重难点培优06 空间中的距离问题题型全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优06 空间中的距离问题题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 求点到面的距离：等积法（★★★★） 4 题型02 求点到面的距离：空间向量法（★★★★★） 5 题型03 求点到线的距离（★★★★★） 7 题型04 求其他的距离问题（★★★★） 9 题型05 距离中的探索性与最值问题（★★★★） 10 03 实战检测·分层突破验成效 12 重难知识巩固 12 创新能力提升 17 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 点到直线的距离（点线距） 1、点在直线上的射影 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影． 点到垂足的距离叫点到直线的距离． 2、点线距的求法： 点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。 知识点02 点到平面的距离（点面距） 1、点到平面的距离： 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短 2、点面距的求解问题，主要有三个方法： （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 知识点03 其他距离 一、异面直线的距离（线线距） 1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. 2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 二、直线到平面的距离（线面距） 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).如果一条直线平行与平面,则直线上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的距离相等；垂线段小于或等于上任意一点与平面内任一点间的距离； 三、平面到平面的距离（面面距） 1、两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线. （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段. （3）两个平行平面的公垂线段都相等. （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长. 2、两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 知识点04 点到直线的距离向量求法 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点05 点到平面的距离及其他距离向量求法 1、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 求点到面的距离：等积法 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． (1)求证：F是棱PD的中点； (2)求证：平面； (3)求点P到平面的距离． 2．如图，三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 3．如图三棱锥中，，，平面平面．平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为，求点到平面的距离． 4．如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的平面角的大小； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 题型02 求点到面的距离：空间向量法 【技巧通法·提分快招】 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 1．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)点在线段上，且，求点到平面的距离． 2．如图，四边形是梯形，，，，，，，是线段的中点． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求直线到平面的距离． 3．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 4．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离． 5．如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.若平面平面，，. (1)求证： (2)若点到平面的距离为，求的值. 题型03 求点到线的距离 【技巧通法·提分快招】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 1．如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点. (1)求证：平面； (2)求到直线BD的距离. 2．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，，.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求中点到直线的距离． 3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.    (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 4．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 题型04 求其他的距离问题 1．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 4．（多选题）正方体中，，下列说法正确的是（    ） A．直线到平面的距离为1. B．到的距离为. C．点B到直线的距离为 . D．平面到平面的距离为. 题型05 距离中的探索性与最值问题 1．如图，在四棱锥中，，底面为边长为2的菱形，且. （1）证明：； （2）若，在线段上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 2．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 3．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且. (1)是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 4．（24-25高三下·山西·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 5．如图，四棱锥中，平面，， ，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面平面； (2)若是上靠近的四等分点，求点到平面的距离． 2．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，O是的中点，，． (1)证明：平面； (2)若，求点O到平面的距离． 3．如图，在三棱柱中，平面，,，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面的距离. 4．（26-27高三上·安徽·开学考试）如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 5．如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 6．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 7．如图所示，四边形为平行四边形，四边形为直角梯形，，，平面平面ABEF. (1)若为DF的中点，证明：平面ACP； (2)若，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为，求点到EF的距离. 8．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角为60°，求的值； (3)在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 9．如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 10．如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)是否存在点到平面的距离为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 11．如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，设二面角的大小为，求的值； (3)若，求点到平面的距离． 12．如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值： (3)是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形，且平面平面. (1)求证：； (2)在棱上是否存在点M，使得平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点P是三棱锥外接球上一点，求点P到平面距离的最大值. 14．图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点.    (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 创新能力提升 1．如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 2．在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）. (1)求证：； (2)是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离. 3．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； (3)点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 4．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，平面，且．点D，E位于平面同侧． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)以A为球心，为半径作球，P是上的一动点，求P到平面距离的最大值． 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 6．如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使． (1)证明：（折叠后）； (2)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点到平面的距离． 7．（2026·重庆·模拟预测）如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点．    (1)若平面平面，求证：； (2)若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优06 空间中的距离问题题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 求点到面的距离：等积法（★★★★） 4 题型02 求点到面的距离：空间向量法（★★★★★） 9 题型03 求点到线的距离（★★★★★） 15 题型04 求其他的距离问题（★★★★） 21 题型05 距离中的探索性与最值问题（★★★★） 26 03 实战检测·分层突破验成效 36 重难知识巩固 36 创新能力提升 58 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 点到直线的距离（点线距） 1、点在直线上的射影 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影． 点到垂足的距离叫点到直线的距离． 2、点线距的求法： 点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。 知识点02 点到平面的距离（点面距） 1、点到平面的距离： 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短 2、点面距的求解问题，主要有三个方法： （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 知识点03 其他距离 一、异面直线的距离（线线距） 1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. 2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 二、直线到平面的距离（线面距） 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).如果一条直线平行与平面,则直线上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的距离相等；垂线段小于或等于上任意一点与平面内任一点间的距离； 三、平面到平面的距离（面面距） 1、两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线. （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段. （3）两个平行平面的公垂线段都相等. （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长. 2、两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 知识点04 点到直线的距离向量求法 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点05 点到平面的距离及其他距离向量求法 1、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 求点到面的距离：等积法 1．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． (1)求证：F是棱PD的中点； (2)求证：平面； (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)因为底面是菱形，所以， 而面，面，可得面， 又因为面，面面， 所以，因为E是棱PC的中点，所以F是棱PD的中点. (2)设，连接， 因为底面是菱形，所以O是AC的中点，， 因为E是棱PC的中点，所以. 因为平面，所以平面， 又面，可得， 因为，，面，所以平面. (3)如图，过作，则， 由题意得平面，且平面，则， 因为，面，所以面， 而E是棱PC的中点，是的中点，可得， 而面面，则面， 得到E到平面的距离与O到平面的距离相等， 因为，，面，， 所以面，则O到平面的距离为， 在中，由题意得， 在中，由余弦定理得，所以， 由三角形面积公式得，， 设点P到平面的距离为，由等体积公式得， 可得，解得. 2．如图，三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)设，连接， 由三棱柱的所有棱长均为2， 则四边形为菱形，所以，， 又为等边三角形，所以， 因为，，平面， 所以平面． (2)解法1：设点到平面的距离为d， 由三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形， 由(1)知， 则在中，，，， 所以可得点到的距离为， 由（1）知，平面，则到平面的距离为， 所以， 又，所以． 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过作，垂足为，所以平面， 则为点到平面的距离， 又三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形， 则在中，，，， 可得点到的距离为， 所以，则， 所以点到平面的距离为． 3．如图三棱锥中，，，平面平面．平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：在内任取一点，过点作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面． (2)由（1）知平面， ，，就是二面角的平面角， ，， ， 所以三棱锥的体积． ,,故, 又，，， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积，， 所以点到平面的距离为． 4．如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的平面角的大小； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【详解】（1）因为分别为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）连接，易知， 因为，所以，即． 因为为中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 所以二面角的平面角的大小为． （3）设点到平面的距离为， 因为是底面的垂线，，底面是等腰直角三角形， 所以， 由（2）知，又，所以为等边三角形， 所以， 因为，所以，即， 所以点到平面的距离为． 题型02 求点到面的距离：空间向量法 【技巧通法·提分快招】 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 1．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)点在线段上，且，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接,因侧面平面，平面平面, 又为等边三角形，点是的中点，则,则平面, 又平面,则. 因四边形为直角梯形，，，，， 则,由可得, 又因点为的中点，则,故,因平面, 则得平面. （2）如图取的中点，连接，易得，则， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系； 则， 故. 因平面，则可作为平面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面所成角为， 则； （3）依题意，点是的中点，则，，平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 2．如图，四边形是梯形，，，，，，，是线段的中点． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，． 因为，，，所以．     因为，是的中点，所以．     又平面，所以平面，     因为平面，所以． (2)法一：连接，．因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．     因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 同理可得平面．     又平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面．     法二：取的中点，连接，， 因为是的中点，所以，且． 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． (3)由（1）可知． 在中，，，所以． 又，，所以，所以． 又，平面，所以平面．     以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，．     设平面的法向量为，则 令，得，     所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离为． 3．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为二面角的平面角，所以，， 因为为的中点，，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，故， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面. (2)因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 又因为，所以点到平面的距离为. 4．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为是正方形，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2)如图，以为原点，、所在直线为、轴，在平面内垂直于所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，，， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，所以，， 在和中，，，， 故，所以， 因为，故， 、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 5．如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.若平面平面，，. (1)求证： (2)若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1) 因为为正方形，所以 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，且平面， 所以； (2)如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， 则，， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，点到平面的距离为， 所以，解得：. 题型03 求点到线的距离 【技巧通法·提分快招】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 1．如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点. (1)求证：平面； (2)求到直线BD的距离. 【答案】(1) 证明：如图所示，在三棱柱中，连接交于，再连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是中点，所以， 因为平面A1BD，平面，所以平面. (2)因为， 由余弦定理得， 所以，可得， 又由平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为，故两两垂直， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，， 且， 则，，， 所以C1到直线BD的距离为. 2．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，，.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求中点到直线的距离． 【答案】(1) 取的中点，连接， 因为底面是边长为的正方形，为的中点， 所以， 又平面，平面，平面， 所以，， 又，，，所以， 则以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.    则，，，所以，， ，可得，即得. (2)由（1）建系，得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 故可取， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）建系，得，，，， 点为中点，则， 所以，， 设点到直线的距离为，则， 即点到直线的距离为. 3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.    (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1)连接，，    因为，为的中点，所以， 因为棱柱直三棱柱， 所以面，平面，所以平面平面， 又平面平面，面， 则平面，又平面，所以， 在矩形中，，为的中点， 所以， 所以，故， 又，面，面， 所以平面，又平面， 所以. (2)取的中点，连接， 由（1）及题意易知，，两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.    由，，则，，，，. 设平面的法向量为，又，， 则即令，则. 设直线与平面所成的角为，又， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知平面的一个法向量为，，， 所以点到平面的距离为， 又，直线的一个单位方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以. 4．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1) 在中，，，， 由余弦定理，， 即. 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面平面. (2)以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. 题型04 求其他的距离问题 1．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 2．如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证，推出平面，把直线到平面距离转化为点到平面的距离，再建立空间直角坐标系，求出相关点与向量，解方程组得到平面的法向量，最后代入点到平面距离公式算出结果． 【详解】如图，连接， 因为在直三棱柱中，、分别为，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面， 则点到平面的距离即为直线到平面的距离． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 因为，、分别为，的中点， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 所以平面的法向量为， 又， 所以点到平面的距离为， 则直线到平面的距离为． 3．（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线的方向向量，联立方程求解公垂线方向向量，再套用异面直线距离公式，计算连接两直线上点的向量在公垂向量上投影的绝对值得到距离． 【详解】设正四棱锥的底面中心为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，则 ， 为侧棱的中点，故， 则， 设异面直线与的公垂线方向向量为，则 ，令，则， 故异面直线与的距离． 4．（多选题）正方体中，，下列说法正确的是（    ） A．直线到平面的距离为1. B．到的距离为. C．点B到直线的距离为 . D．平面到平面的距离为. 【答案】ACD 【分析】直线到平面的距离为1，A正确，到的距离为，B错误，连接，作于，计算得到C正确，确定平面平面，平面，平面，计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：如图1，平面，平面，， 故直线到平面的距离为1，故A正确； 对选项B：如图2，设，是上下底面的中心，则，， 则平面，平面，故， 平面，平面，故， 是异面直线，的公共垂线段，，故B错误； 对选项C：如图3，连接，作于，平面，平面， 故，直角三角形中： ，，， 故，故C正确； 对选项D：如图4，连接，，平面，平面，故平面， 同理平面，，平面， 故平面平面， 平面，平面，，又， ，平面，故平面， 平面，故，同理可得， ，平面，故平面， 同理平面， 到平面的距离为，则，， 到平面的距离也为， 故两平面的距离为，故D正确； 故选：ACD   题型05 距离中的探索性与最值问题 1．如图，在四棱锥中，，底面为边长为2的菱形，且. （1）证明：； （2）若，在线段上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明，接着证明，从而证明平面，最后证明. （2）先证明平面，再求点到平面的距离为，接着判断为中点，最后求直线与平面所成角的正弦值即可解题. 【详解】（1）连接，因为底面是菱形，且，所以为等边三角形， 取中点，连接、，所以，且，所以， ∵，所以平面，∵平面，所以； （2）线段​上存在一点​，使得到平面的距离为. 因为，且，所以，所以，， ∴，所以，平面，， 设点到平面的距离为， ，，，， ，得出 当为中点时，到平面的距离为. 此时，，直线与平面所成角的正弦值为. 2．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. (2)在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 3．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且. (1)是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】(1)不存在点，使得，理由如下： 由于三棱柱是直三棱柱，且，故两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 由，可设，则, 故, 所以不存在点，使得. (2)设平面的一个法向量为，则， 因为，所以，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或. 当时，，，此时； 当时，，，此时. 所以当或时直线与平面所成角的正弦值为. （3）设点到直线的距离为，由（1）知，， ，， ， 则. ∴. 4．（24-25高三下·山西·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】(1)由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． (2)因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 5．如图，四棱锥中，平面，， ，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：如图所示，过点作直线平行于直线，且交于点，连接. 是的中点，且, 又且,与平行且相等. 四边形为平行四边形，. 又平面，平面. 平面. (2)建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知点、点、点的坐标分别为、、， ，. 设平面与平面的法向量分别为，. 由于平面在坐标平面上，令. ，令，，. 设平面与平面夹角为，. 平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（2）知点、点的坐标分别为、，. 设点的坐标为，，， ，点的坐标为，. 设平面的法向量为，， 令. 由点到平面的距离公式可得， 或（舍去）. ，满足条件. 存在点，且. 6．如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 【答案】(1)取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以， 可得， 所以，所以. (2)因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （3）因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面平面； (2)若是上靠近的四等分点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 由为线段的中点，可知， 因为，且平面，所以平面． 又平面， 所以平面平面. (2)利用等体积法，设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故．因此，． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 2．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，O是的中点，，． (1)证明：平面； (2)若，求点O到平面的距离． 【答案】(1)因为是等边三角形，O是中点， 所以，又因为， ，平面，，     所以平面． (2) 在菱形中，，因为平面， 所以平面， 在平面内，作于， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，， 所以平面， 所以的长度为点O到平面的距离． 在中，因为，，， 所以，同理， 又因为，所以，所以边上的高， 即点O到平面的距离为． 3．如图，在三棱柱中，平面，,，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面的距离. 【答案】(1) 中，，， 又平面，平面，， 又因为平面， 所以平面. (2)由(1)知,,故以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，. 设平面的法向量为，则 ，即. 令，则， 又平面的法向量为， 则,由题知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为 （3）,面,不在平面内， 面，则直线与平面的距离即为到面的距离， 因为，， 所以到面的距离， 所以直线与平面的距离为. 4．（26-27高三上·安徽·开学考试）如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点）， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以. (2)因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，则点为的中点，故， 又是的三等分点，则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离为. 5．如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为正三角形，点为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面； (2)由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 又平面平面，所以平面， 于是点即为所要找的点，又，所以， 即有，于是，所以， 所以. （3）取的中点，连接，因为点为的中点， 则，， 于是为平行四边形，即，而平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离, 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 而由（2）知，当时，平面，， 设，则， 所以点到平面的距离. 6．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为且为的中点，所以， 因为，所以且．因为，所以且， 所以且．所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. (2)由（1）可知，直线平面，同理可得平面， 由于交于点，平面，所以平面平面， 因此平面与平面所成角即为平面与平面所成的角， 如图所示，过点作交于点，连接， 由于，，所以，所以， 则或其补角即为平面与平面所成角的平面角， 在中由余弦定理得， 则， 因为，解得， 在中，由余弦定理得， 所以平面与平面所成角的正弦值为. （3）取的中点为，连接，， 因为为等腰三角形，为等边三角形，所以，， 所以，， 因为，所以，， 因为，，，，平面，所以平面， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 7．如图所示，四边形为平行四边形，四边形为直角梯形，，，平面平面ABEF. (1)若为DF的中点，证明：平面ACP； (2)若，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为，求点到EF的距离. 【答案】(1) 连接，交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以是的中点，又为DF的中点， 则， 又因为面，面，所以面； (2)取中点，连接，因为，所以， 又因为面面，面 面面 ， 所以面，过点作交于，因为四边形为直角梯形，，， 所以，根据题意，建立如图所示空间直角坐标系. 则有， 设，则，， 所以，，， 设平面的法向量为. 则，令，则，即. 根据题意，解得或（负值已舍去）. 又因为. 所以，， 所以，所以，，， 所以， 所以点到的距离为. 8．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角为60°，求的值； (3)在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明：由题意平面，平面，故； 又四边形为正方形，故,而平面， 故平面； (2)因为四边形为正方形，所以． 因为平面，所以，，相互垂直． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设，因为，所以，即， 则，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，即，可取． 设平面的法向量为，， 则，即，可取． 因为平面与平面所成角为60°， 所以， 解得． （3）由（2）得平面的法向量为，结合， 所以点到平面的距离为． 9．如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【答案】(1) 取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. (2)因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 10．如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)是否存在点到平面的距离为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以点为中点， 在中，是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面． (2)由于平面，， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 所以， 因此平面与平面所成角的余弦值为. （3）设， 因为，所以， 点到平面的距离为， 解得，故， 所以， 所以存在点到平面的距离为，且此时的长为． 11．如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，设二面角的大小为，求的值； (3)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，连接，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，求出四边形是矩形，建立空间直角坐标系，利用求出的坐标，求出平面的法向量，利用平面得到，从而求出的值； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积和同角关系式求解； （3）求平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】（1）取的中点，连接，连接， 因为是边长为4的等边三角形，所以，且，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为，，所以. 因为，所以，则， 因为，所以四边形是矩形， 以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设，因为，所以， 解得，则. 设平面的法向量为， 则，. 则，即，， 取，解得， 则平面的一个法向量， ， 因为平面，所以，即， 所以，即，解得. （2）当时，，平面的法向量， 平面的法向量取， 设二面角的大小为，， 则，所以. （3）当时，，， 设平面的法向量为， 则，即，即， 解得，取，解得，则， 点，，， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 12．如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值： (3)是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接交于，连接，，              因为，，所以与相似，所以， 即，又，所以， 又平面，平面，所以平面； (2)取中点，连接，因为平面平面，且， 平面平面，平面， 所以平面，由于，所以， 又，，由余弦定理得， 所以，所以，则， 如图以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由得，则， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； （3）设，因为，， 所以， 所以， 则点到平面的距离， 整理得，解得或（舍去）， 所以时使得点到平面的距离为. 13．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形，且平面平面. (1)求证：； (2)在棱上是否存在点M，使得平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点P是三棱锥外接球上一点，求点P到平面距离的最大值. 【答案】(1)证明：设O为的中点，连接，，， 由题得，， 所以为正三角形，则，， ，平面，平面， 所以平面，平面，则. (2)由题，，所以，则，，两两垂直， 故以O为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则. 假设存在点M满足条件，设，. 则. 设平面的法向量为，则， 令，则，则. 设平面与平面所成角为，. ∴，解得或， 所以存在点M满足条件，此时或. （3）设外接球的球心为Q，分别过和外心作平面和平面的垂线， 垂线的交点就是球心，易求，则外接球的半径， 又，所以点Q到平面的距离. 所以点P到平面距离的最大值为. 14．图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点.    (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出，进而可根据勾股定理得到，，再利用线面垂直的判定定理即可证明得到平面，从而利用空间向量的坐标运算求解线与线夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离即可求解； （3）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离以及二次函数的性质求解. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理，得， 所以，从而, 所以,即. 连接，因为 所以为正三角形，所以. 又因为,, 所以,即， 又因为平面，， 所以平面， 又因为，所以，即， 所以以点为坐标原点，建系如图，    则, , 设异面直线所成的角为， 则. （2）设, 所以, 所以， 因为为中点，所以,所以, 设点到直线的距离为， 则. 二次函数，， 当时，二次函数有最小值， 最小值为. 此时到直线的距离最小，最小值为， 又因为， 所以此时面积最小，最小值为， 此时，即. （3）由（2）知，， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 所以 ， 所以点M到EF的距离的取值范围为. 创新能力提升 1．如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 【答案】(1) (2) (3)存在 【分析】（1）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由线面垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （2）利用垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （3）设，由线面垂直得到距离，由距离为求得的值. 【详解】（1）作于，由平面，得， ，，平面，则， 又，平面，即的长为点到平面的距离， 也即直线到平面的距离，在等腰直角三角形中，， 直线到平面的距离为； （2） 作于，则的长即为点到的距离， 在中，，，， ， 即点到直线的距离为； （3） 在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 证明如下: 假设在线段上存在一点，使点到平面的距离为， 设， 过于，在中，， 可得，，则， 由（2）知，，若存在满足题意的，则只需平面即可， ，，在中，由余弦定理可得， 若，在中， 即，解得， 即在上存在一点，当时，， 又，，平面，得， 又，，平面， 即点到平面的距离为，满足条件. 故在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 2．在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）. (1)求证：； (2)是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明：因为平面平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. (2)过点作，则平面， 以点为原点，的正方向分别为，，轴的正方向建立平面直角坐标系， 由，得， 设， 则，解得， 设平面的法向量为，且， 由，取， 设平面的法向量为，且， 由取， 设二面角的平面角为，则， ，解得或. 则点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点. （3）因为二面角的平面角为锐角，结合图形特征，取离较远的一点，即， 此时，连接， 所以， 设点到直线的距离为，则. 3．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； (3)点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 【详解】（1）直角梯形中，由已知可得，， ∴，即， 又是以为斜边的等腰直角三角形，∴， 取中点，连接，则，， 则，∴， 又，∴， ∴，，而，平面， ∴平面， 因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 又， ， 直线PB与平面PAC所成角为，则． （2）是的中点，证明如下： ，，，，为的中点， 所以，设， 则， 若点是在平面内，则， 则，解得，所以是的中点. （3）设，，，， ，， 所以点到直线的距离为 ，所以点到直线的距离最大值为. 4．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，平面，且．点D，E位于平面同侧． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)以A为球心，为半径作球，P是上的一动点，求P到平面距离的最大值． 【答案】(1)取中点M，连接，， 因为，所以，且． 因为平面，平面平面，平面平面，且， 所以平面，因为平面，所以． 又因为，所以四边形是平行四边形，从而． 因为是等边三角形，且M为的中点，所以． 因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面．由，得平面． 又因为平面，所以平面平面． (2)由（1）知平面，平面，设平面平面， 所以，，因为，所以； 又因为，所以，所以 因此即为平面与平面所成二面角的平面角， 在中，，，所以． 故平面与平面所成角的余弦值为． （3）由，且平面，平面知平面， 因此，点A与点M到平面的距离相等，过点M作，垂足为H， 由平面，平面，所以，又，所以 又因为，平面，， 所以平面，因此是M到平面的距离， 由（2）知，所以， 在直角三角形中，， 过点A作平面，垂足为K，则．球的半径为． 当点P位于射线上，且时，点P到平面的距离最大， 此时．所以，点P到平面距离的最大值为, 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 【答案】(1)如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； (2)（ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. 6．如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使． (1)证明：（折叠后）； (2)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点到平面的距离． 【答案】(1)在四边形中， 因为，，所以，                        所以将四边形沿折叠后，有. 因为，，所以.                               因为、平面，，所以平面，                              因为平面，所以. (2)折叠后在线段上存在一点，使得平面，此时， 理由如下：当时，， 如图，过点作交于点，连接，则， 因为四边形为矩形，所以，所以，则， 又因为，，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以折叠后在线段上存在一点，使得平面，且. （3）设，则，则， ， 因为平面，所以 ， 当且仅当时，即当时，三棱锥的体积取最大值， 此时，，，， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得， ， 同理可得， 在中，，，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以， ， 设到平面的距离为，由， 即 ，解得. 当三棱锥 的体积最大值时，点到平面的距离为. 7．（2026·重庆·模拟预测）如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点．    (1)若平面平面，求证：； (2)若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 【答案】(1)过作于，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 在正四棱锥中，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 又平面，则，又，所以. (2)①在正四棱锥中，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，，则， ， 则，设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 则，又，解得，所以. ②由，得点的轨迹是以为球心，为半径的球面， 设与平面的交点为，当与球相切时，， 则，解得，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，则，，令， 由，得，取，得， 异面直线与距离为，则， 由，得，令， 则，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $