4.5.2 用二分法求方程的近似解课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过方程−x−1=0在(1,2)内求根的情境引入，结合函数零点存在定理，搭建从定性判断零点存在到定量缩小范围求近似解的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过例练结合（如判断能否二分、计算二分次数）培养数学思维，用区间中点、精度等规范数学语言表达过程，帮助学生形成逻辑推理能力，教师可借助系统的方法总结提升教学效率。

用二分法求方程的近似解 4.5.2 用二分法求方程的近似解 · 新授课 人教A版 必修第一册 · 第四章 指数函数与对数函数 通过不断取区间中点，把零点所在范围缩小到精度要求。 封面。 学习目标 第 2 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 1. 理解二分法的原理； 2. 会用二分法求方程的近似解； 3. 理解精度的概念； 4. 能按步骤完成二分法计算。 学习目标。 情境引入 第 3 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 情境 方程 − x − 1 = 0 在 (1, 2) 内有根，怎么求？ f(1) = −1 < 0，f(2) = 5 > 0。 每次取中点，把区间缩小一半，直到达到精度。 情境引入。 二分法的定义 第 4 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 对于区间 [a, b] 上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数， 通过不断把区间一分为二，使区间两端逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法，叫做二分法。 二分法定义。 二分法的步骤 第 5 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 1. 确定区间 [a, b]，验证 f(a)·f(b)<0； 2. 求中点 c = ； 3. 计算 f(c)，判断符号； 4. 若 f(c)=0，c 就是零点； 5. 若 f(a)·f(c)<0，令 b=c；否则令 a=c； 6. 重复 2-5，直到区间长度小于精度。 二分法步骤。 例 1 · 二分法 第 6 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 例 1 用二分法求 − x − 1 = 0 在 (1, 2) 内的近似解（精度 0.1）。 分析：取中点逐步缩小区间。 =1.5，f(1.5)≈0.875>0；=1.25，f(1.25)≈−0.30<0。 答案：根在 (1.25, 1.5)，精度 0.25，继续缩到 0.1。 例1。 例 2 · 精度 第 7 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 例 2 若区间 (1.3125, 1.375)，精度是多少？ 分析：精度 = 区间长度。 1.375 − 1.3125 = 0.0625。 答案：精度为 0.0625，小于 0.1，可停止。 例2。 例 3 · 判断能否二分 第 8 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 例 3 f(x) = − 1 在 (−2, 0) 内能用二分法吗？ 分析：f(−2)=3>0，f(0)=−1<0，异号。 图象连续，满足 f(a)·f(b)<0。 答案：能。中点 c=−1，f(−1)=0，−1 就是零点。 例3。 练习 1 第 9 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 练习 1 二分法每次把区间缩小多少？ 分析：取中点，区间长度减半。 原区间长度 L，n 次后长度为 L/。 答案：每次缩小一半。 练习1。 练习 2 第 10 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 练习 2 区间 (1, 2)，精度 0.1，至少二分几次？ 分析：解 1/ < 0.1。 > 10，n ≥ 4。 答案：至少 4 次。 练习2。 练习 3 第 11 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 练习 3 f(x) 在 [a,b] 上连续，f(a)>0，f(b)>0，能用二分法吗？ 分析：二分法要求 f(a)·f(b)<0。 这里 f(a)·f(b)>0，不能用二分法。 答案：不能，两端同号。 练习3。 练习 4 第 12 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 练习 4 区间 (1, 1.5)，中点是多少？ 分析：中点 = (1+1.5)/2。 c = 1.25。 答案：中点为 1.25。 练习4。 思考 1 第 13 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 思考 二分法只能求变号零点吗？ 分析：二分法依赖 f(a)·f(b)<0。 不变号零点（如切点）不能用二分法。 结论：二分法只能求变号零点。 思考1。 思考 2 第 14 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 思考 二分法得到的近似解，误差不超过多少？ 分析：最终区间长度为 d。 近似解取区间端点，误差不超过 d。 结论：误差 ≤ 区间长度。 思考2。 拓展 1 第 15 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 拓展 方程 + x − 4 = 0 的解所在区间是？ 分析：f(x)=+x−4，算端点值。 f(1)=−1<0，f(2)=2>0。 答案：解在 (1, 2) 内。 拓展1。 拓展 2 第 16 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 拓展 区间 (0, 1)，精度 0.01，至少二分几次？ 分析：解 1/ < 0.01。 > 100，n ≥ 7。 答案：至少 7 次。 拓展2。 例 4 · 完整过程 第 17 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 例 4 用二分法求 − 2 = 0 的正根近似值（精度 0.1）。 分析：f(x)=−2，f(1)=−1，f(2)=2。 c=1.5，f(1.5)=0.25>0；c=1.25，f(1.25)=−0.44<0。 答案：根在 (1.25, 1.5)，长度 0.25>0.1，继续到 0.1 为止。 例4。 练习 5 第 18 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 练习 5 f(1.5)=0.25，f(1.25)=−0.44，下一步取哪点？ 分析：零点在 (1.25, 1.5) 内。 新中点 c = (1.25+1.5)/2 = 1.375。 答案：下一步取 1.375，算 f(1.375)。 练习5。 思考 3 第 19 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 思考 二分法能求 f(x)= 的零点吗？ 分析：f(x)= 的零点是 x=0。 在 (−1,1) 上 f(−1)=1>0，f(1)=1>0，同号。 结论：不能用二分法，因为两端同号。 思考3。 拓展 3 第 20 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 拓展 方程 ln x + x − 3 = 0 的解在哪个区间？ 分析：f(x)=ln x + x − 3。 f(2)=ln2−1<0，f(3)=ln3>0。 答案：解在 (2, 3) 内。 拓展3。 方法总结 第 21 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 1. 二分法：连续 + 异号，不断取中点缩小区间。 2. 精度 = 区间长度，n 次后长度 L/。 3. 能二分：f(a)·f(b)<0；不能二分：同号或不变号。 4. 近似解误差不超过区间长度。 方法总结。 课堂小结 第 22 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 今天学了二分法求近似解。 关键：取中点、判符号、缩区间、看精度。 二分法是求方程近似解的通用方法。 小结。 课后作业 第 23 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.2 用二分法求方程的近似解 教材 P147 练习：第 1、2 题； 习题 4.5 第 3、4 题； 思考：除了二分法，还有什么求近似解的方法？ 作业。 谢谢聆听 4.5.2 用二分法求方程的近似解 结束。 $