专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学讲义通过模型分类框架系统梳理相似三角形核心内容，以A字型、8字型及其组合（双A叠加、双8嵌套、A+8综合）为脉络，用思维导图呈现模型关系，表格对比单双模型的条件与结论，清晰展现“平行→等角→AA相似→比例转化”的推导逻辑，突出中考重难点分布。 讲义亮点在于“模型拆解+分层练习”设计，如双A字型与动点问题结合题，培养几何直观与推理意识。易错总结提供对应顶点顺序等避坑指南，基础题巩固模型识别，综合题提升比例转化能力，助力不同层次学生掌握，为教师精准分层教学提供有效支持。

专题01相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是九年级几何的核心支柱，也是中考几何综合题的基础工具，而A字型与8字型是相似三角形体系中最基础、应用最广泛的两大入门模型。所有复杂的相似图形，几乎都可以拆解为A字型、8字型的组合。该类模型依托平行线的性质构造等角，通过AA判定相似，考查图形识别、比例转化、数形结合的数学思想。熟练掌握单/双A字、单/双8字模型，是攻克相似综合题的第一步。本专题就两类基础相似模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化单一图形的直接相似判定，强化复杂图形中的模型提取与组合应用，多以“双A叠加、双8嵌套、A字+8字综合”形式出题，常与四边形、坐标系、动点问题结合，考查填空选择基础题与解答题入门问。 推导逻辑：由平行线得同位角、内错角相等，结合公共角/对顶角相等，用AA判定三角形相似，再由相似性质得对应边成比例，拒绝盲目找角硬凑。 核心素养目标： 1.掌握A字型、8字型的相似判定与性质，能快速识别模型； 2.掌握双A字型、双8字型的比例传递规律，能进行多组比例的转化； 3.培养图形拆解、模型识别的几何思维，为复杂相似综合题奠基。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. “A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 5 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 8 模型拓展 10 【易错总结】 10 【模型运用】 11 模型根植于平行线分线段成比例定理与相似三角形AA（两角分别相等）判定定理：用平行线截三角形的两边，形成的小三角形与原三角形构成A字型；两条平行线间的对顶三角形构成8字型。两类模型是平行线与相似结合的最基本构型，是所有复杂相似模型的拆解单元，其中双A、双8是单模型的叠加拓展，核心是通过公共边/公共比进行比例传递。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等； 平行线分线段成比例定理：平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； 相似三角形AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例、对应角相等； 比例的基本性质：比例的交叉相乘、合比、等比性质。 模型1. “A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC； 结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八·山东烟台招远·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    【典例2】（25-26八下·山东济南钢城区·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 【典例3】中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【典例4】（25-26八·山东泰安东平县·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【典例5】有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD； 结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD； 结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2； 结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（24-25九上·山西运城河津多校·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【典例4】如图，点E，点F分别在菱形的边，上，且，交于点G，延长交的延长线于H，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC； 结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】8．（25-26广东清远市）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【典例3】（四川省宜宾市中考模拟）如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例4】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 模型拓展 1.A字型与8字型可组合出现，复杂图形中优先拆解为基础模型； 2.所有平行线类相似，本质都是“平行→等角→AA相似”的逻辑链； 3.可拓展到动点问题，动点带动平行线移动，相似比动态变化。 模型常见易错点 1. 易错点：相似三角形对应顶点顺序写错，比例式列反 错因分析：未按对应角找对应边，凭直观写比例。 避坑指南：先找相等的角，对应角的对边为对应边，严格按顶点顺序写相似。 2. 易错点：双A字型中混淆相似比，错用边长直接加减 错因分析：认为两个小三角形的相似比直接相加减。 避坑指南：所有比例都统一到与原三角形的比，再进行运算。 3. 易错点：斜A字、外8字忽略相似，只认可标准位置的模型 错因分析：思维定式，图形旋转后识别不出模型。 避坑指南：只要有平行+公共角/对顶角，就有A字/8字相似，与位置无关。 模型小结 1. 核心口诀：见平行，想相似，A字8字是基础；单组找比例，双组找传递； 2. 解题步骤：找平行线 → 定A/8字模型 → 列比例式 → 计算求解； 3. 复杂图形先拆解，化复杂为基础模型，逐个突破； 4. 比例计算善用交叉相乘、设k法，简化运算。 1．（25-26八下·山东泰安泰山区·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 2．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026年河北省中考数学试题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九上·山西榆次第一中学校）如图，正方形的对角线、相交于点O，E是的中点，交于点F，若，则等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 6．（25-26九上·安徽安庆怀宁县·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026安徽省怀远县中考预测）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 9．（25-26八下·山东烟台烟台经济技术开发区·期末）如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八下·山东烟台芝罘区·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26中考数学一模分类汇编）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 12．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 13．（25-26九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 14．（25-26辽宁省中考数学）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 15．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 16．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 17．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 18．（25-26八下·吉林长春东北师范大学附属实验学校（经开）·期末）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 19．（25-26八下·山东泰安新泰·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20．（25-26八下·吉林长春力旺实验初级中学·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证： ． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作 ，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得 ． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得 ，． （1）请按照方法二写出完整证明过程． 证明： （2）【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． （3）【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 21．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． （1）求证：； （2）当点E为的中点时，求证：． 22．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 23．（25-26山东东营市·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 24．（25-26八下·江苏苏州姑苏区·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 26．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． （1）求正方形的边长； （2）求的长． 27．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 28．如图：在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． （1）求的值； （2）求的长． 29．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 30．（2026年广东深圳市中考模拟）定义：在平行四边形中，若有一边长是一条对角线长的一半，则称这个平行四边形为半随四边形，其中这条边叫做半随边，这条对角线叫做半随对角线． （1）【概念理解】如图，四边形是半随四边形；对角线与交于点，是半随边，是半随对角线． ①的形状是________三角形； ②若，则=________； （2）【问题探究】如图，四边形是矩形，对角线与交于点，，． ①当时，请利用尺规作图，在射线上作出点，使四边形为半随四边形，并请说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） ②若四边形是半随四边形，则______； （3）【应用拓展】如图，四边形与四边形均为半随四边形，其中与分别是半随边，和分别是半随对角线，，，请求出的值． 31．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 32．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点． （1）求点坐标； （2）如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； （3）在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 33．某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接． （1）如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：； （2）如图②，若，，，求的值． 34．在中，分别为边上的点，与相交于点． （1）若； ①_____； ②，则_____； （2）若，，_____． 35．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． （1）求证：； （2）如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 36．菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． （1）如图1，E为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； （2）如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是九年级几何的核心支柱，也是中考几何综合题的基础工具，而A字型与8字型是相似三角形体系中最基础、应用最广泛的两大入门模型。所有复杂的相似图形，几乎都可以拆解为A字型、8字型的组合。该类模型依托平行线的性质构造等角，通过AA判定相似，考查图形识别、比例转化、数形结合的数学思想。熟练掌握单/双A字、单/双8字模型，是攻克相似综合题的第一步。本专题就两类基础相似模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化单一图形的直接相似判定，强化复杂图形中的模型提取与组合应用，多以“双A叠加、双8嵌套、A字+8字综合”形式出题，常与四边形、坐标系、动点问题结合，考查填空选择基础题与解答题入门问。 推导逻辑：由平行线得同位角、内错角相等，结合公共角/对顶角相等，用AA判定三角形相似，再由相似性质得对应边成比例，拒绝盲目找角硬凑。 核心素养目标： 1.掌握A字型、8字型的相似判定与性质，能快速识别模型； 2.掌握双A字型、双8字型的比例传递规律，能进行多组比例的转化； 3.培养图形拆解、模型识别的几何思维，为复杂相似综合题奠基。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. “A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 模型拓展 19 【易错总结】 19 【模型运用】 20 模型根植于平行线分线段成比例定理与相似三角形AA（两角分别相等）判定定理：用平行线截三角形的两边，形成的小三角形与原三角形构成A字型；两条平行线间的对顶三角形构成8字型。两类模型是平行线与相似结合的最基本构型，是所有复杂相似模型的拆解单元，其中双A、双8是单模型的叠加拓展，核心是通过公共边/公共比进行比例传递。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等； 平行线分线段成比例定理：平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； 相似三角形AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例、对应角相等； 比例的基本性质：比例的交叉相乘、合比、等比性质。 模型1. “A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC； 结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八·山东烟台招远·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    【答案】 【分析】连接，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示，    由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴． 【典例2】（25-26八下·山东济南钢城区·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【典例3】中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【典例4】（25-26八·山东泰安东平县·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 【典例5】有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 【答案】甲同学 【分析】对于甲图：设正方形的边长为x，则，证明 ，利用相似比可计算出；对于乙图：作BH⊥ACN，交DE于N，如图乙，先利用勾股定理计算出AC=2.5，再利用面积法计算出，设正方形的边长为y，则，可求出则，接着证明利用相似比可计算出，然后比较x和y的大小进行判断． 【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm， ∵DE∥AB ∴△CDE∽△CBA ∴ 即 ∴x＝ 图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P． 由勾股定理得： AC＝ ∵ ∴ 设乙同学加工的桌面边长为ym， ∵DE∥AC ∴△BDE∽△BAC ∴ 即 ∴y＝ ∵＞，即x＞y，x2＞y2 ∴甲同学的加工方法更好． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，然后利用三角形相似的性质计算相应线段的长，也考查了正方形的性质． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD； 结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD； 结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2； 结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（24-25九上·山西运城河津多校·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质和相似三角形的判定可知，从而得到，即可求得的长． 【详解】解： ， ，， 故选：A． 【典例2】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 【典例3】如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【典例4】如图，点E，点F分别在菱形的边，上，且，交于点G，延长交的延长线于H，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形求得对应边的比值关系，再根据边的比值关系，即可求得． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC； 结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】8．（25-26广东清远市）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 【典例2】如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 ,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴ ， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 【典例3】（四川省宜宾市中考模拟）如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得：，，从而可得，，分别根据相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：C． 【典例4】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 模型拓展 1.A字型与8字型可组合出现，复杂图形中优先拆解为基础模型； 2.所有平行线类相似，本质都是“平行→等角→AA相似”的逻辑链； 3.可拓展到动点问题，动点带动平行线移动，相似比动态变化。 模型常见易错点 1. 易错点：相似三角形对应顶点顺序写错，比例式列反 错因分析：未按对应角找对应边，凭直观写比例。 避坑指南：先找相等的角，对应角的对边为对应边，严格按顶点顺序写相似。 2. 易错点：双A字型中混淆相似比，错用边长直接加减 错因分析：认为两个小三角形的相似比直接相加减。 避坑指南：所有比例都统一到与原三角形的比，再进行运算。 3. 易错点：斜A字、外8字忽略相似，只认可标准位置的模型 错因分析：思维定式，图形旋转后识别不出模型。 避坑指南：只要有平行+公共角/对顶角，就有A字/8字相似，与位置无关。 模型小结 1. 核心口诀：见平行，想相似，A字8字是基础；单组找比例，双组找传递； 2. 解题步骤：找平行线 → 定A/8字模型 → 列比例式 → 计算求解； 3. 复杂图形先拆解，化复杂为基础模型，逐个突破； 4. 比例计算善用交叉相乘、设k法，简化运算。 1．（25-26八下·山东泰安泰山区·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 2．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 3．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 4．（2026年河北省中考数学试题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 5．（25-26九上·山西榆次第一中学校）如图，正方形的对角线、相交于点O，E是的中点，交于点F，若，则等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．因为四边形是正方形，是中点，所以，由相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形，是中点，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 6．（25-26九上·安徽安庆怀宁县·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 7．（2026安徽省怀远县中考预测）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 9．（25-26八下·山东烟台烟台经济技术开发区·期末）如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①只要证明是△的中位线即可得出结论； ②根据四边形是正方形，是的平分线可求出即可求出结论； ③是的中位线等已知条件可得出，设正方形的边长为，表示出、即可得出结论； ④由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的性质即可得出结论． ⑤结合④和③即可判断． 【详解】解：①在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为正方形对角线的中点， ， 是的中位线， ，故①正确； 四边形是正方形，是的平分线， ， ， ， 是的中点， ， ， ，故②正确； ③是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ，故③不正确； ④由②知， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ， ，即是的中点 ， ， ，， ， ， ， ，故⑤正确． 10．（25-26八下·山东烟台芝罘区·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 11．（25-26中考数学一模分类汇编）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 12．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 13．（25-26九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26辽宁省中考数学）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】 证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 16．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 17．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 18．（25-26八下·吉林长春东北师范大学附属实验学校（经开）·期末）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；证明，得出，即可得出，故正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ． ，，故正确； ， ． ， ． ，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故错误； 综上，正确的结论为①②③． 19．（25-26八下·山东泰安新泰·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， （2） 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 20．（25-26八下·吉林长春力旺实验初级中学·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证： ． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作 ，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得 ． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得 ，． （1）请按照方法二写出完整证明过程． 证明： （2）【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． （3）【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 【答案】（1）证明：∵点分别是和的中点， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴， ， ∴，； （2） （3） 【分析】本题考查了中位线的运用，难点不大，掌握中位线性质即可求解； （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解； （2）根据中位线性质可得是等腰三角形，即可求解； （3）在上取中点，连接，得是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵点是对角线的中点，点、分别是、中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取中点，连接 ， ∵点、分别是、的中点，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ . 21．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． （1）求证：； （2）当点E为的中点时，求证：． 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 22．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 23．（25-26山东东营市·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 【答案】（1）对；对；错； （2）选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； （3）2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 24．（25-26八下·江苏苏州姑苏区·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 25．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；由，可证，由性质得出，由，可证，由性质得出，将两个式子相加，即可求出的长． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得： ． 26．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． （1）求正方形的边长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 27．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 【答案】阅读理解，；解决问题，猜想：，理由见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题． 阅读理解，过点作，证明和，列比例式并根据，，可得结论； 解决问题，作，证明，得，设，则，再证明，得，代入可得结论． 【详解】解：阅读理解， 过点作交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，即， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴； 解决问题， 猜想：，理由是： 如图，作交于点M， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图：在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． （1）求的值； （2）求的长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列式计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 29．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ； （3） 【分析】（1）根据平分得，由得，根据，得，再由三角形外角性质得，进而得，题目得证； （2）证明，，根据有两个角相等的两个三角形相似得，题目得证； （3）证明，即可得，由（1）得，进而得， 由，可得即可计算的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ， ， ， 又由（1）可得， ， 由（2）知， ． 30．（2026年广东深圳市中考模拟）定义：在平行四边形中，若有一边长是一条对角线长的一半，则称这个平行四边形为半随四边形，其中这条边叫做半随边，这条对角线叫做半随对角线． （1）【概念理解】如图，四边形是半随四边形；对角线与交于点，是半随边，是半随对角线． ①的形状是________三角形； ②若，则=________； （2）【问题探究】如图，四边形是矩形，对角线与交于点，，． ①当时，请利用尺规作图，在射线上作出点，使四边形为半随四边形，并请说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） ②若四边形是半随四边形，则______； （3）【应用拓展】如图，四边形与四边形均为半随四边形，其中与分别是半随边，和分别是半随对角线，，，请求出的值． 【答案】（1）等腰； （2）①作图如下： 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴为半随边，为半随对角线，四边形是半随四边形． ②或； （3）． 【分析】（1）①根据平行四边形对角线互相平分与半随四边形定义得到，判断三角形形状；②直接利用半随边与半随对角线数量关系计算长度． （2）①根据平行四边形判定作出图形，再结合半随四边形定义完成证明；②分类讨论矩形的边作为半随边的两种情况，利用勾股定理求出． （3）结合平行四边形性质、半随四边形定义推导角相等，证明三角形全等，再通过勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是半随边，是半随对角线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②∵，， ∴． （2）解：①在射线上取点，使，作图略； ②情况1：为半随边，对应对角线， ∵矩形，，，， ∴，即， 解得（负值舍去）； 情况2：为半随边，对应对角线， ∵矩形，， ∴，即， 解得（负值舍去）； ∴或． （3）解：∵四边形是半随四边形，是半随边，是半随对角线， ∴，，为中点， ∴，， ∴， ∵四边形是半随四边形，是半随边，是半随对角线， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， 过作于，设， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 在中： ， 在中， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 31．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 32．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点． （1）求点坐标； （2）如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； （3）在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时， （3） 【分析】（）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，由勾股定理求出，即可求解； （）利用两点间距离公式可得，再根据求出的表达式即可； （）设点横坐标为，则点，得，，，根据相似相似三角形的性质和角平分线的定义可得，在中，由勾股定理可求得，继而得出各点坐标，求出直线解析式，进而联立函数解析式求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； （3）解：延长交于点， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点横坐标为，则点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 同理可得直线的解析式为， ∵，， 同理可得直线的解析式为， 联立直线解析式得， ， 解得， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，一次函数与几何图形，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 33．某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接． （1）如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：； （2）如图②，若，，，求的值． 【答案】（1） 证明：过B作交的延长线于E， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，本题核心是运用平行线构造相似三角形或等腰三角形，将线段比例与角度关系转化为可计算的形式． （1）过作交的延长线于E，由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，判定，推出得到； （2）延长到E，过D作交于F，得到，由平角的定义得到，因此，推出，判定，推出，由，得到，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：延长到E，过D作交于F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．在中，分别为边上的点，与相交于点． （1）若； ①_____； ②，则_____； （2）若，，_____． 【答案】（1）①，② （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 35．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． （1）求证：； （2）如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）①；②7 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 36．菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． （1）如图1，E为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； （2）如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 【答案】（1）①证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② （2）或 【分析】（1）①根据菱形的性质，证明，等量代换即可得证； ②先证明，再证明，根据，就可以证明，解答即可； （2）延长与交于点，连接，利用等边三角形的判定和性质，相似的判定和性质，分类解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：①略 ②解：如图，延长与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， 由①得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：如图，延长与交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ， ， ②当，， ， 同理①的方法可得， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $