四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题（1)

**基本信息** 泸县一中高2023级物理类半期模拟卷，以解三角形、立体几何、概率统计为核心，通过雷达图分析（题3）、频率分布直方图（题17）等真实情境，考查空间观念、数据分析等素养，适配期中阶段性检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|解三角形（题1）、空间角（题4）|基础概念与空间想象结合| |多选题|3|面面垂直（题9）、折叠问题（题10）|多维度空间关系辨析| |填空题|4|数据分位数（题13）、内切球表面积（题14）|数学运算与实际应用| |解答题|5|空间直角坐标系（题15）、分层抽样（题17）、开放条件（题18）|综合运用数学思维解决复杂问题|

泸县一中高2023级2024年县半期统考模拟试题（1） （物理类） 一、单选题 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（    ） A． 乙的数据分析素养优于甲 B． 乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C． 甲的六大素养指标值波动性比乙小 D． 甲的六大素养中直观想象最差 4．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在直四棱柱中，底面为菱形，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．下列命题： ①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　） A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 10．在等腰梯形中，分别是的中点，沿将折起至，使平面平面（如图）.已知，下列四个结论正确的是（    ）   A． B． C． D． 11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为 三、填空题 12．如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长 为 . 13． 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该 组数据的分位数为22，则 ． 14． 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的体积为 ， 三棱锥的内切球的表面积为 ． 四、解答题 15．棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 16．在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：单位：人 参加志愿服务礼仪培训 未参加志愿服务礼仪培训 参加赛会应急救援培训 8 8 未参加赛会应急救援培训 4 30 （1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率； （2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A，A，A，A，A名女同学B，B，B现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的概率. 17．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 18．在中，的对边分别为，，，且满足_______________. 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题. (1)求； (2)若面积为，，点在线段上，且，求的长. 19．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，．   (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A A A C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°， 所以由正弦定理得， 解得， 故选：A. 2．C 【详解】由得， 故，故， 故选：C 3．C 【详解】A选项,甲的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养低于甲,选项错误; B选项,乙的数学建模素养为分, 乙的数学抽象为素养分,选项错误; C选项, 甲的六大素养指标值分别为,,,,,;乙的六大素养指标值分别为,,,,,,甲的六大素养指标值波动性比乙小,选项正确; D选项,由C可知,甲的六大素养中,数学抽象,数学建模和数学运算最差,直观想象最最好,选项错误; 故选C. 4．B 【详解】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，可得. 故选：B. 5．A 【详解】若向量，，共面，则，其中， 即， 所以， ∴解得 故选：A. 6．A 【详解】如图所示，连接，设，连接， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，可得， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则点到平面的距离． 故选：A. 7．A 【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＝1. 8．C 【详解】由题意可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以， 设A关于平面的对称点为，则，， 设平面的法向量，则，， 令，则，所以， 所以A与到平面的距离即①， 又，所以②，所以由①②得， 所以由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 9．ABD 【分析】由线面垂直和平行的判定定理、性质定理，对选项进行一一判断，即可得答案； 【详解】由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知： 在A中，由m⊥α，m∥n，得，又n⊂β，所以α⊥β，故A正确； 在B中，若α∥β，m⊥α，得，又n⊥β，所以m∥n，故B正确； 在C中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误； 在D中，若α⊥β，m⊂α，a∩β＝n，m⊥n， 则由面面垂直的性质定理得m⊥β，故D正确． 故选：ABD． 10．ACD 【详解】因为等腰梯形中，分别是的中点， 所以，,所以为二面角的平面角， 又平面平面，所以，即, 设，以点M为坐标原点， ，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，    则，，，，， ∴, ，， , , ， , ， ∴,,. 故选:ACD. 11．ACD 【详解】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD. 12．4 【详解】由题意得⊥，又，故⊥， 故，， ， 故 ， 故. 故答案为：4 13．21 【详解】因为， 所以分位数是第4、5个数据的平均数， 所以，解得. 故答案为： 14． 6 / 【详解】解：因为，，，在中，, 所以，又平面，所以， 因为平面，平面,所以，，，故 又，，所以平面， 又平面，所以， 所以均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为， 则, 即， 解得，故三棱锥的内切球的表面积. 故答案为：6；. 15．(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意得， 因为，， 所以， 所以，所以. （2）由（1）可得， 所以. （3）由（1）得，所以. 16．（1）；（2）. 【详解】解：由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人， 故至少参加上述一个培训的共有人. 从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为； 从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： ， ， ， 共15个， 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的， 事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共2个， 被选中且未被选中的概率为. 17．(1)平均数为，众数为. (2). (3)平均数为，方差为. 【详解】（1）一至六组的频率分别为， 平均数. 由图可知，众数为. 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. （2）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组,设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. （3）)的频率为，)的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 18．(1) (2) 【详解】（1）若选择①， 由可得， 利用正弦定理可得，整理可得； 所以，又， 可得. 若选择②, 由诱导公式可得； 由可得， 可得，所以， 即. （2）如下图所示： 由面积为可得，即， 又且，所以； 又可得； 易知， 由可得， 即可得； 由点在线段上，且，可得， 所以 即的长为. 19．(1)见解析 (2) (3)相交， 【详解】（1）连结交于点，连结，    因为点分别是的中点，所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，， 所以，且平面， 所以如图，以点为原点，以向量为轴的方向向量建立空间直角坐标系，    ，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量， 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的余弦值为； （3）如图，延长交于点，连结并延长，交的延长线于点， 因为点是的中点，所以， 所以，即， 则    学科网（北京）股份有限公司 $