4.5.1 函数的零点与方程的解（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“函数的零点与方程的解”，涵盖零点定义、与方程解及图象交点的关系、零点存在定理及零点个数判断等核心知识点。课前通过诊断分析（判断正误）回顾基础概念，搭建新旧知识联系，为课中探究提供学习支架。 其亮点在于课中探究分层设计，例题与变式结合代数法（解方程）和几何法（图象交点），培养学生数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观）。素养小结系统归纳方法，助力学生掌握解题策略，提升问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

4.5 函数的应用（二） 1 4.5.1 函数的零点与方程的解 2 探究点一 求函数的零点 探究点二 探求函数零点所在区间 探究点三 函数零点个数的有关问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.了解函数的零点与方程解的关系，能结合函数图象初步认识方程的 解、函数的零点、函数图象与 轴的公共点之间的关系. 2.了解函数零点存在定理,会结合具体的连续函数及其图象解释函数 零点存在定理，并会利用定理识别函数在某个区间内是否存在零点， 以及利用函数图象与性质判断函数零点的个数. 4 知识点一 函数的零点 定义：对于一般函数，我们把使_________的实数 叫作函 数 的______. 零点 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）的零点是 .( ) √ [解析] 令，解得，所以的零点是 . （2）若方程有两个不等实根,,则函数 的零点为 , .( ) × [解析] 若方程有两个不等实根,, 则函数 的零点为, . 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）任何连续函数都有零点.( ) × [解析] 如函数 无零点. （4）函数 有零点.( ) × [解析] 因为函数的零点是 ， 所以函数 没有零点. 课 前 预 习 7 知识点二 函数的零点、方程的实数解、函数图象与 轴的交点 的关系 函数的零点就是方程 的________,也就是函数 的图象与轴的________________.所以方程 有实数 解 函数________ 函数 的图象与___________ ___. 实数解 公共点的横坐标 有零点 轴有公共点 课 前 预 习 8 知识点三 函数零点存在定理 如果函数在区间 上的图象是一条__________的曲线,且 有_____________,那么,函数在区间 内至少有一个零点, 即存在,使得_________,这个 也就是方程_________的解. 连续不断 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）设，因为，所以在 内有 零点.( ) × [解析] 的图象在 上不是一条连续不断的曲线， 在 内没有零点. 课 前 预 习 10 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若,则在 内无零点.( ) × [解析] 设函数,,则, 但 在 内有零点0. （3）若函数在内有零点,则 .( ) × [解析] 若函数在内有零点， 则在 或处可能无定义, 即使有定义,也可能 ， 如函数在内有零点,但 . 课 前 预 习 11 探究点一 求函数的零点 例1（1）设函数， ，则函数 的零点与 的零点之和为____. [解析] 令,解得,即的零点为 . 令,解得,即的零点为 , 所以函数的零点与的零点之和为 . 课 中 探 究 12 （2）若函数 的一个零点是0，则另一个零点 是___. 2 [解析] 函数 的一个零点为0， 即，所以，则 . 由，解得或， 所以 的另一个零点是2. 课 中 探 究 13 变式（1）已知函数则函数 的零点为 ( ) A.,0 B.,0 C. D.0 [解析] 方法一：当时，由，解得 ； 当时，由，解得 （舍去）. 综上，函数 的零点为0. √ 课 中 探 究 14 方法二：作出函数 的图象， 如图所示，由图可知，函数 的零点为0. 课 中 探 究 15 （2）函数的零点是2，那么函数 的零 点是_ ______. 0和 [解析] 函数的零点是2， ，即 ， ，，， . 由，得或， 函数 的零点是0和 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 函数零点的常用求法 （1）代数法:求方程<m></m>的实数根.若存在实数根,则函数存在零 点,否则函数不存在零点. （2）几何法:与函数<m></m>的图象联系起来,图象与<m></m>轴的交点的横 坐标即为函数的零点. 课 中 探 究 17 探究点二 探求函数零点所在区间 例2（1）设 ，经计算得部分函数值的近似值如下表： 1 1.25 1.5 2 2.25 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程 的根所在的区间是( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知，在 上单调递增， 由表可得，函数的零点在内， 则方程 的根所在的区间是 .故选B. √ 课 中 探 究 18 （2）[2026·重庆一中高一月考]函数 的零点所在 区间为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 19 [解析] 因为在定义域上单调递增， 在 上单调递增， 所以在定义域 上单调递增， 又 ， ， ， ， 所以根据函数零点存在定理可知，函数的零点 所在区间为 .故选C. 课 中 探 究 20 变式（1）方程 的解所在区间为( ) A. B. C. D. √ [解析] 令，则在 上连续，且单调递 增. 对于A，因为 ， ，所以的零点不在 内， 所以A错误； 对于B，因为 ，， 所以的零点不在 内，所以B错误； 课 中 探 究 21 对于C，因为 ，， 所以的零点在 内， 所以方程的解所在区间为 ，所以C正确； 对于D，因为，， 所以 的零点不在 内，所以D错误.故选C. 课 中 探 究 22 （2）函数的零点所在的区间为 ，则正 整数 的值为___. 1 [解析] 因为函数在 上单调递增， 且，， 所以 的零点所在的区间为，所以正整数 的值为1. 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函 数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号 的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断. 课 中 探 究 24 探究点三 函数零点个数的有关问题 角度1 确定函数零点个数 例3 求函数 的零点个数. 解：方法一：令得 ．在同一平面直角坐标系中作 出和的图象如图， 由图可知，和 的图象有1个交点， 所以 有1个零点． 课 中 探 究 25 方法二：依题意，函数 在 上单调递增， 并且图象连续不断， 因为， ， 所以 有1个零点. 课 中 探 究 26 变式 函数 的零点个数为___. 1 [解析] 方法一：令，可得 ， 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数和指数函 数 的图象（图略）， 可得交点只有一个，所以 的零点只有一个. 方法二：因为与在 上均单调递增， 所以在上单调递增.因为, ， 所以在上有一个零点， 故函数 的零点个数为1. 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 确定函数零点个数的方法 （1）分解因式法:可转化为一元<m></m>次方程根的个数问题,一般采用分解 因式法来解决. （2）判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式 法来确定根的个数. （3）图象法:将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,可 用图象法解决. （4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函 数,那么函数在所给区间上只有一个零点. 课 中 探 究 28 角度2 由零点个数求参数 例4（1）若关于的方程且 有两个不等实 根，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 29 [解析] 设，关于的方程 且 有两个不等实根等价于函数与函数 的图 象有两个交点. 当 时，在同一直角坐标系内，函数与函 数 的图象如图①所示， 显然函数与函数 的 图象只有一个交点，不符合题意； 课 中 探 究 30 当时，在同一直角坐标系内，函数 与函数 的图象如图②所示， 若函数与函数 的图象有两个交点， 则，解得 .故选D. 课 中 探 究 31 （2）已知函数 有两个零点，一个大于2，另一 个小于2，则实数 的取值范围为_ _____. [解析] 因为函数 有两个零点，一个大于2，另一 个小于2， 所以关于的方程 有两个不同的根，且一个根大于2， 另一个根小于2，所以 . 课 中 探 究 32 因为， 所以当时，只需 ，即解得， 当时，只需 ，即无解. 综上所述，实数的取值范围为 . 课 中 探 究 33 变式（1）已知函数在 上有且只有一个零点， 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数在 上有且只有一个零点， 所以，即在 上有且只有一个实根， 所以与的图象在上有一个公共点. 因为 在上单调递减， 所以，即 .故选D. √ 课 中 探 究 34 （2）[2025·南京高一检测] 已知函数 若 函数有三个零点，则实数 的取值范围为________ _______________. 课 中 探 究 35 [解析] 若函数 有三个零点， 则与 的图象有三个交点， 当 时， ， 当时， ， 当 ，时，，与 的图象如图所示. 要使与 的图象有三个交点， 则，解得或 . 课 中 探 究 36 ［素养小结］ 解此类题的关键是将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，求 解时首先根据已知条件构造两个函数，在同一坐标系内画出两个函 数的图象，结合函数图象的交点个数，从而确定参数的范围. 课 中 探 究 37 拓展 已知函数若关于 的方程 有6个不同的实数根，则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 38 [解析] 因为 ， 所以或. 因为关于 的方程 有6个不同的实数根， 所以的图象与直线 和直线共有6个不同的交点，如图， 的图象与直线 有3个交点， 所以只需的图象与直线 有3个交点， 所以 .故选A. 课 中 探 究 39 课后习题 40 1.函数 的零点是( ) A. B.2,3 C. D.， [解析] 令，解得或， 故函数 的零点是2,3，故选B. √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 2.函数 的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. [解析] 因为,都在 上单调递增， 所以在上单调递增， 显然在 上是连续函数，所以 至多有一个零点， 又， ，即 ， 所以根据函数零点存在定理， 可得 有且仅有一个零点，且该零点所在的区间是 .故选C. √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 3.已知是定义在上的减函数，且， ， ，，，则 的零点可能为( ) A. B. C.2 D.4 [解析] 因为是定义在上的减函数，且, ， 所以的零点必在区间内，所以 的零点可能为2.故选C. √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 4.设是函数的零点，若，则 的 值满足( ) A. B. C. D. 的符号不确定 [解析] 因为是函数 的零点， 所以. 因为在 上单调递减，在上单调递增， 所以函数 在上单调递减， 故当时， ，故选C. √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 5.若函数 有一个零点是1，则函数 的零点是( ) A.0,2 B.,3 C.,0,4 D. ,0,1 [解析] 由题意可得，可得 ， 所以， 令 ，得， 解得或或 ， 故函数的零点是 ,0,1.故选D. √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 6.（多选题）已知函数的图象是连续不断的，并且 是 上的增函数，有如下的对应值表： 1 2 3 4 1.21 3.79 10.28 下列说法中正确的是( ) A. B.当时， C.函数 有且仅有一个零点 D.函数 可能无零点 √ √ √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 对于A，因为函数是 上的增函数， 所以 ，故A中说法正确； 对于B，因为函数是上的增函数， 所以当时， ，故B中说法正确； 对于C，因为函数是 上的增函数， 且，即， 所以函数 有且仅有一个零点，且该零点所在区间为 ， 故C中说法正确； 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 对于D，因为函数连续，且 , ，即， 所以函数 在区间上一定存在零点， 故D中说法错误.故选 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 7.函数 的零点是___. 1 [解析] 令，得 ， 即 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 8.函数 的零点个数是___． 2 [解析] 当时，由，可得， 当 时，由，可得， 所以函数 的零点个数是2. 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 9.（13分）下列函数是否存在零点？如果存在，请求出；如果不存在， 请说明理由． （1） ； 解：解方程，得或 ， 所以函数的零点是， . （2） ； 解：解方程，得，所以函数的零点是 . （3） ； 解：解方程，得，所以函数的零点是 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 9.（13分）下列函数是否存在零点？如果存在，请求出；如果不存在， 请说明理由． （4） . 解：解方程，得，所以函数的零点是 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 10.[2026·西安高新一中高一月考]已知方程 的 一个根比1大，一个根比1小，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] 令 ， 因为方程 的一个根比1大，一个根比1小， 所以 有两个零点，一个零点比1大，一个零点 比1小. 因为 的图象开口向上， 所以只需，解得， 所以实数 的取值范围为 ，故选D. 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.（多选题）[2026·浙江余姚中学高一月考]已知定义域为 的函数 在区间 内恰有一个零点，则下列结论正 确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则或 √ √ √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 由题知，. 对于A，若 ，则，其图象开口向下， 故要使函数 在区间内恰有一个零点， 只需，即 ，解得，故A正确. 对于B，若，则 ，， 要使函数在区间 内恰有一个零点， 只需图象开口向下且，即且， 解得 ，故B正确. 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 对于C，若，则， 要使函数 在区间内恰有一个零点， 只需或 解得 或，故C错误. 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，若，则 ， 当时，函数图象开口向下， 要使函数在区间 内恰有一个零点，只需， 即，解得，即 时满足题意； 当时，由得 ，满足题意； 当时，要使函数在区间 内恰有一个零点， 只需或解得或. 综上，当 时，要使函数在区间内恰有一个零点， 则或 ，故D正确. 故选 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知函数，若，且，则 的 取值范围是______. [解析] 由于,在 上均单调递增， 故函数在上单调递增， 又，且 ， 所以解得 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 13.[2025·荆州沙市中学高一月考] 已知函数 ，且关于 的方程有3个不同的实数解，则 的取值范围 为________. [解析] 函数，作出函数 的图象如 图所示， 因为关于的方程 恰有3个不 同的实数根，所以令 ， 根据图象可 得有两个不同的实数根， ， 则， . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 记 ，则有、 解得，所以实数的取值范围为 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）已知函数满足 . （1）求函数 的解析式； 解：因为函数 满足 ， 所以函数 的解析式为 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 14.（15分）已知函数满足 . （2）若关于的方程 有两个实根，其中 一个实根在区间内，另一个实根在区间内，求实数 的 取值范围. 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 解：由 ， 整理得 ， 设 ，由二次函数的图象与性质， 可得解得， 故实数 的取值范围为 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 15.（多选题）[2026·苏州中学高一月考]已知函数 ， 当时， ，则下列结论正确的是( ) A. B. 的最小值为4 C. D.的最小值是 √ √ 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 作出函数 的图象如图. 由，，可得 ， 由， ， 得 ， 即 ，所以， 可得 ，可得，故A正确； 由 得， 由于，故不能取等号，所以 ，故B错 误； 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 由 ，可得 ， 当且仅当，即, 时取等号，故C正确； ， 当且仅当 ，即, 时取等号，故D错误. 故选 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）[2026·雅礼中学高一月考] 已知函数 ，其定义域为 . （1）当时，求函数 的零点； 解：当时， ， ， 令，则 ，则， 所以或（舍），解得 ， 所以 的零点为1. 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 16.（15分）[2026·雅礼中学高一月考] 已知函数 ，其定义域为 . （2）若函数有零点，求 的取值范围. 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 解：由题意可知，在 上有解， 令，则在 上有解， 则在上有解，即在 上有解. 因为在上单调递减，在 上单调递增， 且,,当时,， 所以在 上的取值范围为 ， 所以的取值范围是 . 课后习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 $