广西南宁市第三中学2026-2027学年高二上学期第2次月考数学试卷

南宁三中2026~2027学年度上学期高二段考 数学试题参考答案 1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．A 7．A 8．C 9．CD 10．ABD 11．ACD 12． 13．10 14． 15．【详解】（1）由余弦定理可得： ， 2分 则，， 4分 5分 法2：正弦定理，即，则． （2）由三角形面积公式可得， 则． 法2：，，，则 13分 16．解：【详解】（1）解：假设点，； 化简得 4分 （2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知，该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为： ，设， 所以有， 因为， 所以 或（舍去），即 15分 17．【详解】（1）因为质量小于250的频率为， 所以中位数位于，设中位数为，则，中位数 3分 （2）因为的频率为，的频率为0.3，所以分层抽样比例为， 的两只记为，，的三只记为，， 共有样本点10个，列举为 记“这两只蟹取自同一组”， 事件包含的样本点为4个， 则由古典概型知这2只蟹都来自同一个质量区间的概率为； 7分 （3）选择方案②，理由如下： 因为蟹质量的平均数为255克， 所以按方案①获利为元； 按方案②：质量低于250克的频率为， 质量大于等于250克的频率为， 所以按方案②获利为元， 又因为，所以选择方案②获利更多 15分 18．【答案】（1）因为是正方形，所以，平面，平面，平面，同理平面，又，，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面（5分）． （2）因为正方形所在平面与梯形所在平面垂直， 平面平面，平面，所以平面，故，又因为，，所以， 因为，所以，故，故，，两两垂直， 如下图建立空间直角坐标系： 则，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，则，，，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为（11分）． （3）若在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为， 设，（），因为，所以， 设平面的一个法向量为，因为，， ，所以，令，则，， 故，， 由（1）得平面，故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 根据题意得，因为，所以， 即，又，故， 故在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为， 此时（17分）． 19．【详解】（1）由题可知，且椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆方程为：，因为点在上，所以，又， 解得，，所以椭圆的方程为：（4分）； （2）（ⅰ）设，，联立， 整理并化简得：， 所以，，， 所以， 又，，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，则， 所以，解得，又因为，所以（11分）； （ⅱ）由（1）可知，所以直线方程为：， 设的中点为，因为， 所以，即， 所以，即，即，所以， 又，，所以， 所以，则，即， 又， ， 所以， 当且仅当时，取得等号，所以面积的最大值为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2026~2027学年度上学期高二段考 数学试题 2026.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知的圆心为，则（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 2．若直线：与：平行，则（ ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 3．已知为抛物线：的焦点，则（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 4．已知抛物线：，过的焦点的直线与抛物线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则弦的长为（ ） A． B．2 C． D．3 5．已知双曲线：的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A． B． C．4 D．2 6．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上一点，直线、的斜率分别为2和，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过原点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，圆：，则下列说法中正确的是（ ） A．当时，圆与轴相切 B．当时，圆与圆内切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，设圆与圆的交点为，，则直线的方程为 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，右顶点为，焦距为，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，则下列说法中正确的是（ ） A．的周长为 B．若，则直线，的斜率之积为 C．若上存在点使得，则 D．若上存在点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围为 11．如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，点为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A．当点不与点重合时，平面平面 B．三棱锥的体积为4 C．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆经过原点和点，并且圆心在直线：上，则圆的方程为_____． 13．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则_____． 14．已知双曲线：的左焦点为，过的直线与轴相交于点，与相交于、两点、且，则的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，已知，，． （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积． 16．（15分）已知，，动点异于，两点，若直线与直线的斜率之积为． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率． 17．（15分）“金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，10月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出100只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．同一组中的数据用该组区间的中点值代表． （1）求抽取的这100只蟹质量的中位数；（若有小数，保留一位） （2）若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取5只，再从这5只中随机抽取2只，求这2只蟹都来自同一个质量区间的概率； （3）某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有10000只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以90元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的蟹以20元/只收购，对质量高于或等于250克的蟹以30元/只收购．如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 参考数据：抽取的这100只蟹质量的平均数为 克 18．（17分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，且点在上． （1）求的方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且． （ⅰ）求； （ⅱ）若点满足，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $