精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

仁寿一中北校区高2025级高二期中考试 数学试题 2026.11.2 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币共有4种结果，其中出现两个正面朝上的结果只有一个，所以其概率为，故选B. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 3. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则计算即可判断结果. 【详解】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D 4. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是（ ） A. 2 B. 1＋ C. 2＋ D. 1＋ 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离加上圆的半径即为圆上点到直线距离的最大值求解出结果. 【详解】因为圆心为，半径，直线的一般式方程为， 所以圆上点到直线的最大距离为：， 故选：B. 【点睛】本题考查圆上点到直线的距离的最大值，难度一般.圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，最小距离等于圆心到直线的距离减去半径. 5. 已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【详解】袋子中只有2个红球、2个白球，一次摸出3个球，结果只能是“1红2白”或“2红1白”，所以“恰有1个红球”，“恰有2个红球”，“至少有1个白球”=（必然事件），“都是白球”=（不可能事件）. 与互斥且，二者对立；、，均不互斥；与满足但，故互斥但不对立的是与. 6. 已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，则， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 由弦长公式可得，故D正确. 7. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量不能构成基底，可得向量共面，根据空间向量基本定理，待定系数求解即可. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以存在实数、使得， 即， 即， 因为是空间的一个基底， 则，解得． 故选：． 8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设事件A，B是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，所以，故B正确； 对于选项C，事件A，B互斥，所以，故C错误； 对于选项D，事件A，B互斥，所以，故D正确. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 11. 在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小，可判断B；利用等体积法可求得最小值判断C；求得轨迹长可判断D. 【详解】对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A正确； 对于B，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最小，则的值最大，由题意， 故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，， ， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设到平面的距离为，由， 得，所以， 解得，故C错误； 当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧， 圆弧交于点，可得，所以， 所以，所以， 当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为， 在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为， 所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分． 12. 与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________， 【答案】7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0 【解析】 【详解】试题分析：设出平行直线系方程，根据两平行线间的距离等于3解出待定系数，从而得到所求的直线的方程． 解：设所求的直线方程为 7x+24y+c=0，d==3，c=70，或﹣80， 故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0， 故答案为 7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 13. 设、，向量，，，且，，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． 【小问2详解】 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 16. 如图，在正四棱柱中，，.点，，，分别在棱，，，上，，，. （1）证明：； （2）点为中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 如图， 则，，，，， ∴，，则， ∴， 又，不在同一条直线上， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，从而得证； （2）求出点坐标，再求出平面与平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为点为中点，所以， 则，， 设平面的法向量， 则，令，得，，∴， 平面的法向量， ∴， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 中，顶点、，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （2）求出点的坐标，计算出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式即可求得的面积. 【小问1详解】 解：因为边上的高所在直线方程为，可设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 因此，直线的方程为. 【小问2详解】 解：联立，解得，即点，， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 点到直线的距离为，故. 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值： （3）是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接交于，连接，， 因为，，所以与相似，所以， 即，又，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，借助相似性质可得，结合可得，再利用线面平行判定定理即可得； （2）结合题目所给条件，可建立适当空间直角坐标系，再求出直线的方向向量与平面的法向量，最后利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）设，再利用空间中点到平面距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，因为平面平面，且， 平面平面，平面， 所以平面，由于，所以， 又，，由余弦定理得， 所以，所以，则， 如图以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由得，则， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； 【小问3详解】 设，因为，， 所以， 所以， 则点到平面的距离， 整理得，解得或（舍去）， 所以时使得点到平面的距离为. 19. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或 （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）设动点，根据数量积的坐标表示求点的轨迹方程； （2）（ⅰ）分析可知圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；（ⅱ）联立方程可得韦达定理，利用消元法可得，代入韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设动点，，， 则，． 所以，即的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离， 即，化简得：，解得或． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高二期中考试 数学试题 2026.11.2 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是（ ） A. 2 B. 1＋ C. 2＋ D. 1＋ 5. 已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设事件A，B是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 11. 在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分． 12. 与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________， 13. 设、，向量，，，且，，则______. 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 16. 如图，在正四棱柱中，，.点，，，分别在棱，，，上，，，. （1）证明：； （2）点为中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 中，顶点、，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积． 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值： （3）是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $