重难点培优05 椭圆、双曲线离心率的求法全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优05 椭圆、双曲线离心率的求法全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 利用a、b、c的关联式（★★★★★） 5 题型02 利用勾股定理、正弦定理（★★★★★） 6 题型03 利用余弦定理、双余弦定理（★★★★★） 7 题型04 利用相似（★★★★★） 8 题型05 利用点差法、斜率乘积（★★★★） 9 题型06 求离心率的取值范围（★★★★★） 10 03 实战检测·分层突破验成效 12 重难知识巩固 12 创新能力提升 16 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 3、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 知识点02 双曲线的几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 3、求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 知识点03 常用几何技巧 1、最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程， 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图： 2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系； 3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了. 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理. 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF. 7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O为F1F2的中点），连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系. 8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边有关的方程. ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系. 9、出现有关向量的条件： （1）合并化简向量:同起点的向量的加法 同起点的向量的减法 （2），转化为线段的比值问题，设，则. 10、已知焦点三角形的内切圆半径 11、实在找不到方程，可以考虑使用两个三角形的公共角余弦定理相等构造方程. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 利用a、b、c的关联式 【技巧通法·提分快招】 需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e 1．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 题型02 利用勾股定理、正弦定理 【技巧通法·提分快招】 1、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 2、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了. 3、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理. 1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽滁州·期末）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，为左焦点，为椭圆上的一点，为轴正半轴上一点.若，，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 题型03 利用余弦定理、双余弦定理 【技巧通法·提分快招】 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1、焦点四边形具有中心对称性质. 2、焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质. 3、焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 1．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用相似 【技巧通法·提分快招】 已知平行或者线段成比例条件，找相似，转为线段的相似比关系 1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 5．在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____. 6．（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 题型05 利用点差法、斜率乘积 【技巧通法·提分快招】 点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 1．已知双曲线上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为_____ 2．（2026高三上·广东深圳·专题练习）已知双曲线的右顶点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率之积为，则的离心率为______. 3．已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为______． 4．不与轴重合的直线过点，双曲线上存在两点关于对称，中点的横坐标为.若，则双曲线的离心率为___________. 5．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 题型06 求离心率的取值范围 【技巧通法·提分快招】 求离心率取值范围的常用方法 1、不等式法求离心率范围 （1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如:椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 1．已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 2．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·模拟预测）如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高三上·甘肃庆阳·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 7．已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为__________． 8．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D．4 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，依次成等比数列，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知是上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 9．（25-26高三上·天津河北·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与C的右支交于点P，点M满足，且，则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 10．（25-26高三上·山东东营·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 11．记O为坐标原点，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·湖南·阶段检测）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·江西新余·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为所在平面内一点，线段分别与交于两点，若为中点，为靠近端的四等分点，则的离心率的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 15．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江宁波·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（        ） A．3 B． C． D． 17．已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·天津河东·期末）已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一点，是坐标原点，若是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率不可能是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·甘肃白银·三模）已知是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，过点作，与的另外一个交点为，连接，与轴交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 24．已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则双曲线的离心率为_______． 25．（2026·四川遂宁·二模）已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. 26．直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 27．已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 28．已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________. 29．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 创新能力提升 1．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（2026·河北邢台·二模）已知椭圆 的左焦点为F，直线l过坐标原点 O 且与椭圆交于第一象限内的一点A，若 则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 椭圆、双曲线离心率的求法全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 利用a、b、c的关联式（★★★★★） 5 题型02 利用勾股定理、正弦定理（★★★★★） 9 题型03 利用余弦定理、双余弦定理（★★★★★） 12 题型04 利用相似（★★★★★） 17 题型05 利用点差法、斜率乘积（★★★★） 23 题型06 求离心率的取值范围（★★★★★） 28 03 实战检测·分层突破验成效 33 重难知识巩固 33 创新能力提升 55 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 3、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 知识点02 双曲线的几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 3、求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 知识点03 常用几何技巧 1、最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程， 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图： 2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系； 3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了. 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理. 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF. 7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O为F1F2的中点），连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系. 8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边有关的方程. ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系. 9、出现有关向量的条件： （1）合并化简向量:同起点的向量的加法 同起点的向量的减法 （2），转化为线段的比值问题，设，则. 10、已知焦点三角形的内切圆半径 11、实在找不到方程，可以考虑使用两个三角形的公共角余弦定理相等构造方程. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 利用a、b、c的关联式 【技巧通法·提分快招】 需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e 1．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 2．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，结合已知角度判断三角形形状，然后利用椭圆对称性确定点的位置，进而得出与的关系从而求出离心率. 【详解】连接，由题意及垂直平分线的性质知，， 又，所以为等边三角形， 结合椭圆的对称性可知，为其上顶点，所以，所以． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 5．（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的渐近线方程及的关系列出等式关系求解离心率. 【详解】   因为，所以，双曲线的渐近线方程为， 将代入渐近线方程中得，不妨设. 由两点间距离公式可得，展开得， 再代入，化简得，即. 故离心率. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得出，再轴，代入计算得出，最后应用定义得出齐次式计算离心率. 【详解】因为直线与以为圆心，为半径的圆相切，所以圆的半径， 又，所以，所以， 因为轴，所以当时，有，解得，所以， 因为，所以， 所以，整理得， 因为，所以，解得. 7．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得交点、的坐标，结合两条直线垂直斜率乘积为建立方程，再利用双曲线中，，的关系求解离心率. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，半径为的圆的方程为. 圆与轴负半轴交点为，联立 ， 代入得， 结合，解得第一象限交点. 由题意，另一条渐近线与直线垂直，故两条直线斜率乘积为. 直线的斜率为： . 因此有： ， 化简得，结合双曲线关系， 得.两边同除以，结合离心率，得， 解得（不符合离心率取值范围，舍去）. 题型02 利用勾股定理、正弦定理 【技巧通法·提分快招】 1、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 2、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了. 3、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理. 1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆的定义求出，由勾股定理求出焦距，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆的定义知，则. 设焦距为， 由题可知，，即，解得. 所以椭圆的离心率为. 2．（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，再利用直角三角形边角关系及椭圆的定义列式求解. 【详解】由直线的斜率分别为，得，则，即， 又，因此，而， 于是，即，所以的离心率． 3．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 4．（25-26高三上·安徽滁州·期末）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，为左焦点，为椭圆上的一点，为轴正半轴上一点.若，，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度关系分析得到，然后在与中用正弦定理，化简得到等式，最后在解一元二次方程即可. 【详解】解：∵，∴. 又，，∴. 记，在中，由正弦定理得， 在中，，得， ∴，∴. 又，故，得， ∴. ∴， 可得，∴.    故选：C 5．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】如图，过点做轴于点. 由. 由为中点. 又，，所以，所以. 在中，. 在中，， 整理得：. 因为，所以. 又，所以. 即所求双曲线的离心率为2. 题型03 利用余弦定理、双余弦定理 【技巧通法·提分快招】 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1、焦点四边形具有中心对称性质. 2、焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质. 3、焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 1．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由余弦定理构造椭圆基本量的齐次方程求离心率. 【详解】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 3．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率.    4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 5．（2025·河南·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量条件得到线段长度比例，设，结合椭圆定义写出，再在中使用余弦定理，求解关于的表达式；接着在中由余弦定理求出，再对再次使用余弦定理，建立关系式，进而求出离心率. 【详解】依题意，设，则. 在中，， 化简，得，故，或（舍去）. ， ， 在中，， 整理得. 6．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内心性质可得，利用椭圆的定义可得，再根据三角形面积及余弦定理得，进而求得，即可求解离心率． 【详解】因为 ，所以． 设，，焦距．的周长为． 由椭圆的定义可知，代入得，所以． 三角形面积，所以． 在中，由余弦定理得，即． 又．代入得． 整理得，即． 由代入得．联立解得．故离心率． 题型04 利用相似 【技巧通法·提分快招】 已知平行或者线段成比例条件，找相似，转为线段的相似比关系 1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线性质及双曲线的定义可得. 【详解】依题意，如图，因为是的中点，是的中点， 所以是的中位线，因为，所以， 因为，因此是等腰三角形， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以. 2．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到平行关系，再借助中位线性质确定有关线段长度；结合双曲线的定义求出焦半径，最后利用余弦定理求离心率． 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故． 由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此 故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 在本题中，，则，， 则双曲线方程为，故D正确. 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用可知是的中点，且点为的中点，结合双曲线方程与离心率的定义，可得关于离心率的方程，求解该方程即可得到离心率的值. 【详解】如图，取该双曲线的右焦点为，不妨设在第一象限，连接， 因为，则点是的中点，且点为的中点， 又因点为的中点，则为的中位线，又，则， 将代入，可得，即， 故，因点为的中点，则得， 又因点在双曲线上，则， 结合，化简得，解得， 故C的离心率为. 5．在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____. 【答案】 【分析】根据得到，进而得到，建立关于的等式，利用齐次式求离心率. 【详解】如图，因为，所以，所以， 所以，即，因,代入整理得， 即，解得(负解舍去). 故答案为： 6．（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 【答案】 【分析】延长交椭圆于点，则与关于原点对称，进而推得，由椭圆定义及勾股定理求得的长度，进一步求出点的坐标，代入椭圆方程化简可得离心率. 【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知， 由椭圆的对称性可知，，， 因为，所以，所以， 设，则，所以， 则，即，解得， 所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为， 则，所以，即， 由得，所以的离心率 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】根据图形证明四边形是平行四边形，推出，根据已知条件，结合相似比求出离心率． 【详解】已知，则，故点在上，， ； M是直线与的交点，且M在双曲线上，故M、Q是直线与双曲线的两个交点， 故M与Q关于原点对称，原点O是线段的中点； 设双曲线的左焦点为，连接，由双曲线的对称性， 是中点，故四边形是平行四边形， 则，且， 由可得，内错角相等则， 又， 故，故， ，故， 解得，故． 题型05 利用点差法、斜率乘积 【技巧通法·提分快招】 点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 1．已知双曲线上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为_____ 【答案】 【分析】设,则，结合点在双曲线上得到，于是离心率. 【详解】设,则，所以， 又因为，，两式相减可得， 所以，因为，所以. 所以双曲线离心率为. 2．（2026高三上·广东深圳·专题练习）已知双曲线的右顶点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【分析】取双曲线的左顶点为，利用对称性得出，斜率之积为，因此可得，再由离心率定义计算可得结果. 【详解】设双曲线的左顶点为，连接，如下图所示：    因为为关于轴的对称点，所以斜率与斜率互为相反数， 设，易知， 由题意可知，斜率之积为，即， 可得；又，得到，因此； 所以，即双曲线的离心率为. 故答案为： 3．已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】设点，，，利用点差法求得直线的斜率，得到，再由点到直线的距离求得，得出、，即可求出离心率. 【详解】设点，，，则且， 两式相减，得，所以， 因为，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，可得，又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 4．不与轴重合的直线过点，双曲线上存在两点关于对称，中点的横坐标为.若，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【分析】利用点差法及两直线垂直的条件，结合斜率公式及已知条件即可求解. 【详解】设，则 ，两式相减得，即，即， 所以， 因为是垂直平分线，有， 所以，即，化简得， 因为， 所以，解得或(舍)， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 5．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 【答案】 【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示， 因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，， 又且，则是的中点， 所以，， 又点，在椭圆E上面， 所以，， 两式相减整理得， 即， 所以直线的斜率可以表示为， 又，在直线上， 所以直线的斜率为， 则，解得，即，， 所以，椭圆E的离心率为. 6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【答案】或 【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则右顶点， 设右焦点为，则，离心率为， 设点在椭圆上，可得，则， 又由直线和的斜率分别为， 因为直线和的斜率之积为，可得， 将代入上式，可得， 整理得，即， 即，所以， 因为，由椭圆的焦半径公式，可得， 又因为，可得，即，解得或， 所以椭圆的离心率为或. 题型06 求离心率的取值范围 【技巧通法·提分快招】 求离心率取值范围的常用方法 1、不等式法求离心率范围 （1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如:椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 1．已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 【答案】B 【分析】法一：设直线与曲线联立利用韦达定理求解；法二：利用渐近线与双曲线的关系直接求解. 【详解】法一：设直线方程， 与联立得， 设两交点坐标为， 则， 解得，即， 离心率; 法二：易知渐近线方程为,由题意得，离心率， 故选:B. 2．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 3．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出，然后结合椭圆的定义，以及离心率公式代入计算，再由三角函数的值域，即可得到范围. 【详解】因为以为直径的圆与C的一个交点为P，所以． 又，所以，， 所以， 所以离心率， 因为，所以， ，， 故． 故选：D 4．（2025·山西·模拟预测）如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义可得，在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，由双曲线的定义可知，， 又四边形为等腰梯形，且，则， 则， 在中，由余弦定理可得， ， 即， 化简可得，即，解得， 又，所以. 故选：D 5．（24-25高三上·甘肃庆阳·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围. 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 6．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用中点公式及点位置可得答案. 【详解】设，则，因为为线段的中点， 所以在轴右侧，且，即， 因为，所以，即，所以离心率的取值范围是. 故答案为：    7．已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为__________． 【答案】 【分析】在中，由正弦定理可得，再结合双曲线的定义和“三角形的两边之和大于第三边”，即可得解. 【详解】在中，，由正弦定理得， ，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以， 所以，在中，由， 得，即，所以，又，所以， 故答案为： 8．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用焦点在x轴上的双曲线渐近线斜率得到，再结合双曲线的关系和离心率公式计算得到离心率. 【详解】对于焦点在轴上的双曲线，它的渐近线方程为， 由题意得， 所以. 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，依次成等比数列，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项得到方程，变形得到，求出离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，； 所以依次成等比数列，即，也即. 故，即，解得. 又. 故选：B. 3．已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D    4．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 5．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 6．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助椭圆的定义与余弦定理可得与、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】，，设，则， 又由，则，可得，则， 又由，在中，由余弦定理， 有，则，故. 7．已知是上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆对称性设，结合点在椭圆上与直线斜率的表示可得，进而求解离心率即可. 【详解】结合椭圆的对称性可知关于原点对称， 设，则， ∴两式相减得，又， 可得，故椭圆离心率为，故B正确. 8．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，， 渐近线的斜率的绝对值为，所以， 因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 9．（25-26高三上·天津河北·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与C的右支交于点P，点M满足，且，则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算，判断三角形形状以及点M所在的位置，进而根据双曲线的性质以及离心率的定义，列出齐次方程，求出离心率的值. 【详解】 当点M满足，且，可知，且点M为线段的中点， 则，因为，所以，可知， 因为直线斜率为，所以，解得， 在中，，化简得， 变形得，解得或（舍）. 故选：A. 10．（25-26高三上·山东东营·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题设依次确定点P,Q的坐标，将Q点坐标代入双曲线方程，化简齐次式即可求解. 【详解】 由题意得直线的方程为， 联立，解得，即. 由可知是线段的中点，所以点坐标为， 因为点在双曲线上，将点坐标代入，得， 又，化简得，所以. 故选：D. 11．记O为坐标原点，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据椭圆的定义得，结合直角三角形的判定定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则， 因为， 所以， 因为， 所以是直角三角形， 在直角三角形中， 有 ， 所以， 在直角三角形中， 有 . 故选：A    12．（24-25高三上·湖南·阶段检测）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 13．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 14．（24-25高三上·江西新余·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为所在平面内一点，线段分别与交于两点，若为中点，为靠近端的四等分点，则的离心率的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上设坐标，结合平面向量的线性关系与坐标运算即可得坐标关系，利用椭圆上的点的坐标范围列不等式即可得求得的离心率的取值范围 【详解】设：， 则，所以， 又在上，则，故， 同理：设，由，， 因为在上，则，故①， 联立①式与的方程得：， 由于在上，则，解得：，即：. 故选：C. 15．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 16．（2026·浙江宁波·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（        ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设结合双曲线的定义可得，，再根据结合勾股定理及等面积法可得，，进而求得，进而求解离心率即可. 【详解】由于的中点记为，的中点记为， 则，即， 由于，则，即， 则，即①， 而，则，即②， 由①②，解得（因，另外一解舍去）， 则双曲线的离心率为. 17．已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 18．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性确定双曲线渐近线斜率范围，进而求出离心率范围. 【详解】依题意，不妨设双曲线的方程为， 而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且， 由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限， 又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或， 而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点， 因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：， 则，， 所以该双曲线的离心率的取值范围是. 19．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 20．（25-26高三上·天津河东·期末）已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合圆的定义和方程，双曲线渐近线与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由双曲线和抛物线的方程可得， 因为，所以点在以线段为直径的圆上， 显然该圆的圆心坐标为，半径为， 根据双曲线和圆的对称性， 不妨设点在双曲线的渐近线上，， 点在渐近线和圆上， 所以有到直线的距离不大于， 即， 即，而，所以. 故选：D 21．椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心，是的角平分线，. 又，. 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，. ，，. 由椭圆的定义得，，，. 在中，由余弦定理得, ，化简得. 该椭圆的离心率为. 22．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一点，是坐标原点，若是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况，列式求解椭圆的离心率即可. 【详解】如图1： 若，因为是等腰直角三角形，所以，即， 所以，所以.故A有可能成立； 如图2： 若，因为是等腰直角三角形，所以. 将代入，所以，所以. 所以，即，所以，所以， 所以或（舍去），故B有可能成立； 如图3： 若，则点横坐标为，将代入，得， 由，所以，所以， 所以或（因为，故舍去）. 由，所以.故D有可能成立. 故选：C 23．（2025·甘肃白银·三模）已知是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，过点作，与的另外一个交点为，连接，与轴交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设为的中点，设，，，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得的关系，从而可求双曲线离心率. 【详解】 如图，取的中点，连接， 因为为的中点，故， 设，，，， 因为在双曲线上，则，两式相减可得，， 即，而，， 故，即， 又因为，则，即， 所以，即，所以， 又，则, 即，故， 所以，而，故, 故，则双曲线的离心率为. 故选：C. 24．已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则双曲线的离心率为_______． 【答案】2 【分析】根据题意利用点差法整理可得，结合双曲线的离心率，运算求解. 【详解】关于原点对称，设，则 ∵两式相减整理得： ∴，则 故答案为：. 25．（2026·四川遂宁·二模）已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】依托椭圆定义，结合等腰三角形性质与三角形中位线定理可直接建立与长半轴的等量关系，结合已知椭圆中即可求出，进而计算离心率. 【详解】∵ 椭圆方程为（），根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，都有. ∵ 点满足，且， ∴ ，即为等腰三角形，. ∵ 于，等腰三角形三线合一， ∴ 为线段的中点. ∵ 是坐标原点，椭圆焦点关于原点对称，即是的中点， ∴ 在中，是三角形中位线. ∴ . ∵ ，∴ . ∴ ，得. ∴ . 26．直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 27．已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 【答案】 【分析】由圆的切线性质及椭圆的几何性质，结合三角形三边关系求离心率的范围. 【详解】若的内切圆与分别相切于，且位于第一象限， 所以，，，如下图示， 由， 且， 由三角形三边关系知，所以， 所以，而，故离心率范围为. 故答案为：    28．已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】 设，线段AB的中点， 则，两式相减得， 所以①， 设，线段CD的中点，同理得②， 因为，所以，则三点共线， 所以，将①②代入得：， 即， 所以，即， 所以， 故答案为： 29．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量得到线段比例，构造相似三角形以及三角形中位线，证得为中点，利用勾股定理建立关系式，依据与的单调性取右顶点处的最小值建立不等式求解离心率. 【详解】如图： 由，得，过作直线的垂线，垂足为， 设（也就是直线）与交于点，因为，故， 于是，由相似比可得，又为的中点， 又，根据三角形中位线的判定，为的中位线，则， 所以，即，结合三点共线，， 推出，也就是为线段的中点，由，为直角三角形， 由勾股定理得， 在中有，将、代入， 整理得：， 当点在双曲线第一象限向右上方运动时，与的长度均单调递增， 因此代数式的最小值出现在无限靠近双曲线右顶点处， 此时，，则该式的最小值趋近于， 题目要求存在满足条件的点，只需最小值小于，即， 展开并化简得，两边同时除以可得，由离心率定义，得， 故双曲线离心率的取值范围是. 创新能力提升 1．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 2．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 3．如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 4．（2026·河北邢台·二模）已知椭圆 的左焦点为F，直线l过坐标原点 O 且与椭圆交于第一象限内的一点A，若 则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换解得，进而得，在中，由正弦定理得，过点作轴于点，进而得点的坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由题意得：， 又， 所以，， 所以， 所以， 又，所以， 在中，由正弦定理有：， 所以， 过点作轴于点， 所以， 所以， ， 所以， 所以，所以， 化简整理得：，即， 解得，又，所以. 5．（2026·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由以为直径的圆与的某一个交点为，得；由得到平分，根据，是的中点，利用中位线、角平分线的性质等，结合，整理得；由椭圆定义得，由勾股定理得，以及，，即可计算出离心率. 【详解】设直线交直线于点. 由点在以为直径的圆上，得； ，平分，即. ，是的中点， ，，，； ； ，，整理得； 由椭圆定义得； 联立 ，解得，； 在中，，即，整理得 ； 由椭圆得，得； ，得，即； 由，得，，即的离心率为. 6．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则， 得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即， 进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $