重难点培优07 数列解答题题型全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦高考数列解答题核心考点，涵盖通项公式求法、求和技巧及不等式证明等，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构，先梳理构造思路、裂项技巧等基础，再分8类题型突破，通过考点梳理、方法指导与真题训练，助力学生系统构建知识网络。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如裂项相消题型通过“观察通项-确定公式-展开求和”四步训练逻辑推理，实战检测设重难巩固与创新提升分层练习，精准适配不同学生需求，可帮助教师高效把控复习节奏，提升学生解题能力与应考信心。

重难点培优07 数列解答题题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 数列中的证明及构造问题（★★★★★） 3 题型02 裂项相消基础型求和（★★★★★） 4 题型03 裂项相消其他型求和（★★★★） 6 题型04 分组、并项求和（含绝对值、奇偶类）（★★★★★） 7 题型05 错位相减法求和（★★★★★） 8 题型06 倒序相加法求和（★★★★） 10 题型07 数列与不等式（含放缩）（★★★★） 10 题型08 数列新定义及与其他知识交汇问题（★★★★★） 12 03 实战检测·分层突破验成效 14 重难知识巩固 14 创新能力提升 18 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 常见构造思路 （1）题中有有，可用求通项公式 （2）已知用累加法求通项公式 （3）已知用累乘法求通项公式 （4）已知用求通项公式 （5）已知用求通项公式 （6）已知用求通项公式 （7）已知用求通项公式 （8）已知用求通项公式 （9）已知用求通项公式 （10）已知用求通项公式 知识点02 常见的裂项技巧 指数型 对数型 知识点03 常见放缩 （1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。 注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如： （2），从而有： 注：对于还可放缩为： （3）分子分母同加常数： 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。 （4） 可推广为： 题型精研·技巧通法提能力 题型01 数列中的证明及构造问题 【技巧通法·提分快招】 1、求关于（其中，为常数，）类型的通项公式时，先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值，最后用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子，我们只需要记住在等式两侧同时加上一个常数，构造成等比数列.常数的值并不需要背诵，我们可以通过待定系数法推导出来. 2、求关于类型的通项公式时，与类型一讲述的构造方法很相似，只不过等式中多了一项，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项再构造等比数列就可以，即令,然后与已知递推公式各项的系数对应相等，解得,，从而得到数列是公比为的等比数列. 3、形如的数列，一般等式两边同除以，构造新的数列. 4、，，为常数，，，，的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式（，，是常数），进而求解. 1．已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 2．已知数列中，，.求证：数列是等比数列. 3．已知数列中，，．证明：数列为等比数列. 4．已知正项数列满足：.证明是等比数列，并求通项； 5．已知数列的前项和为，且．求证：数列为等比数列； 6．（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足：，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 7．数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 题型02 裂项相消基础型求和 【技巧通法·提分快招】 第一步：观察通项形式 常见裂项形式：分式型 、、、 等 第二步：确定裂项公式 有时需先对通项进行变形，如分子配凑、有理化等 第三步：展开求和 将通项裂开后，写出前 项和 ，观察抵消规律，通常剩下首尾若干项 第四步：化简得结果 合并剩余项，注意项数，必要时需讨论 的取值 1．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知是等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 3．（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 4．在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在等差数列中，公差，已知成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列的前项和． 题型03 裂项相消其他型求和 1．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 2．设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 3．（2026·浙江·二模）已知数列的前项和为，，且对，. (1)求； (2)证明：. 4．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 6．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 题型04 分组、并项求和（含绝对值、奇偶类） 【技巧通法·提分快招】 第一步：分析通项特征 观察通项是否含有 、 等导致奇偶项规律不同，或者通项可拆分为等差、等比、常数列的和 第二步：选择策略 分组求和：若 ，则 奇偶并项：若奇偶项分别构成简单数列，则分别求 和 ，注意项数或每两项并为一组，先求前 项和 第三步：分别求和 对每一组分别用等差、等比公式求和。注意项数需根据 的奇偶性分类讨论 第四步：合并结果 将各组的和相加，得到 的表达式，通常需分段写出（ 为偶数或奇数） 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)记，求数列的前项和. 3．（2026·辽宁朝阳·三模）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 4．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 5．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，且，求数列的前项和． 6．（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 7．（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 题型05 错位相减法求和 【技巧通法·提分快招】 第一步：写出 和 设 ，其中 。写出 的表达式，注意将各项对齐 第二步：错位相减 由于 （常数），中间部分成为等比数列 第三步：求和化简 对中间等比数列求和，再整理得 的表达式 第四步：解出 两边除以 得，注意 时需单独处理（等差数列求和） 1．（2026·四川资阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 2．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 5．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 题型06 倒序相加法求和 1．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 2．函数，数则满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围. 3．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 4．已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 题型07 数列与不等式（含放缩） 【技巧通法·提分快招】 第一步：明确目标不等式 分析要证明的不等式形式，是 、 还是和式与常数的比较 第二步：选择放缩方向 裂项放缩：将通项放大或缩小为可裂项的形式，然后求和相消。等比放缩：将通项放大为等比数列的通项，便于求和。单调性放缩：利用数列单调性，用首项或末项代替整体。先求和后放缩：先求出和式再与目标比较 第三步：实施放缩 对通项进行适当放大或缩小，注意放缩的尺度要适度，既要使新数列可求和，又要保证不等式方向正确 第四步：证明结论 通过求和、化简，得到放缩后的不等式，再与目标比较，必要时结合数学归纳法证明 关键技巧 1. 常用放缩公式：（）； 等 2. 保留前几项：有时需保留前几项不放大，以保证精度 3. 数学归纳法：当放缩不易直接求和时，可用归纳法证明 1．记为数列的前项和，记 (1)求的通项公式； (2)设，证明： 2．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的正整数的取值范围． 3．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 4．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 5．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 6．已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和； (3)设，证明：． 7．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 题型08 数列新定义及与其他知识交汇问题 1．已知数列满足 (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求. 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 3．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 4．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 5．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 6．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 7．（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（2026·贵州毕节·二模）设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 4．（2026·陕西·二模）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 6．（2025高三上·广东肇庆·专题练习）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和． 7．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)记，求的前项和为. 8．已知数列满足． (1)若为等差数列，求； (2)若，求． 9．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 10．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 11．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 12．已知在数列中，，，为等比数列，． (1)求实数和数列，的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证：对任意，都有． 13．已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 14．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 15．（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 17．（2026·湖南永州·三模）抛物线（）上有一系列点，，…，…，对于所有正整数n，以点为圆心的与y轴相切，且与又彼此外切．若，点到C的焦点的距离为，且． (1)求抛物线C的方程； (2)证明：数列是等差数列； (3)设的面积为，，求证：． 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 19．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 创新能力提升 1．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足 (1)求数列的通项公式； (2)若当时，求 的前n项和 2．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 3．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 4．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知数列满足，． (1)求证：． (2)记， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：对任意实数，存在正整数s使得． (3)设c为正实数，若对任意正整数，都有，求c的最小值． 5．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设，，数列的前项和为，证明：． 6．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． (1)若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； (2)已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 7．（2025·吉林·二模）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8．已知数列的首项为，点在函数的图象上． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 9．（2026·山东聊城·一模）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． (1)证明：； (2)若，证明：当为偶数时，； (3)若，证明：当时，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优07 数列解答题题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 数列中的证明及构造问题（★★★★★） 3 题型02 裂项相消基础型求和（★★★★★） 6 题型03 裂项相消其他型求和（★★★★） 10 题型04 分组、并项求和（含绝对值、奇偶类）（★★★★★） 15 题型05 错位相减法求和（★★★★★） 21 题型06 倒序相加法求和（★★★★） 27 题型07 数列与不等式（含放缩）（★★★★） 31 题型08 数列新定义及与其他知识交汇问题（★★★★★） 38 03 实战检测·分层突破验成效 48 重难知识巩固 48 创新能力提升 67 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 常见构造思路 （1）题中有有，可用求通项公式 （2）已知用累加法求通项公式 （3）已知用累乘法求通项公式 （4）已知用求通项公式 （5）已知用求通项公式 （6）已知用求通项公式 （7）已知用求通项公式 （8）已知用求通项公式 （9）已知用求通项公式 （10）已知用求通项公式 知识点02 常见的裂项技巧 指数型 对数型 知识点03 常见放缩 （1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。 注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如： （2），从而有： 注：对于还可放缩为： （3）分子分母同加常数： 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。 （4） 可推广为： 题型精研·技巧通法提能力 题型01 数列中的证明及构造问题 【技巧通法·提分快招】 1、求关于（其中，为常数，）类型的通项公式时，先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值，最后用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子，我们只需要记住在等式两侧同时加上一个常数，构造成等比数列.常数的值并不需要背诵，我们可以通过待定系数法推导出来. 2、求关于类型的通项公式时，与类型一讲述的构造方法很相似，只不过等式中多了一项，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项再构造等比数列就可以，即令,然后与已知递推公式各项的系数对应相等，解得,，从而得到数列是公比为的等比数列. 3、形如的数列，一般等式两边同除以，构造新的数列. 4、，，为常数，，，，的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式（，，是常数），进而求解. 1．已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)见解析 (2). 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）证明:， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列.；； （2）由（1）可得：， . 2．已知数列中，，.求证：数列是等比数列. 【分析】由变形为，结合等比数列定义证明即可. 【详解】证明：因为，则， 且，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列. 3．已知数列中，，．证明：数列为等比数列. 【分析】利用等比数列的定义结合构造法即可证明. 【详解】证明: 因为，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 4．已知正项数列满足：.证明是等比数列，并求通项； 【分析】根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式. 【详解】证明： 由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. 5．已知数列的前项和为，且．求证：数列为等比数列； 【分析】利用与的关系式，求出递推公式，再结合等比数列的定义即可证明. 【详解】证明：当时，可得，又，所以，解得， 当时 ，由，可得， 则， 整理得：， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 6．（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足：，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【分析】（1）利用等比数列的定义求证即可； （2）利用（1）的结论，可求得，利用分组求和的方法求和即可. 【详解】（1）证明：由可得， 又，所以， 则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 所以 . 7．数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 题型02 裂项相消基础型求和 【技巧通法·提分快招】 第一步：观察通项形式 常见裂项形式：分式型 、、、 等 第二步：确定裂项公式 有时需先对通项进行变形，如分子配凑、有理化等 第三步：展开求和 将通项裂开后，写出前 项和 ，观察抵消规律，通常剩下首尾若干项 第四步：化简得结果 合并剩余项，注意项数，必要时需讨论 的取值 1．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知是等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列前项和的性质结合已知求出公比，再求出首项，即可得解； （2）利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则，所以， 又，所以，所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， 所以， 所以. 2．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用对数运算性质化简递推式得到数列相邻两项比值，通过累乘法求出通项，再验证的情况得到数列的通项公式； （2）先对裂项相消求出前项和，再解关于的不等式，结合正整数条件求出的最大值. 【详解】（1）当时，， 可得， 所以， 则， 当时，符合上式， 故，． （2）由（1）得，， 所以，     则，解得，又因为，所以的最大值为． 3．（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 4．在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以. 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【分析】（1）由已知递推式，得到，结合等差数列的定义即可证明结论，由等差数列通项公式，即可得到所求通项公式； （2）求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【详解】(1) 因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． (2)证明：因为， 所以 因为，所以 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在等差数列中，公差，已知成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列的前项和． 【分析】（1）由可得，结合等差数列通项公式及等比数列定义计算求解即可； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【详解】（1）由，得 ，解得， 故． 将数列记为， 因为为等比数列，所以公比， 所以．① 又，② 由①②，得． （2）因为， 所以， 所以 题型03 裂项相消其他型求和 1．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系，可求数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求，利用等比数列的前n项和公式可求得，可求t的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 2．设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 【答案】 【分析】由题意根据等差数列通项公式求法可得，进而可得，根据裂项相消法可得，结合题意列不等式计算即可求解. 【详解】由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即．所以， 故，， 所以． 由，得，解得． 又，故的最小值为． 3．（2026·浙江·二模）已知数列的前项和为，，且对，. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件化简递推公式，再根据累乘法求出通项公式； （2）由（1）可知数列为等差数列，前项和为，由裂项相消求和即可得出证明. 【详解】（1）解：（1）由题意得①， 当时，②，联立①②，解得， 又， 当时，，，，， 由累乘可得，所以，又符合上式， 所以. （2）证明：由（1）知数列为等差数列，则， 所以， 故， 因为，所以得证. 4．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得即可求证； （2）化简得即可求出. 【详解】（1）由，得，则，                当时，则，得，                      所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）得，， 则，                 所以         ， 所以． 6．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （2）因为，则．所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 题型04 分组、并项求和（含绝对值、奇偶类） 【技巧通法·提分快招】 第一步：分析通项特征 观察通项是否含有 、 等导致奇偶项规律不同，或者通项可拆分为等差、等比、常数列的和 第二步：选择策略 分组求和：若 ，则 奇偶并项：若奇偶项分别构成简单数列，则分别求 和 ，注意项数或每两项并为一组，先求前 项和 第三步：分别求和 对每一组分别用等差、等比公式求和。注意项数需根据 的奇偶性分类讨论 第四步：合并结果 将各组的和相加，得到 的表达式，通常需分段写出（ 为偶数或奇数） 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入原等式化简，即可得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）分和两种情况，结合等差数列前项和公式讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，由于，解得， 当时，由于，所以， 化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1）知，则， 当时，，所以， 此时， 则， 当时，，且， 此时， 综上，. 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比中项性质列方程求解公差，再代入等差数列通项公式、前项和公式计算即可； （2）将拆分为裂项相消型和等比型两部分，分别求和后相加得到. 【详解】（1）由题可知， 因为，，成等比数列，所以， 解得或（因为，所以舍去）， 所以，； （2）由（1）可知， 所以 . 3．（2026·辽宁朝阳·三模）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． （2）当时，， ． 4．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 5．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，且，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项的性质，结合的值，求出和，最后写出数列的通项公式. （2）先求数列的首项，再根据项数的奇偶分类讨论求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，，成等差数列，所以， 代入，，即， 所以． 又，所以， 所以． 故． （2）由（1）知，，则，且， 当为偶数时， . 当为奇数时， ． 综上，. 6．（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 7．（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先假设是等差数列，结合条件可得，从而假设错误，即可求解； （2）（i）根据条件可猜想当时，，用数学归纳法，即可求解；（ii）由（i）得，分为偶数和奇数，利用分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 题型05 错位相减法求和 【技巧通法·提分快招】 第一步：写出 和 设 ，其中 。写出 的表达式，注意将各项对齐 第二步：错位相减 由于 （常数），中间部分成为等比数列 第三步：求和化简 对中间等比数列求和，再整理得 的表达式 第四步：解出 两边除以 得，注意 时需单独处理（等差数列求和） 1．（2026·四川资阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和与第n项的关系及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则，依题意，因此， 所以数列是等差数列. （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 则， 因此， 两式相减得 所以． 2．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【分析】（1）应用等比数列定义证明，再结合等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. ， 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为，即； （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 3．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由于，利用错位相减法，分别写出和的表达式，两式相减即可计算． 【详解】（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以． （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 4．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）将、依次代入列方程求对应项即可； （2）根据已知等量关系，应用作差法得，即，结合等比数列的定义证明即可； （3）由题意 ，应用错位相减法求即可. 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，，则， 知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 5．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 题型06 倒序相加法求和 1．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）将，代入函数解析式求，将，代入函数解析式求； （2）将相应的自变量值代入函数解析式化简即可求解； （3）借助（2）中的结论即可求解. 【详解】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以， 由（2）知， 所以. 2．函数，数则满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得，裂项相消求和得，求出的取值范围. 【详解】（1）证明： ， 则， ， 两式相加，得，即. （2）由（1），， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，， ， ， 由题，，所以， 因为， 设，， 由对勾函数的性质，当时，最小，即， 所以当时，最大，即， 所以. 3．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 4．已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解； （2）利用倒序相加法求和即可. 【详解】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 题型07 数列与不等式（含放缩） 【技巧通法·提分快招】 第一步：明确目标不等式 分析要证明的不等式形式，是 、 还是和式与常数的比较 第二步：选择放缩方向 裂项放缩：将通项放大或缩小为可裂项的形式，然后求和相消。等比放缩：将通项放大为等比数列的通项，便于求和。单调性放缩：利用数列单调性，用首项或末项代替整体。先求和后放缩：先求出和式再与目标比较 第三步：实施放缩 对通项进行适当放大或缩小，注意放缩的尺度要适度，既要使新数列可求和，又要保证不等式方向正确 第四步：证明结论 通过求和、化简，得到放缩后的不等式，再与目标比较，必要时结合数学归纳法证明 关键技巧 1. 常用放缩公式：（）； 等 2. 保留前几项：有时需保留前几项不放大，以保证精度 3. 数学归纳法：当放缩不易直接求和时，可用归纳法证明 1．记为数列的前项和，记 (1)求的通项公式； (2)设，证明： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）分别讨论和，利用，并验证首项是否满足公式； （2）由得的裂项形式，将和式裂项相消后转化为关于的简单表达式，再利用分母为正进行放缩，完成不等式证明. 【详解】（1）当时，； 当时，，代入得 ， 验证时，，符合上式. 因此的通项公式为. （2）由，代入通项得，变形得， 对和式裂项相消得. 因为是正整数，，所以，因此， 即，得证. 2．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的正整数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用递推式求得，然后利用与的关系，结合等差数列通项公式求解即可； （2）先利用裂项相消法求得，解不等式可得取值范围． 【详解】（1）由，且，可得，即， 当时，由，可得， 两式相减可得，因为，可得， 即该数列的奇数项构成以为首项公差为2的等差数列，偶数项构成以为首项公差为2的等差数列， 即有， 可得； （2）， 可得数列的前项和． 则，即， 当时，成立；当时，成立；当时，成立， 当时，， 综上所述，使得成立的正整数的取值范围是. 3．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 4．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【分析】（1）根据题设整理可得，进而求证即可； （2）由（1）得，结合指数函数的性质可得，进而求和即可求证. 【详解】(1)由，则， 由于，则， 所以，则， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由（1）得，，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则，即， 所以. 5．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 6．已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和； (3)设，证明：． 【分析】（1）可化为，利用等比数列的定义即可证明，利用等比数列的通项公式即可求出； （2）利用错位相减法即可求出答案； （3）由题意知，先证明当时、当时，不等式成立，当时，，利用等比数列前项和公式求和即可证明. 【详解】(1)因为，所以， 将上式变形为，                                       又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，           所以，所以. （2）由（1）知，所以， 所以     ①，                          ②，                        ①-②得 ，                           所以. （3）由题知，当时，； 当时，；                                       当时，，                               所以                        综上，得证. 7．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用数列前项和与的关系，再结合首项的值确定通项即可； （2）法一：直接放缩法，利用即可证出； 法二：由可得，即可证明不等式. 【详解】（1）因为为正项数列，①， 当时，得； 当时，②， ①－②得，，得． 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以． （2）因为， 所以当时， ， 当时也符合，所以原不等式成立． 解法2：因为，所以， 所以， 所以当时， ， 当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立． 题型08 数列新定义及与其他知识交汇问题 1．已知数列满足 (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）对 ，两边同除以 ，利用等差数列的定义证明是等差数列. （2）先对两边求导，由第（1）问得出代入，得到，再利用错项相消求的值. 【详解】（1）由 ，两边同除以 ， 得，即 . 令，则 ， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，即是等差数列. （2）由（1）可知， ，即 ，时，也满足. 由， 得，又， 所以. 所以， 令， 则， 两式相减，得 ， 所以 ，即. 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式； （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 3．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【答案】(1)存在；11，10，9，8，7. (2)见解析 (3)46 【分析】（1）求出、、、、后，根据“默契数列”的定义判定即可； （2）由“默契数列”的定义，结合数列单调性讨论的符号即可得解； （3）根据数列及其“默契数列”中项的特征，结合单调性分析出，即可得解. 【详解】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）单调递减，证明： 数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 4．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）8 【分析】（1）代入点的坐标，得出抛物线方程，即可求出准线方程； （2）（i）利用斜率可得，再由等差数列的定义判断数列为等差数列，即可求出前项和； （ii）法一：利用弦长公式、点到直线的距离求三角形面积，法二：利用向量外积求三角形面积即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以的准线方程为. （2）由（1）知的方程为， （i）， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）将代入得， 则， 法一： 直线的方程为， 点到直线的距离， ， 的面积. 法二： . 5．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 【分析】（1）先检查数列是否为严格递增的正整数数列，再代入性质中的等式验证. （2）把与奇数作差，利用性质把换成，再与前个正奇数的和比较. （3）设，将结论转化为证明的项有无穷多个，再用反证法说明若只出现有限次，则最终只能为正或为负，都会与第（2）问得到的恒等关系矛盾． 【详解】（1）①当时，显然为正整数，且. 又因为，所以 . 从而. 前个正奇数的和为，所以. 故数列具有性质. ②当时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取，有. 而，同时 . 所以. 不满足性质中的条件②，故数列不具有性质. （2）由数列具有性质，得． 因此， 所以，所以． （3）设数列满足． 由题知，得，即， 假设中满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 即当时，或． ①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 由第二问可知恒成立.(1) 设，由于当时，，又是整数，有， 所以， 所以对满足的正整数，，与(1)式矛盾． ②若满足的项数有限，同理可得矛盾． ③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足， 因此，存在正整数，使得且， 因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾， 所以数列中有无穷多项为0． 即集合是无限集． 6．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，根据题设得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为“型数列”， 所以， 即，所以数列是等差数列， 又，，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 又因为，也成立，所以为等比数列， 公比，因此. （2）由（1）可得， 设， 因为， 故数列的前项的和为 . （3）不存在，理由如下： 由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以. 又，， 假设存在实数，，，使得数列为“型数列”， 则， 即， 整理得， 所以解得，，，不满足，为非零常数， 因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”. 7．（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 【答案】(1)数列不是2阶等差数列；数列是2阶等差数列； (2)见解析 【分析】（1）根据二阶差分数列及2阶等差数列的定义逐一判断即可； （2）（ⅰ）取，根据二阶等差数列的定义证明即可； （ⅱ）由（ⅰ）可知，利用累加法可得，中，，可求得，从而得，代入，利用放缩法可得，利用错位相减即可得证. 【详解】（1）由数列的阶差分数列可得： 数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为， 此差不是不为0的常数， 故数列不是2阶等差数列； 数列的一阶差分数列为 二阶差分数列为， 故数列是2阶等差数列； （2）（ⅰ）证明：取，则有， 又因为， 所以，， 所以， 所以， 所以数列为二阶等差数列； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知， 令， 则， 所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 即， 当时，， ， ， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以， 在中，取， 得，所以 即，解得， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以, 所以，得证. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 2．（2026·贵州毕节·二模）设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可. （2）通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可. 【详解】（1）当时，，得． 当时，， ， 两式相减得，则． 当时，符合上式， 所以． （2）由（1）得， 所以， 故． 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，求出，再利用累加法，即可求解； （2）根据条件，利用分组求和、错位相减法和等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，， 当时，，满足上式， 所以， 因为，，成等比数列， 所以，整理得到，解得， 所以， 因为数列满足，，所以， 当时，， 所以， 所以时， ， 适合上式，所以的通项公式为. （2）由（1）知， 令， ， 则， 所以 ， 所以，又， 所以． 4．（2026·陕西·二模）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，；，． (2) 【分析】（1）运用等比数列的定义求得，在求解通项公式，注意递推时，需要检验的情形； （2）整理可得，利用裂项相消法，注意加减后保留项即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，． （2）由于， 所以 5．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)结合化简即可证明结论； (2)由（1）得 ，代入可得，利用错位相减即可得到数列的前项和. 【详解】（1）由题意得（否则不满足题设条件），故，    因此， 故数列是等差数列. （2）由（1）得故 ， 两式相减得， 所以. 6．（2025高三上·广东肇庆·专题练习）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用关系及等比数列的定义求通项公式； （2）由已知及（1）得，应用裂项相消法求； （3）由已知及（1）得，应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）当时，，即， 当时，①，②， ①②得，即， 所以数列是首项，公比为的等比数列， 故数列的通项公式为； （2）， 所以数列的前n项和 ； （3）由题设， 则③， ④， ③④得 ， 化简得. 7．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)记，求的前项和为. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知两边同除以，得，再由构造法得，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出； （2）将数列的通项公式代入，化简得，利用裂项相消法求出． 【详解】（1）证明：因为，，， 所以，，在两边同除以， 得，所以， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. 所以时， ， 当时，适合上式， 所以，， ； （2）因为 ， 所以 . 8．已知数列满足． (1)若为等差数列，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为等差数列，所以，又，则，即，解得． （2）①当为偶数时， ； ②当为奇数时， ． 注：本题第（2）问也可以利用隔项型递推公式求出通项再求和． 9．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． 【分析】（1）通过构造新数列，证明为常数且首项非零，从而判定为等比数列； （2）先利用（1）的结论求出与的通项，再分组求和得到的表达式，结合数列单调性与特殊值分析，确定满足的正整数. 【详解】（1）证明：， ， 又 是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故， 即， 由，得， ， ， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，， ∴当时，； 综上，满足的所有正整数为1． 10．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 11．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     12．已知在数列中，，，为等比数列，． (1)求实数和数列，的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证：对任意，都有． 【答案】(1)，，． (2)见解析 【分析】（1）设的公比为，由等比数列定义结合题意列式计算即可求得，，再由等比数列定义求解可得，代入可得； （2）采用放缩法可得，由裂项相消法计算即可得证. 【详解】（1）设的公比为，则， ， 即， 整理得， 解得，． 因为， 所以，得； （2）证明: ， ． 因为，所以得证． 13．已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【答案】(1)见解析 【分析】（1）可根据等差数列的定义，通过计算 是否为常数即可证明； （2）由（1）得到 的通项公式，再利用累加法求出 的通项公式； （3）先对 进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知 是以 4 为首项，4 为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得 . 当 时，. 将 代入上式可得：. ， 当 时， ，上式也成立. 所以数列 的通项公式为 . （3）已知 ，移项可得 , 则 , 当 时， , 因为 （常数），且首项 ， 所以 是以 4 为首项， 4 为公差的等差数列. (2) (3)因为 ， 所以 . 当 时， ，不等式成立； 当 时， . . 所以 . 14．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 【分析】（1）分析可知，对任意的，且，可得出，变形得出，结合等比数列的定义即可证得结论成立； （2）利用（1）中的结论求出数列的通项公式，分析可知数列是各项均为正数的单调递减数列，分、两种情况，由结合数列的单调性即可证得结论成立； （3）由不等式的性质得出，利用错位相减法求出数列的前项和，可得出，由结合不等式的传递性可证得结论成立. 【详解】(1)因为数列满足，且，可得， 由，得，可得， 由，得，可得，， 以此类推可知，对任意的，且，所以， 所以，可得， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2)由（1）可得，所以，故， 易知数列是各项均为正数的单调递减数列， 因为，所以， 当时，， 当时，，所以， 所以，对任意的，， 综上所述，. (3)因为， 所以， 令①， 可得②， ①②得， 所以，故，故对任意的，. 15．（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系，可得是等差数列，利用等差数列通项公式可得答案； （2）先根据求出的通项公式，利用并项求和可得答案. 【详解】（1）因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. （2）由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 17．（2026·湖南永州·三模）抛物线（）上有一系列点，，…，…，对于所有正整数n，以点为圆心的与y轴相切，且与又彼此外切．若，点到C的焦点的距离为，且． (1)求抛物线C的方程； (2)证明：数列是等差数列； (3)设的面积为，，求证：． 【分析】（1）通过抛物线的定义求解抛物线方程； （2）寻找 的关系，从而判断数列是等差数列； （3）进行不等式放缩，再通过裂项相消求和求解. 【详解】（1）由题意，设抛物线C的焦点为F，有， 解得或2，又，所以取，故抛物线C的方程为． （2）依题意的半径为，的半径为，又和两圆相外切， 则，即， 两边平方整理得， 所以， 又，所以，即， 因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． （3）由（2）得，即， 又，所以， 所以①当时，成立； ②当时，因为， 所以 ， 综上，得证． 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 19．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 【分析】（1）通过变形公式和数列与的关系即可求解，然后利用累加法可求数列的通项公式； （2）通过放缩法即可求解； （3）根据题意得到和，然后设即可证明. 【详解】（1）由可得，令，则，所以，， 因此数列是以 为首项， 为公差的等差数列， 由， 因此当时，有，得 由于 ，所以，所以，即， 当 时，，符合上式，所以， 因为是正项数列，所以. (2)由（1）得，由于是互不相同的正整数，不妨设， 显然，并且在 时单调递减，所以， 当 时，， 当时，由于， 所以， 得， 即， 所以， 因此，对任意互不相同的正整数，都有. (3)数列具有“积回归性”，证明如下： 由（1）得，则， 对任意的，， 所以， 不妨设，则， 要使，即，得， 即当时，有，由于，是正整数， 因此对任意，均存在正整数 ，使得，即数列具有“积回归性”. 创新能力提升 1．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足 (1)求数列的通项公式； (2)若当时，求 的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式，再结合已知条件列出关于首项和公差的方程组，进而求解出和，最后得到数列的通项公式即可； （2）先根据（1）中求出的的通项公式，判断时的正负性，再根据的分段表达式求出的值即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 可得： 解得： 所以：， 故数列的通项公式为：. （2）由可知， 当时，，此时， 当时，，所以， 当时，，所以， 故 因为每一组括号内的和为公差，共5组，因此：， 因为，代入得：， 又因为， 所以， 所以当时，，是一个首项为，公差为的等差数列， 所以，前项和为： . 2．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． 【分析】（1）通过构造新数列，证明为常数且首项非零，从而判定为等比数列； （2）先利用（1）的结论求出与的通项，再分组求和得到的表达式，结合数列单调性与特殊值分析，确定满足的正整数. 【详解】（1）证明：， ， 又 是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故， 即， 由，得， ， ， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，， ∴当时，； 综上，满足的所有正整数为1． 3．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【详解】（1），，， ，解得，故； 同理，解得， ． （2）①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． （3）， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 4．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知数列满足，． (1)求证：． (2)记， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：对任意实数，存在正整数s使得． (3)设c为正实数，若对任意正整数，都有，求c的最小值． 【分析】（1）运用配方法进行运算证明即可； （2）（ⅰ）运用配方法，结合（1）中的结论进行求解即可； （ⅱ）运用放缩法，通过取对数进行求解即可； （3）运用取倒数法，结合裂项求和法进行求解即可. 【详解】（1）由， 所以当时，， 又因为，所以当时，； （2）（ⅰ）因为， 所以， ， 因为，且，可知数列单调不减，所以，所以，所以， 又因为，所以； （ⅱ）因为， 所以，当时取等号， 则 ， ， 则，当且仅当时取等号， 对任意实数，令， 取，其中表示不超过的最大整数， 则当时，任意实数，存在正整数s使得成立； （3）由（2）可知， 所以，即， 因为，， 所以 ， 即，即，所以c的最小值为. 5．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设，，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得的图象在点处的切线的斜率，从而得到切线方程； （2）构造函数，利用导数分析的单调性，利用单调性可得，从而证得； （3）利用（2）的结论，可得时，，结合均值不等式可得；令，，利用放缩法及裂项相消求和法可证得． 【详解】（1）由，， 得， 所以， 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）令，则，. 令，， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，即时，， 所以． 令，，则， 代入上式得， 所以 ， 所以． 6．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． (1)若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； (2)已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）的分布列 X 0 1 2 3 ． （ⅱ）见解析 【分析】（1）根据题意分析可知数列即，结合并项求和法运算求解； （2）（ⅰ）分析可知的可能取值为：0，1，2，3，且集合中元素的个数共有个，进而可得分布列和期望；（ⅱ）分析可知的可能取值为：1，2，3，…，k，集合中元素的个数共有个，结合组合数的性质求分布列和期望，进而分析证明. 【详解】（1）因为是16项数列，当且仅当时，， 当，和时，， 又因为，所以数列即， 设的所有项的和为S， 则 所以数列的所有项的和为． （2）（ⅰ）因为数列，是从集合中任意取出的两个数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：0，1，2，3， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 可得，；；； 随机变量的分布列 X 0 1 2 3 所以． （ⅱ）证明：因为数列，是从集合中任意取出的两个不同数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相反，其余项，两者均在同一位置数字相同， 由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 因为， 所以 ， 即． 7．（2025·吉林·二模）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）先根据抛物线过的点求出，然后利用得，然后根据等比数列的定义证明，并根据等比数列的通项公式求解即可. （2）法一：求出直线的斜率，进而求出直线方程，求出到直线的距离及，代入三角形面积公式求解即可. 法一：先证明在中，，则的面积，然后代入三角形面积公式求解即可. （3）先根据求出，利用等差数列求和公式得，再代入已知等式列式求解，即可求得满足条件的正整数. 【详解】（1）证明：点在抛物线上，， 即抛物线方程为. . 即. . . 是以2为首项，2为公比的等比数列，即. 符合上式，数列的通项公式是. （2）（法一）. 直线的斜率为. 直线的方程为：，即. 到直线的距离为， . . （法二）证明：在中，， 则的面积. 证明如下：， . 下面求的面积. ， . . （3）. . . .， 或或. 解得或或（舍）. 或. 【点睛】关键点点睛：对于新结构数列的证明问题，要结合题干中递推式关系，根据等比数列（等差数列）的定义式判断即可，注意证明等比数列时，要说明项不为0. 8．已知数列的首项为，点在函数的图象上． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 【分析】（1）由点在函数图像上得递推式，取倒数变形构造，证得等比后利用等比通项反解出； （2）（i）代入化简求出，再算出，得到等差乘等比型数列，采用错位相减法求前项和； （ii）设连续项和，结合全为奇数，通过模分奇偶讨论；偶数时和为偶数矛盾舍去，奇数可找到对应正整数满足条件，故为全体正奇数． 【详解】（1）因为点在函数的图象上， 所以，即， 整理得， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得； （2）（i），， ， 所以①， ②， ①②得， ， 所以； （ii），设数列从第项开始，连续项的和为， ， ，数列的项全部为正奇数，因此要求为奇数，即为奇数， 因为恒为奇数，所以必须为奇数， 题意等价于存在正整数，使得③， 当为正偶数时， 令， ，因此， ，即是的倍数， 所以是偶数，与必须为奇数矛盾，即为正偶数均不满足条件， 当为正奇数时， 令， ，奇次幂保持余数， ，即除以余， 所以为奇数， 证明如下：取（取数列第一项为连续段起点）， 代入③得，解出， 为奇数，则为偶数，设，， ，， 所以能被整除，为整数， 又，代入得，即是正整数， 所以对任意正奇数，取时，总能找到对应的正整数，使连续项和，满足题意， 即满足条件的正整数是全体正奇数，即． 9．（2026·山东聊城·一模）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． (1)证明：； (2)若，证明：当为偶数时，； (3)若，证明：当时，． 【分析】（1）构造单调函数，利用零点存在与单调性锁定零点区间，快速证得; （2）先归纳得到数列奇偶项分处两侧，再构造递增函数证相邻两项和小于，偶数项求和放缩即得结论； （3）根据(2)问结论，构造函数，借助函数的单调性得到相邻两项和上下界，再分奇偶对分类放缩求和，结合的范围完成不等式证明. 【详解】(1)证明：由题意，有，即． 记，则， 求导得，于是在上单调递增． 而，， 由零点存在定理，得，即． (2)证明：易知在单调递减． 因为，所以，即，于是，即． 依次反复操作，易推得，，①． 证明如下：假设，则，即， 于是，即，于是结论①得证． 记，则， 于是在上单调递增． 因为，所以，即， 于是，， 于是当为偶数时，． (3)先证明，，②． 由已知可得，假设，， 易知在单调递减，于是，即， 于是，即，于是结论②成立． 由（1）可知，在上单调递增， 又，于是，结合（1）可知． 由（2）知，在上单调递增， 因为，，所以，即，即． 因为，所以，即，即． 当且为偶数时， ， ； 当且n为奇数时， ， ． 综上，当时，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $