边上的高， 由（1）得且，为边上的高且与的边上的高相等， ∵正方形， ∴， 由（2）得，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【典例9】（25-26九年级·长春·二模）在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD． （1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE； （3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【详解】试题分析：（1）由题意分别求出A,C点在BD垂直平分线上，所以AC就是BD的垂直平分线.(2) ，将△ABE绕点A逆时针旋转120得到△ADM．连接AC交BD于O．先证明F、D、M共线，再通过倒角得到∠GAH=∠FAE，所以△AGH∽△AFE． （3）连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M, 设HM=AM=a，则DH=2a，DM=a， 用a表示GH，BD,求出比值. 试题解析： （1）证明：如图1中，连接BD、AC． ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 即AC垂直平分线段BD． （2）如图2中，将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADM．连接AC交BD于O． ∵B、D关于AC对称， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠BCD=60°， ∴∠BAD=120°， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°， ∴∠FAE=∠FAM， ∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF， ∴F、D、M共线， ∵FA=FA，AE=AM， ∴△FAE≌△FAM， ∴∠AFE=∠AFM， ∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF， ∴∠GAO=∠DAF， ∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°， ∴∠AGO=∠ADF， ∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE， ∴△AGH∽△AFE． （3）解：如图3中，连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M． ∵EF⊥CD， ∴∠EFD=90°， 由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°， ∵∠ADF=90°， ∴AD=DF，设HM=AM=a，则DH=2a，DM=a， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+）a， ∴CD=BD=AD=（3+）a， 在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+）a， ∴AO=OG=AD=a，OD=OA=a， ∴OH=OD﹣DH=a，﹣2a=a, ∴GH=OG+OH=a， ∴. 模型拓展 · 半角模型可拓展到任意大角 α 含 α/2 半角，核心都是旋转构造，角度比例为 2:1； · 从全等到相似，本质是边长从 “相等” 到 “成比例”，推导逻辑完全一致； · 可结合动点、折叠、坐标系考查动态相似问题，是几何综合题的经典载体。 模型常见易错点 1. 易错点：旋转后二次全等 / 相似的条件找不全，漏角相等 · 错因分析：只关注旋转带来的边等 / 边成比例，忽略半角相等的条件。 · 避坑指南：旋转后先找旋转角相等，再结合半角推导出新的等角，搭配边的条件证二次全等 / 相似。 2. 易错点：线段和差记混，延长线与内部结论乱用 · 错因分析：死记 “和” 的结论，忽略点的位置变化。 · 避坑指南：点在边上为和，点在延长线上为差，结合图形推导，不硬背结论。 3. 易错点：相似链找不全，漏看多组相似 · 错因分析：只关注核心全等，忽略衍生的多组相似三角形。 · 避坑指南：从角度出发，找两组等角即可判定相似，逐一梳理所有等角组合。 模型小结 1. 核心口诀：大角套半角，旋转构造好；全等转线段，相似转比例； 2. 解题步骤：识别半角 → 旋转三角形 → 证二次全等 / 相似 → 得线段和差 / 比例乘积； 3. 核心思想：旋转转化，化分散为集中，将多条线段整合到一个三角形中； 4. 45° 半角优先想正方形、等腰直角，30° 半角优先想等边三角形。 1．（25-26上·湖南师大附中博才实验中学·第四次月考）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据为正方形，得出再证明即可证明；②把绕点逆时针旋转，得．证明，证明，即证；③根据相似三角形面积比等于相似比即可求解；④由②得，设，因为，所以得出，所以 ，当且仅当时等号成立，此时，因此，当时，取最小值． 【详解】为正方形， ， 又 故①正确； 把绕点A逆时针旋转，得到． ， ∵， ∴． 又， ∴． ∴， 即故②正确； 由②得． 过作，作． 则与的相似比就是． 易证， 则可知， 故③正确； 当时， 设，因为， 所以，所以． 整理，得， 所以 ， 即． 又因为，所以，当且仅当时等号成立，此时． 因此，当时，取最小值，为．故④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点综合性极强，难度较大． 2．（2025·福建·模拟）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，，可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求，由锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作，交于，交于， 将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处， ，，，， 在和中， ， ，， ，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2025·山东济宁泗水·模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论： ①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有(　　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME；②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断. 【详解】如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°， ∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴， ∴， ∵∠AMB=∠EMN， ∴△AMB∽△NME，故①正确， ∴∠AEN=∠ABD=45°， ∴∠NAE=∠AEN=45°， ∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确， 在△ABE和△ADF中， ∵， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=CD， ∴CE=CF， 假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x， 如图2，连接AC，交EF于O， ∵AE=AF，CE=CF， ∴AC是EF的垂直平分线， ∴AC⊥EF，OE=OF， Rt△CEF中，OC=EF=x， △EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°， ∴OE=BE， ∵AE=AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）， ∴AO=AB=1， ∴AC==AO+OC， ∴1+x=， x=2-， ∴， 故③正确， ③如图3， ∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH， ∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE， ∵∠ABE=∠ABH=90°， ∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题． 4．（25-26九上·沈阳第一三四中学·月考）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆成如图所示的样子，为公共顶点，． (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； (2)若它们的斜边长为，固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），求的值．（选择下边一种情况解答） 【答案】(1) 相似三角形有：．证明如下： 对于： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 对于： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）根据等腰直角三角形的性质得，再结合三角形外角的性质可得，即可得到，同理可得． （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形斜边长为， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26·成都树德实验中学·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点． （1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°． ①求证：BD＝CM； ②若∠CMD＝90°，求的值； （2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】（1）①只需要证明△ABD≌△ACM即可得到结论； ②由①得△ABD≌△ACM，∠B＝∠ACD＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可以得到CD=2BD，从而得出结论； （2）解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，证明△ADF∽△AEG，可以求出DF，利用勾股定理可以求出EF的长，从而可以求解； 解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，由（1）同理得△ABD≌△ACM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，证明△ADE≌△AME，最后利用勾股定理求解即可. 【详解】解：（1）①证明：如图1， ∵∠BAC＝∠DAM＝120°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAM， ∵AB＝AC，AD＝AM， ∴△ABD≌△ACM（SAS）， ∴BD＝CM； ②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD＝30°， 由①知：△ABD≌△ACM， ∴∠ACM＝∠B＝30°， ∴∠DCM＝60°， ∵∠CMD＝90°， ∴∠CDM＝30°， ∴CM＝CD， ∵BD＝CM，∴； （2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F， Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1， ∴EG＝CE＝，CG＝， ∵AC＝AB＝， ∴AG＝AC﹣CG＝， ∵AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°， ∴AF＝AC＝， ∵∠DAE＝∠FAC＝60°， ∴∠DAF＝∠EAG， ∵∠AFD＝∠AGE＝90°， ∴△ADF∽△AEG， ∴，即， ∴DF＝， 由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2， ∴， 解得：EF＝2或﹣2（舍）， ∴DE＝DF+EF＝+2＝； 解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q， 由（1）同理得△ABD≌△ACM， ∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM， ∴∠MCQ＝60°， Rt△QMC中，CQ＝CM， 设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x， ∴EQ＝x﹣1， ∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°， ∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°， ∴∠DAE＝∠EAM， ∵AD＝AM，AE＝AE， ∴△ADE≌△AME（SAS）， ∴EM＝DE＝5﹣2x， 由勾股定理得：EM2＝EQ2+QE2， ∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2， 解得：x＝， ∴DE＝5﹣2x＝． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 6．（24-25九上·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明； (2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； (3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【答案】(1) 解：，，理由如下： ∵， ∴ 又 ∴； 同理可得：． (2) (3) 证明：如图，将绕点顺时针旋转至的位置，则，，，旋转角． 连接，在和中， ∵，，． ∴， ∴， 又， ∴， 即． ∴在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知，； （2）由（1）知，，，则有，由相似三角形的对应边成比例，可得，再把已知数据代入求解即可． （3）如图，将绕点A顺时针旋转至的位置，则，，，旋转角．连接，证得△EAD≌△HAD，进而得到，根据，利用勾股定理可得，继而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴ 又∵是等腰直角三角形，且， ∴，又，， ∴，即， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握两角相等的两三角形相似、相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 7．（25-26九年级·泰州二中附中·期末）（1）如图1，D、E为等边中边所在直线上两点，，求证：； （2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得为等边三角形； （3）在（1）的条件下，H为边上一点，过H作交延长线于点F，交延长线于点G，若，求的值．（用含有a的代数式表示） 【答案】 （1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）如图，等边三角形即为所求； （3） 【分析】考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质 （1）由△ABC是等边三角形得到，由此得到，而，由此再证明∠D=∠CAE即可可以证明； （2）结合（1）作，即可得等边三角形； （3）由（1）知：，得，然后证明，得，同理可得：，得，进而可以解决问题． 【详解】（1）略； （2）略； （3）由（1）知：， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． 8．（25-26九年级·福建宁德·一模）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）若AB=4，求的值； （3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．       ∵BE= BF， ∴∠BEF=∠BFE． ∴∠AEB=∠CFB． ∴△ABE ≌△CBF． ∴AE=CF． （2）16； （3）EB=EG，理由如下： 如图2 ∠EBF=∠GCF=45°， ∠EFB=∠GFC， ∴△BEF∽△CGF. ∴. 即. ∵∠EFG=∠BFC， ∴△EFG∽△BFC. ∴∠EGF=∠BCF=45°. ∴∠EBF =∠EGF. ∴EB=EG. 【分析】（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明△ABE ≌△CBF即可； （2）证明EBF△∽△ECB∽△BAF，列出比例式计算即可； （3）先证明△BEF∽△CGF，得到，根据∠EFG=∠BFC，证明△EFG∽△BFC即可． 【详解】解：（1）略； （2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE， ∴∠BEC=∠ABF． ∵∠BAF=∠BCE=， ∴△ABF∽△CEB．    ∴． ∴=16．      （3）略． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键． 9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】对于（1），根据正方形和折叠的性质求出，可得答案； 对于（2），根据正方形和折叠的性质说明 是等腰直角三角形，进而求出，然后证明，再求出，，可设，根据求出a，即可得出答案； 对于（3，）作正方形，先说明 ，可求出，再由（1）可知：，然后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，． ，即， . （2）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，，， ． 由（1）可知：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， （ASA）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， 解得：， ， ； （3）如图3中，在上取一点J，使得，过点J作于点T，交于点K，连接，得正方形， 当时，，， ， ， ， ， ， 由（1）可知：，则， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，作出辅助线是解题的关键． 10．（26-27九上·重庆鲁能巴蜀中学·阶段检测）在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若，，，连接，求线段的长； (2)如图2，若，连接，点是线段的中点，连接．求证：． (3)如图3，若，，点在边上运动，连接，点是线段的中点，连接．当取得最小值时，记此时的点为点；当取得最小值时，记此时的点为点．直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 延长交于点G， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 延长到点M使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点E作于点N， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴ ， 过点G作于点H， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得 ， ∴． (3) 【分析】（1）过点A作于点Q，利用等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解答即可； （2）证明：连接，证明是等边三角形，是等边三角形，再证明，延长交于点G，证明，延长到点M使得，连接，证明是等边三角形，过点E作于点N，根据勾股定理，得，过点G作于点H，根据特殊角的三角函数，勾股定理，直角三角形的性质证明即可． （3）过点C作，则，过点A作于点V，过点D作于点K，作 ，交的延长线于点Q，则，,在上截取，连接， 以为边在其下方构造等边三角形，过点E作于点H，根据垂线段最短，当B，E，H三点共线，且时，取得最小值，故过点B作于点M，交于点，此时满足了取得最小值，过点C作，交的延长线于点W，过点作，交的延长线于点R，根据平行线间的距离处处相等，得，根据垂线段最短，知道当时，取得最小值，解答即可． 【详解】（1）解：过点A作于点Q， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴； （2）证明：略． （3）解：过点C作， 则， 过点A作于点V， ，， ，，， ，，， 过点D作于点K，作 ，交的延长线于点Q， 则，, 在上截取，连接， ， ∴， ∴， ∴， ∴线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴点E的轨迹是射线 根据题意，得， ， 根据勾股定理，得 , ， ， ， 以为边在其下方构造等边三角形， 则，， 过点E作于点H，根据题意，得， ， 根据垂线段最短，当B，E，H三点共线，且时，取得最小值， 故过点B作于点M，交于点，此时满足了取得最小值， 根据题意，得 ， ， 过点C作，交的延长线于点W， ，， ，，， 过点作，交的延长线于点R， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 根据垂线段最短，知道当时，取得最小值， ， ∴， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ． 11．（25-26九年级·江苏盐城东台·期末）数学实验．如图1，正方形的边长，点、分别在边、上，在探究面积的最小值时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：(单位：厘米) （1）求表格中的，的值（写出计算过程） 数学发现：（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析，设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点并连线． （3）结合表中的数据以及图画的图象，发现：的最小值约为____(结果估计到)，由此估计面积的最小值约为____(结果估计到)． 猜想并证明： （4）如果正方形的边长(为常数，)，点、分别在、上，，猜想面积的最小值是．请证明猜想． 模型应用：（5）如图是某市迎宾大道的一部分，因自来水抢修需在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上(不与、、重合)，且，为减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的?若不存在，请直接写“不存在”；若存在，请直接写出面积的最小值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），；（4）见解析；（5）存在，面积的最小值为，所以面积的最小值为． 【分析】（1）先求出CE=4，再结合，可得；再由表格可得,然后运用勾股定理可求a，进而求出b； （2）根据表格描点、、连线、画出图象即可； （3）根据（2）所画图象，确定x的值，再求出△EAF的面积即可； （4）延长到，使，连接，先证明可得，；再证明得到EF=EG，然后根据线段的和差得到；设，，则，，，根据勾股定理并化简可得，利用三角形的面积公式得到，然后由根的判别式进行计算证明即可； （5）把绕点顺时针旋转并缩小为，得到，则，，过点作于，于，然后根据相似三角形的性质得到，再再将沿直线翻折得，将沿直线翻折得，延长、，它们相交于点，并证明四边形是边长为的正方形， 再面积的最小值，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1），，， 由表格知， 由勾股定理得：， 解得：，； （2）根据题意描点、连线、画图如下： 的最小值约为：； （3）由函数图象可得，当y=8.29时，x=4， ∴BE≈4, ∴DF≈4.29，CF=5.71 ∴≈10×10-（10×4+6×5.71+10×4.29）≈41.4 估计面积的最小值约为； （4）延长到，使，连接， 正方形， ．， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 设，，则，， ， ， 根据完全平方公式化简得：， 即 即， 整理成关于的方程： ∵有解， ∴根的判别式： ，， 由于、， 所以， 故△AEF面积的最小值为； （5）面积的最小值为 如图：把绕点顺时针旋转并缩小为，得到，则，，过点作于，于， ，，， ， ∴． 再将沿直线翻折得，将沿直线翻折得， 延长、，它们相交于点，则四边形是正方形，边长为，，满足问题的条件， ∵面积的最小值为， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题属于几何综合题、主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形额判定与性质、旋转等知识点，考查知识点较多，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 12．（25-26九年级·上海·模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD． (1)求证：CE2＝BE•DE； (2)当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长； (3)过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) 证明：如图1，，， ， ， ， ， ， ， ； (2)DE＝ (3)（） 【分析】（1）证明两个角相等证明，列比例式可得结论； （2）如图2，过作于，根据是等腰直角三角形，得，由平行线分线段成比例定理得，计算和的长，利用勾股定理计算和的长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得：，设，，代入比例式可得结论； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明，得，证明，得，证明，列比例式得，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据，是上一点，，可知当点与重合时，最大为，可得的取值范围． 【详解】（1）略 （2）如图2，过作于， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，，， ， ， 由勾股定理得：， 由（1）知：， ， 设，， ， ， ； （3）如图3，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 中，， ， ，是上一点，， 当点与重合时，最大为， ， ， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 13．（上海黄浦·一模）如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q． （1）求的值： （2）当时，求的度数； （3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置． 【答案】（1）；（2）45°；（3）不会发生变化，． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt△ABC，由正弦三角函数即可求得； （2）证明 △BCG≌△DCN，得到角相等，再由角相等，得△GMC≌△NMC，由解答即可； （3）由D、C、N、P四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC，再得△CPQ∽△CNM，由此解答即可． 【详解】解：（1）连接AC ∵， ∴AC垂直平分BD ∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=∠MCN 在Rt△ABC中，AB=4，BC=3 ∴AC= ∴=sin∠ACB= （2）延长AB至G点，使BG=DN，连接CG， ∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90° ∴△BCG≌△DCN ∴∠G=∠CND，CN=CG，∠BCG=∠DCN ∴∠MCN=∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=∠BCD=∠MCN ∵CM=CM， ∠G=∠CND, ∴△GMC≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC 当DN=NC时 ∠DNC=∠DCN=45° ∴∠DNC=∠CNM=45° （3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90° ∠ADO+∠CDO=90° ∴∠ADO=∠COD= ∠BCD=∠MCN ∴∠NDP=∠NCP ∴D、C、N、P四点共圆， ∴∠NPC+∠NDC=180° ∵∠NDC=90° ∴∠NPC=90° ∴∠CPD=∠CND=∠MNC ∴△CPQ∽△CNM ∴ 在Rt△CPN中， =cos∠MCN=cos∠ACB= ∴不会发生变化 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 半角模型是旋转相似的经典应用，核心是大角内部包含一个度数为其一半的角，通过旋转构造相似三角形，实现线段关系的转化。相似半角模型由全等半角拓展而来，常见于正方形、等腰直角三角形中，除了线段和差关系，还衍生出比例、乘积等相似结论，是压轴题的高频考点。本专题就相似半角模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化全等半角的线段和差，强化相似半角的比例、乘积结论，多以“正方形半角相似、等腰直角半角相似”形式出题，常与勾股定理、比例计算结合考查。 推导逻辑大角套半角，共顶点等线段→旋转构全等；边成比例时→旋转构相似，化分散线段为集中线段，拒绝硬凑全等。 核心素养目标： 1.掌握相似半角模型的构造方法与核心结论； 2.能运用旋转相似解决半角类线段比例、乘积问题； 3.培养旋转转化、综合推理的几何思维。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.半角模型（相似模型） 2 模型拓展 10 【易错总结】 10 【模型运用】 10 模型源于旋转变换：一个大角内部包含一个度数为其一半的角，且大角两边相等（或成比例），通过将半角一侧的三角形绕公共顶点旋转，使大角两边重合，可构造出全等（或相似）三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中。 全等半角是边长相等的特殊情况，相似半角是其一般化形式，经典类型有正方形90°含45°半角、等腰直角90°含45°半角、等边三角形60°含30°半角等。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 旋转的性质：旋转前后图形相似，对应边成比例、对应角相等； 2. 相似三角形SAS判定：两边成比例且夹角相等，两三角形相似； 3. 正方形、等腰直角三角形性质：边、角的特殊关系； 4. 勾股定理：直角三角形三边关系； 模型1.半角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 半角模型特征： ①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法： 由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于E、F两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形， ∴∠ADM=45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA， ∴△MDA∽△MAN， 同理：△MAN∽△ABN， ∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形， ∴∠NDF=45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM， ∴△AMN∽△DFN， 同理：△BME∽△AMN， ∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，， ∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAC+∠MAC=45°， ∴∠BAM=∠FAC， ∴△AMB∽△AFC， ∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN； ∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD， ∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE， 由图3证明知：，∴ 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵， ∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°， ∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA； ∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA， ∴，即：， 即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴， ∵AD=AE=DE， ∴ 【模型运用】 【典例1】（九上·建始红岩寺初中·期末）将两个全等的斜边长为2的等腰直角三角板如图放置，其中一块三角板角的顶点与另一块三角板的直角顶点A重合，若将三角板固定，当另一个三角板绕点A旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边交于点E、F．设，，则y关于x的函数图像大致是（    ） A．B． C． D． 【典例2】（山东泰安新泰·一模）如图，为正方形对角线上一动点，，，在上结论：①；②；③；④若，，则．其中正确结论的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（25-26九上·四川宜宾翠屏·质量监测）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、交于点、，连接，以下结论：①；②；③，④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4】（2025·上海黄浦·模拟）已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE＝45°． (1)如图1，当AC＝1，，且点D与A重合时，求线段BE的长. (2)如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2＝DE2. (3)如图3，当AC＝3，BC＝4时，设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【典例5】（25-26九年级·武汉美加外语学校·月考）如图1，在中，，，点D、E在边上，，过点B作的垂线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长； (3)如图2，过点F作射线的垂线，垂足为点G，设，，求y关于x的函数关系式． 【典例6】（25-26九年级·辽宁十四地市联考·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰中， ，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 顺时针旋转得到线段，连接．求证： ． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小亮同学从条件的角度出发，过E作交的延长线于点 G，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在等腰中，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 逆时针旋转得到线段，连接交边于点 F，求证： ． 【类比分析】 （3）如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上， ，连接，求线段的长． 【典例7】（2026·乌鲁木齐八一中学·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 【典例8】（25-26九下·第二次月考）如图，正方形中，E、F分别是边、上的点，、分别交于点G、H，连接，恰好有． (1)求证：； (2)求证：； (3)图中能够证明的相似三角形（不连接其它线段，包括全等三角形）共有 对； (4)直接写出的值； 【典例9】（25-26九年级·长春·二模）在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD． （1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE； （3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出的值． 模型拓展 · 半角模型可拓展到任意大角 α 含 α/2 半角，核心都是旋转构造，角度比例为 2:1； · 从全等到相似，本质是边长从 “相等” 到 “成比例”，推导逻辑完全一致； · 可结合动点、折叠、坐标系考查动态相似问题，是几何综合题的经典载体。 模型常见易错点 1. 易错点：旋转后二次全等 / 相似的条件找不全，漏角相等 · 错因分析：只关注旋转带来的边等 / 边成比例，忽略半角相等的条件。 · 避坑指南：旋转后先找旋转角相等，再结合半角推导出新的等角，搭配边的条件证二次全等 / 相似。 2. 易错点：线段和差记混，延长线与内部结论乱用 · 错因分析：死记 “和” 的结论，忽略点的位置变化。 · 避坑指南：点在边上为和，点在延长线上为差，结合图形推导，不硬背结论。 3. 易错点：相似链找不全，漏看多组相似 · 错因分析：只关注核心全等，忽略衍生的多组相似三角形。 · 避坑指南：从角度出发，找两组等角即可判定相似，逐一梳理所有等角组合。 模型小结 1. 核心口诀：大角套半角，旋转构造好；全等转线段，相似转比例； 2. 解题步骤：识别半角 → 旋转三角形 → 证二次全等 / 相似 → 得线段和差 / 比例乘积； 3. 核心思想：旋转转化，化分散为集中，将多条线段整合到一个三角形中； 4. 45° 半角优先想正方形、等腰直角，30° 半角优先想等边三角形。 1．（25-26上·湖南师大附中博才实验中学·第四次月考）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．（2025·福建·模拟）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济宁泗水·模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论： ①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有(　　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26九上·沈阳第一三四中学·月考）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆成如图所示的样子，为公共顶点，． (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； (2)若它们的斜边长为，固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），求的值．（选择下边一种情况解答） 5．（25-26·成都树德实验中学·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点． （1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°． ①求证：BD＝CM； ②若∠CMD＝90°，求的值； （2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长． 6．（24-25九上·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明； (2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； (3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 7．（25-26九年级·泰州二中附中·期末）（1）如图1，D、E为等边中边所在直线上两点，，求证：； （2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得为等边三角形； （3）在（1）的条件下，H为边上一点，过H作交延长线于点F，交延长线于点G，若，求的值．（用含有a的代数式表示） 8．（25-26九年级·福建宁德·一模）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）若AB=4，求的值； （3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由． 9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 10．（26-27九上·重庆鲁能巴蜀中学·阶段检测）在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若，，，连接，求线段的长； (2)如图2，若，连接，点是线段的中点，连接．求证：． (3)如图3，若，，点在边上运动，连接，点是线段的中点，连接．当取得最小值时，记此时的点为点；当取得最小值时，记此时的点为点．直接写出的面积． 11．（25-26九年级·江苏盐城东台·期末）数学实验．如图1，正方形的边长，点、分别在边、上，在探究面积的最小值时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：(单位：厘米) （1）求表格中的，的值（写出计算过程） 数学发现：（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析，设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点并连线． （3）结合表中的数据以及图画的图象，发现：的最小值约为____(结果估计到)，由此估计面积的最小值约为____(结果估计到)． 猜想并证明： （4）如果正方形的边长(为常数，)，点、分别在、上，，猜想面积的最小值是．请证明猜想． 模型应用：（5）如图是某市迎宾大道的一部分，因自来水抢修需在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上(不与、、重合)，且，为减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的?若不存在，请直接写“不存在”；若存在，请直接写出面积的最小值． 12．（25-26九年级·上海·模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD． (1)求证：CE2＝BE•DE； (2)当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长； (3)过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 13．（上海黄浦·一模）如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q． （1）求的值： （2）当时，求的度数； （3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $