精品解析：上海市长宁区2026-2027学年第一学期九年级数学期中考试卷

2026学年第一学期九年级数学期中考试卷 （满分：150分，完成时间：100分钟） 考生注意： 1．本卷共23题． 2．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是(　　) A. y=(x+1)2+1 B. y=(x﹣3)2+1 C. y=(x﹣3)2﹣5 D. y=(x+1)2+2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】抛物线y=x2﹣2x﹣1可化简为y=(x﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度， 所得的抛物线的解析式y=(x﹣1+2)2﹣2+3=(x+1)2+1； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．． 3. 如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接、、，与交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直平分线性质和平行四边形性质证明四边形是菱形，判定A；利用直角三角形斜边中线性质和平行线性质判定B；利用相似三角形性质计算线段比判定C；利用等高模型和相似三角形面积比计算面积比判定D． 【详解】解：选项A：四边形是平行四边形， ，，，， 垂直平分， ，，，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，，， 四边形是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：，， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：， ， ， ， 四边形是菱形， ， ，故C错误，该选项符合题意； 选项D：设， ， ， ，相似比为， ， ， ， ， ， ，故D正确，该选项不符合题意． 4. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，作轴于． 由题意：，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5. 如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得，结合，即可判断D选项． 【详解】解：，， ， ，故A选项正确，不符合题意； 、分别是斜边上的高和中线， ，即， ， ，故B选项不正确，符合题意； ， ，即， ，故C选项正确，不符合题意； ， ，即， ，故D选项正确，不符合题意． 6. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值． 【详解】令 则a=6k，b=5k，c=4k 则 故答案为：． 【点睛】本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法． 8. 如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】已知BC=8， AD是中线，可得CD=4， 在△CBA和△CAD中， 由∠B=∠DAC，∠C=∠C， 可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得 ， 即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得AC=4. 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， ， ， ∴， ∴， 解得：， ， 点坐标为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的位似变换，根据题意正确得出的长是解题关键． 10. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，于点F.若，，则AE的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的定义可得=2，根据矩形的性质可得AD//BC，根据平行线的性质可得∠ACB=∠EAC，由EF⊥AC可得△AEF∽△CAB，根据相似三角形的性质即可得答案. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，∠ABC=90°， ∴∠BCA=∠EAC， ∵EF⊥AC， ∴∠AFE=∠ABC=90°， ∴△AEF∽△CAB， ∴， ∵tan∠BAC=2， ∴=2， ∵EF=1， ∴AF=2. ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键. 11. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，    由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 12. 已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为题目没说明函数是一次函数还是二次函数，所以当，即时，函数为一次函数，令时，解得：，此时函数图象与x轴有交点，满足题设条件，当，即时，函数为二次函数，根据函数的图象与x轴有交点，即可得 ，据此列出不等式，解出即可得k的取值范围为且，综上所述，即可得符合题意的k的取值范围． 【详解】解：①当，即时，函数为一次函数， 令得，解得：， ∴时，函数图象与x轴有交点，满足题设条件. ②当，即时，函数为二次函数， ∵ 函数的图象与x轴有交点， ∴ ，解得：， ∴此时k的取值范围为且. 综上所述，符合题意的k的取值范围为． 13. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，证明，得到，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵是梯形的“黄金分割线”， ∴，， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，连接AC，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接AC，交y轴于点D， 当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为_______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键． 证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ，， 由折叠性质可得，， ，， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证，得出，结合得，得出及，求出的长；再证，得出；最后过点作于点，利用勾股定理求出的长，代入计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ∴， ， ∴，即， 如图，连接， ∵，， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，，， 如图，过点作于点， 在中，，， ， ， 在中，， ． 三、解答题（本大题共7题，满分86分）（解答下列各题，必须写出必要的步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标， 【详解】（1）设直线的解析式为 ， 解得 直线的解析式为， 抛物线过点 抛物线的函数解析式为； （2）直线与抛物线相交于B，C两点，， 即 解得 当时， 直线 令，得 所以 当时， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键． 19. 小麦是我国北方农村主要农作物，根据今年的种粮经验发现：种植甲品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植乙品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示），已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． （1）求，的函数表达式； （2）观察图象，当投资金额（万元）在________时，单独种植乙小麦获得利润大；（写出范围） （3）若某农户准备明年共投资10万元同时种植甲、乙两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，种植乙种小麦获利较大； （3）种植甲种小麦的投资金额为万元，种植乙种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数，使用待定系数法求解；将点，点分别代入二次函数，使用待定系数法求解； （2）根据图象进行比较，图象在上方的函数表示获利较大； （3）设种植甲种小麦的投资金额为万元，则种植乙种小麦的投资金额为万元，根据甲，乙两种小麦获得利润与投资金额的函数关系式，，列出总利润的函数关系式，化简后，使用配方法即可求出最大利润和资金分配方案． 【小问1详解】 解：由题意可设， 当时，， ， 解得， 即． 由题意可设， 当时，，当时，， ， 解得， 即； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，单独种植乙小麦获得利润大； 【小问3详解】 解：设某农户明年种植甲，乙两种小麦获取的总利润为万元，其中种植甲种小麦的投资金额为万元，则种植乙种小麦的投资金额为万元， 由题意得， 整理得， 配方得， 答：种植甲种小麦的投资金额为万元，种植乙种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 20. 某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点C、B、D在同一水平线上，点E、A、F在同一水平线上．，经测量得． ②斜坡的长为，坡度为． ③改造前车库限高标志上的数值为（该数值只是改造前的标识值，不参与本次计算）． 设计方案 如图2，保持点A不动，将点B沿射线平移到点，使坡度改为． 注：（参考数据：，，）． 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务． （1）任务一：求的长．（结果保留根号） （2）任务二：改造后，在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作交直线于，利用坡度比求出、，由即可求解； （2）求出到斜坡的距离，根据实际情况保留一位小数即可． 【小问1详解】 解：如图，作交直线于， ∵， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴，即， ∵斜坡的长为， ∴，即 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵保持点A不动，将点B沿射线平移到点，使坡度改为， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作交线段于， 同（1）可知，即， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）， 即车库限高标志上的数值最大可为． 21. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵在 和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：连接， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∵由（）知 ，即， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，由内角和定理： ， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，即，代入， 得：． 【解析】 【分析】（）先利用已知的两个直角，通过减去公共角，推导出；再结合，用证明，得到；接着结合，判定四边形是矩形，最后根据邻边，得出四边形为正方形； （）连接，先由（）中正方形的性质，结合勾股定理得到；再利用等腰直角的角度关系和外角定理，推导出；随后通过两角对应相等证明，得到比例式，交叉相乘后结合，证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中, 抛物线与轴交于点 和 点，与轴交于点, 顶点为． （1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标； （2）将抛物线沿轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为, 点的对应点为． ①如果点落在线段上, 求的度数； ②设直线与轴正半轴交于点, 与线段交于点, 当时, 求平移后新抛物线的表达式． 【答案】（1），；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）把点 和 点代入抛物线的解析式。利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）①先求解 直线为： 设平移后的抛物线为： 由新抛物线的顶点在上， 可得新的抛物线为： 同理可得： 再利用勾股定理的逆定理证明 从而可得答案；②如图，连接 同理可得： 由平移的性质可得： 则 可得 设平移后的抛物线为：同理： 且 再利用 列方程解方程求解 从而可得答案. 【详解】解：（1）抛物线与轴交于点 和 点， ，解得： 所以抛物线的解析式为：， 抛物线的顶点 （2）① ， 令 则 设直线为： 解得： 所以直线为： 设平移后的抛物线为： 抛物线的顶点为： 在上， 所以新的抛物线为： 同理可得： ②如图，连接 同理可得： 由平移的性质可得： 则 设平移后的抛物线为：同理： 且 解得： 所以平移后的抛物线为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数图象的平移，平移的性质的应用，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，数形结合及证明是解（2）②问的关键. 23. 已知在矩形中，，.是对角线上的一个动点（点不与点，重合），过点 作，交射线于点.连接，画，交于点.设，. （1）当点，，在一条直线上时，求的面积； （2）如图1所示，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）连接，若，请直接写出的长. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】（1）首先证明，由推出，求出,再利用即可求解； （2）首先证明，可得，再由，推出，即，可得，代入比例式即可解决问题； （3）若，分两种情况：当点P在线段BC上时和当点F在线段BC的延长线上时，分情况运用相似三角形的性质进行讨论即可. 【详解】（1）四边形是矩形， ， ， ，，在一条直线上，且， ， ， ， ， ， ， . （2）， ， ， ， ， ， 又， ， .， ， ， 即， ， ， ， . （3）①当点P在线段BC上时，如图 设 整理得 解得 ②当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于点H，连接DF 由，可得 解得或（舍去） 综上所述，PD的长为或. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质和分情况讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学期中考试卷 （满分：150分，完成时间：100分钟） 考生注意： 1．本卷共23题． 2．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是(　　) A. y=(x+1)2+1 B. y=(x﹣3)2+1 C. y=(x﹣3)2﹣5 D. y=(x+1)2+2 3. 如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接、、，与交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. C. D. 4. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7. 已知，则的值为_______． 8. 如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 的长为________． 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为______． 10. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，于点F.若，，则AE的长为________. 11. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 12. 已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________． 13. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么______． 14. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为________． 15. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为_______． 16. 如图，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，，则的值为___________． 三、解答题（本大题共7题，满分86分）（解答下列各题，必须写出必要的步骤） 17. 计算：． 18. 已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 19. 小麦是我国北方农村主要农作物，根据今年的种粮经验发现：种植甲品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植乙品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示），已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． （1）求，的函数表达式； （2）观察图象，当投资金额（万元）在________时，单独种植乙小麦获得利润大；（写出范围） （3）若某农户准备明年共投资10万元同时种植甲、乙两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点C、B、D在同一水平线上，点E、A、F在同一水平线上．，经测量得． ②斜坡的长为，坡度为． ③改造前车库限高标志上的数值为（该数值只是改造前的标识值，不参与本次计算）． 设计方案 如图2，保持点A不动，将点B沿射线平移到点，使坡度改为． 注：（参考数据：，，）． 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务． （1）任务一：求的长．（结果保留根号） （2）任务二：改造后，在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果保留一位小数） 21. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）如果，求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中, 抛物线与轴交于点 和 点，与轴交于点, 顶点为． （1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标； （2）将抛物线沿轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为, 点的对应点为． ①如果点落在线段上, 求的度数； ②设直线与轴正半轴交于点, 与线段交于点, 当时, 求平移后新抛物线的表达式． 23. 已知在矩形中，，.是对角线上的一个动点（点不与点，重合），过点 作，交射线于点.连接，画，交于点.设，. （1）当点，，在一条直线上时，求的面积； （2）如图1所示，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）连接，若，请直接写出的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $