精品解析：吉林东北师范大学附属实验学校（经开）2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学学科期中试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≤3 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 4. 如果把一个的三边都扩大为原来的倍，那么锐角的余弦值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 保持不变 C. 缩小为原来的 D. 不能确定 5. 将抛物线向下平移个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线经过点 D. 当时，随的增大而增大 7. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．周长为4，若，财的周长为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8. 如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______． 10. sin245°+ cos60°=____________. 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 12. 如图，，若，，则的长为_____． 13. 如图，菱形的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是_______． 14. 如图，二次函数（）图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若点，均在该二次函数图象上，则．上述结论中，正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 16. 第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 17. 如图，是的边上的一点，连结，已知．求证：． 18. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？ 19. 已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当时，函数值y的取值范围是_____． 20. 某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 21. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图中的边上确定一点，连接，使与的面积比为； （2）在图中的边上确定一点，连接，使与的面积比为； （3）在图中的边上确定一点，边上确定一点，连接，使四边形与的面积比为． 22. 掷实心球是长春市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据长春市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分，按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 23. 【问题呈现】小红遇到了这样一个问题：如图①，在等腰直角中，，，于点D，点P在线段上运动，连结，以为腰作等腰直角，使得，，点C、Q在直线的同侧，连结．试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小红发现，连结后，图中存在相似三角形，利用“相似三角形的对应角相等”进而发现这个动点Q在以C为端点，与成定角度的定射线上运动，再依据“垂线段最短”解决问题． 【问题解决】如图②，连结． 证明过程缺失 ． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）请你帮助小红补全上述证明过程； （2）的大小为_____度，线段长度的最小值为_____； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，点P在边上运动．连结，以为腰作等腰直角，使，，点C、Q在直线的同侧，连结，则的最小值为_____． 24. 如图，在中，，，，于点H，点P为射线上一动点，作点B关于点P的对称点D，作点C关于点P的对称点E，连接、、． （1）_____，_____； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）当四边形为轴对称图形时，求的长； （4）当点E到的距离是点D到距离的3倍时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科期中试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≤3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，x-3≥0， 解得，x≥3． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一根据二次根式的运算法则与性质，分别验证每个选项的等式左右是否成立，即可选出正确答案． 【详解】解：对各选项逐一判断： . ，计算错误． . ，计算错误． . ，计算正确． . ，计算错误． 3. 一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 4. 如果把一个的三边都扩大为原来的倍，那么锐角的余弦值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 保持不变 C. 缩小为原来的 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】设的三边长分别为、、，，，根据三边都扩大为原来的倍，结合勾股定理逆定理得出新三角形是直角三角形，可得，即可得出答案． 【详解】解：设的三边长分别为、、，，， ∵的三边都扩大为原来的倍， ∴新三角形的三边长分别为、、， ∵， ∴新三角形是直角三角形， ∴， ∴锐角的余弦值保持不变． 5. 将抛物线向下平移个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向下平移个单位，得． 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线经过点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：A．∵， ∴抛物线开口向下，故该选项错误， B．抛物线的对称轴为直线，故该选项正确， C．∵当时，， ∴抛物线不经过点，故该选项错误， D．∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故该选项错误． 7. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．周长为4，若，财的周长为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵，即， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 与的周长比为， 周长为4， 的周长为12． 故选：A． 8. 如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 10. sin245°+ cos60°=____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用特殊三角函数值代入求解. 【详解】解：原式= 【点睛】熟记特殊的三角函数值是解题的关键. 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 12. 如图，，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，通过已知的线段比例关系求出的长． 【详解】解：， ． ，， ． 解得． 13. 如图，菱形的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题的关键，先求解，，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵菱形的顶点O、A、C在抛物线上，对角线在y轴上，且， ∴由题意可得：A，C点纵坐标为1， ∴， 解得：， ∴，， 故菱形的面积是：． 故答案为：． 14. 如图，二次函数（）图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若点，均在该二次函数图象上，则．上述结论中，正确结论的序号是_____． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与轴的交点确定、、的正负，即可判定①②；根据对称性可知也在二次函数图象上，代入即可判断③；再结合函数图象即可判定④；根据抛物线的对称性可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，即， ，，故①②正确； 在二次函数图像上，且对称轴为， 也在二次函数图像上，则，故③错误； 当时，，故④错误； ，点，均在该二次函数图象上， 点，关于抛物线的对称轴对称， ，故⑤正确； 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简二次根式后合并同类二次根式． （2）用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 即 得． 解得． 16. 第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C表示，画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种， ∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为 ． 17. 如图，是的边上的一点，连结，已知．求证：． 【答案】证明：在和中： 【解析】 【分析】要证等积式，先把它化为比例式．观察比例式中的四条线段，分别落在与中，故思路是证明这两个三角形相似． 【详解】证明见答案 18. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？ 【答案】这两年研发投入的平均年增长率为 【解析】 【分析】设研发投入的平均年增长率为，根据该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设研发投入的平均年增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）． 答：这两年研发投入的平均年增长率为． 19. 已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当时，函数值y的取值范围是_____． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点和点，代入得： ， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为 ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向上，顶点为 ∴当时，有最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，函数值y的取值范围是． 20. 某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽为32.6米． 【解析】 【分析】由锐角的正切定义求出和的长，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（米）． ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：河宽为32.6米． 21. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图中的边上确定一点，连接，使与的面积比为； （2）在图中的边上确定一点，连接，使与的面积比为； （3）在图中的边上确定一点，边上确定一点，连接，使四边形与的面积比为． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 【解析】 【分析】与共用从到的高，故面积比．把线段分成占2份、占份，即分点，连接即可． 与共用从到的高，故面积比．但是斜线，不能直接数格子分段，需借助网格用相似三角形的判定和性质在上定出分点，再连接． 总面积．由，得．若，则，面积比对应相似比，即． 【小问1详解】 解：作图思路：恰为个单位长，取使格、格，连接． 图见答案 【小问2详解】 解：作图思路：构造与相交的辅助格点连线，利用相似三角形的判定和性质，在上分出的点，连接． 图见答案 【小问3详解】 解：作图思路：取、分别为、的中点，连接．这是经典“字型相似”，为最简洁作法． 图见答案 22. 掷实心球是长春市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据长春市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分，按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：该男生在此项考试中能得到满分． 理由如下： 令，即， 解得，（负值舍去）． 该男生在此项考试中能得到满分． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标即可求解； （2）令，求出落地点坐标与进行比较，从而作出判断． 【小问1详解】 解：由题可知抛物线的顶点为， ∴设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； 【小问2详解】 略 23. 【问题呈现】小红遇到了这样一个问题：如图①，在等腰直角中，，，于点D，点P在线段上运动，连结，以为腰作等腰直角，使得，，点C、Q在直线的同侧，连结．试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小红发现，连结后，图中存在相似三角形，利用“相似三角形的对应角相等”进而发现这个动点Q在以C为端点，与成定角度的定射线上运动，再依据“垂线段最短”解决问题． 【问题解决】如图②，连结． 证明过程缺失 ． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）请你帮助小红补全上述证明过程； （2）的大小为_____度，线段长度的最小值为_____； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，点P在边上运动．连结，以为腰作等腰直角，使，，点C、Q在直线的同侧，连结，则的最小值为_____． 【答案】（1）解：如图，连结． ，， ，，即． 是等腰直角三角形， ，． ，，即． ． ，， ． ． （2），3 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的边角关系得出，，再得出，则； （2）由等腰三角形的性质可得，再由（1），可得的度数，确定点Q的运动轨迹，计算相关线段长度，可得线段长度的最小值； （3）延长至点D，使，连接，作直线，作点C关于直线的对称点E，交于点F，连接，交于点M．先得，点C、E关于直线对称，得是的垂直平分线，则，． 由两点之间线段最短， 则当M与Q重合时，的值最小，． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：，，于点D， ，． ， ． 由（1）， ． 点Q在以点C为顶点，为边，且在下方，夹角为的射线上运动． 垂线段最短， 时，的长度最小． ， ． ， ． 【小问3详解】 解：延长至点D，使，连接，作直线，作点C关于直线的对称点E，交于点F，连接，交于点M． ，，， ． ． 点C、E关于直线对称， ，， 即是的垂直平分线． ，． 两点之间线段最短，， M与Q重合时， ． ， 的最小值为． 24. 如图，在中，，，，于点H，点P为射线上一动点，作点B关于点P的对称点D，作点C关于点P的对称点E，连接、、． （1）_____，_____； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）当四边形为轴对称图形时，求的长； （4）当点E到的距离是点D到距离的3倍时，直接写出的长． 【答案】（1）4； （2）证明：连接，如图所示： 点C和E关于点P对称， ∴点E、P、C三点在同一直线上，即点P在上， ∵点和关于点对称， ∴，， 四边形是平行四边形． （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据已知得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （2）根据对称的性质可得，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （3）分情况讨论：①当四边形为矩形时，②当四边形是菱形时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）分两种情况：当点D在左侧时，当点D在右侧时，分别画出图形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论， ①当四边形为矩形时，则 ∴在上， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当四边形是菱形时，则， ∴重合， ∵， ∴； 综上所述，四边形为轴对称图形时，或． 【小问4详解】 解：当点D在左侧时，过点E作于点F，延长，过点E作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 根据题意得：， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在右侧时，过点E作于点F，设与交于点G，如图所示： 则，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $