4.5.1函数的零点与方程的解（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.5函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解 学 习 目 标 1 2 3 理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的关系，会判断零点的存在性. 经历从方程到函数转化的探究过程，体会数形结合思想，提升直观想象与逻辑推理能力. 感受函数与方程的内在联系，激发探究兴趣，养成理性思考、严谨论证的习惯. 新课引入 情境1：我国古代数学家已系统地解决了很多类型方程求解的问题，前面我们学习了指对函数，已经会求对数方程。你能试着求方程的根吗？ 新课引入 《三国志》记载，曹冲五六岁时，孙权曾致巨象，太祖欲知其重。冲曰：“置象于船上，刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。” 曹冲将”称大象”这个困难问题，转化为”称石头”这个容易解决的问题。 在数学中，我们也常常把困难的问题转化为容易的问题。比如，刚刚求方程的解很困难时，能否转化为研究函数的性质来解决？ 探究一：函数的零点与方程的解 新知探究 我们先由我们熟悉的一元二次方程数着手研究。你能否回顾一下，一元二次方程与一元二次函数之间存在什么联系呢？ 探究一：函数的零点与方程的解 新知探究 注：零点是函数图象与轴交点的横坐标值。 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 零点不是点 函数零点 方程的根 不等式解的端点值 方程有实数解  函数有零点  函数的图象与轴有公共点． 即时训练 辨析1.判断下列函数是否存在零点。 （1）; （2）; （3）; （4）; 【答案】：（1）（2）（3）存在 探究一：函数的零点与方程的解 新知探究 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 注：(1) 并不是所有的函数都有零点 (2) 若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. (3) 函数的零点是实数,而不是点 由此可知,求方程的实数解,就是确定函数的零点.一般地,对于不能用公式求解的方程,我们可以把它与相应的函数联系起来,利用函数的图象和性质找出零点,从而得到方程的解. 探究二：零点存在定理 新知探究 思考1：观察零点所在区间，以及这个区间内函数图象与轴的关系，并探究用取值刻画这种关系 b b b 上图象连续不断，且“穿过”轴， 探究二：零点存在定理 新知探究 问题1：是不是只要满足在上图象连续不断，且，就能有零点存在呢？ (时间) (气温) 情景一：下图是某地某天从0点到12点的气温变化图，已知气温连续变化，请将图形补充成完整. 请问：这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？ 情景二：观察以下两组图片，哪一组能说明小黄人一定渡过河? 前 后 后 前 第一组 第二组 若将河流抽象视为轴，两个位置分别记为A、B两点，请用连续不断的曲线画出他的可能路径. 探究二：零点存在定理 新知探究 零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 若所画的曲线可以表示为函数 ，设点的横坐标为、点的横坐标为，请问：函数 在区间内一定存在零点吗？ A B y x a b f(a)>0 O 探究二：零点存在定理 新知探究 问题2：现在你能求解情境1中我们提出的问题了吗？试求方程的根。 求函数的零点。 解法一：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表，并画出图象. 探究二：零点存在定理 新知探究 问题2：现在你能求解情境1中我们提出的问题了吗？试求方程的根。 求函数的零点。 函数在区间内至少有一个零点. 解法二： 追问：可以由此说在区间内只有一个零点吗？ 不可以 零点存在定理易错提醒 技巧点拨 1.0，不能判定()内有无零点； 2.零点存在定理只保证零点存在，不保证只有一个零点；想要唯一零点，一般还需要附加函数单调。 探究二：零点存在定理 新知探究 问题2：现在你能求解情境1中我们提出的问题了吗？试求方程的根。 求函数的零点。 解法三：可看成与的交点 即时训练 题型1 求函数的零点 1、函数图象如下，则其零点为____________. 【答案】： 2、函数的零点是（ ）. 【答案】： 3、函数的零点是_________. 【答案】：和2 函数零点的求法 技巧点拨 （1）代数法：求方程 f （ x ）＝0的实数根； （2）几何法：对于不能用求根公式的方程 f （ x ）＝0，可以将它与函数 y ＝ f （ x ）的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 即时训练 题型1 求函数的零点 4、若函数的零点是1和2，则函数的零点是_________. 【答案】： 5、已知函数 （）的零点为3，则函数 的零点为 _________. 【答案】： 即时训练 题型2 函数零点所在区间问题 1、函数的零点所在区间是（ ）. 【答案】： 2、二次函数的部分对应值如下表： 不求的值，判断方程的两根所在区间是( ). .和 B.和 C.和 D.和 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 -4 -6 -6 -4 6 【答案】： 确定函数 零点所在区间的常用方法 技巧点拨 （1）解方程法：当对应方程易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上； （2）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有· ＜0.若有，则函数在区间内必有零点； （3）数形结合法：通过函数图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 即时训练 题型3 函数零点个数问题 1、的零点个数为（ ）. 【答案】： 2、函数的零点个数为（ ）. 【答案】： 判断函数零点个数的4种常用方法 技巧点拨 （1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点； （2）画出函数 的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判定零点的个数； （3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定在上零点的个数； （4）转化成两个函数图象的交点问题. 即时训练 题型3 函数零点个数问题 3、已知函数的零点个数为4，则的取值范围是_______. 【答案】： 4、已知函数若方程仅有一根，则实数的取值范围为_______. 【答案】： 课堂小结 感谢聆听! $