吉林吉林市丰满区吉林松花江中学2026-2027学年上学期九年级 期中数学试题
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内容正文：
吉林松花江中学九年级数学期中质量检测
参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共18分)
1.B
2.C
3.B
4.A
5.D
6.B
二、填空题（每小题3分，共15分）
7.(2,-3)
8.内
9.40°
10.5
11.-8
三、解答题（共11小题，共87分）
12.解：
x2-2x-6=0
x2-2x=6
x2-2x+1=1+6
(x-1)2=7
(4分
x-1=±V7
x=1+V7,x2=1-V7
(6分
13.解：
设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4
(2分
把B(2,-5)代入得5=ax(2+12+4,
解得a=-1,
(4分
所以抛物线解析式为y=(x+1)2+4
。。。。。。。。。。。。
(6分
14.解：设每年投资的年平均增长率为X…(1分)
根据题意列一元二次方程得：5(1+x)2=7.2,
…(4分)
整理得，5x2+10x-2.2=0
解得：￥=0.2=20%，=-2.2（不符合题意，舍去）
(6分)
答：每年投资的平均增长率为20%.
15.解：
AC=BD
∴.∠AOC=∠BOD
.(3分
.∠1+∠BOC=∠2+∠BOC..
(5分
∴.∠1=∠2=30°
(7分
16.解：
（1):点(，3列在反比例函
x=k
x的图象上…
(2分)
.k=1×3=3
(4分
y=3
∴.反比例函数的表达式
(5分)
(2)a<c<b
(7分
17.解：
(1)如图①，
四边形ABCD即为所求，
(3分)
(2)如图②，四边形ABEF即为所求.
(7分)
图①
图②
18.解：
(1)函数图象如图所示；…
…(4分)
y
--1
5=4-=-P
2
-3
4
(2)1<X<3.
(6分)
(3)-1≤y<3
(8分)
19.解：
(1)反比例：
(1分)
F=
(2)由(1)设拉力F与1之间的函数解析式为
（2分)
将1=1，F=300代入1，解得k=300
(4分
F=
300
拉力F与之间的函数解析式为
1
…(5分)
(3)小亮能成功.理由如下：
300
F=
:当OA=1=8时，代入
_1,
.F=37.5<40
(7分
小亮想用40N的拉力汲水，小亮能成功。
(8分)
20.解：
（1)3..
(2分)
(2)2…
(4分)
(3)如图，当0<x≤2时，
B
在Rt△APD中，AP=2x,∠A=45
:PD=2x
由旋转可知：PE=PD=√2x
y=PD.PE=1x2xxx=x
1
如图，当2<x≤3时
在Rt△BDF中，BD=6W2-V2x,∠B=45O
∴DF=6-x
..EF=DE-DF=2x-(6-x)=3x-6
在Rt△EFG中，EF=3x-6,∠E=45°
∴.FG=3x-6
.Semo-EF.FG-1(3x-6)-x-18x+18
y=55=-r-18r18子+18r-18
如图，当3<x<6时
E
在Rt△BDH中，BD=6W2-V2x,∠B=45
∴.DH=6-x
在Rt△PDH中，DH=6-x,∠DPH=45
.PH=6-x
y=8m-0明，pH=6-P--6+18
2
2
x2(0≤x≤2)
y=
7r+18x-182<x≤3)
52-6x+183<x<O
故
。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。
(10分)
21.解：
(1)4,3…
(2分)
(2)DE=B'E...
(3分)
证明：过B作B'G⊥AB于G
(4分)
C
G
C
图3
由(1)知，B'G=3=AD
:∠DAE=∠AGB=90°.∠AED=∠B'EG
.△ADE≌△B'GE(AAS)
…(7分)
∴DE=B'E
(8分)
（3》BB的长为Vi0或3i0.
(10分)
22.解：
(1)对抛物线配方得：y=x2-2x-2=(x-1)2-3
…(1分)
顶点坐标为（山-3）
(2分)
(2)方法1：由思意，P坐标为(m,m2-2m-2)
…（3分)
POllx轴，
·0纵坐标为m2-2m-2
且e横坐标为3m,故(3m,m2-2m-2)】
…(5分)
卫在抛物线上，代入抛物线解析式得：m2-2m-2=(3m)2-2·(3m)-2
整理得4m(21-)=0,解得m=0。m2
(7分)
1
m=-
m≠0，故
2
P0=3m-mH2m=1(8分)
方法2：由(1)知，抛物线对称轴为直线x=1
:P2x轴
P,Q关于对称轴对称
m+3m=1
2
…（5分)
.1
m=
解得
2…
…(7分）
:P0=3m-mH2m=1c8分)
(3)m的值为2-V5或4
……(10分)
m<3+23-2
(4)m的取值范围为2
2或2
<m<0
(12分)
吉林松花江中学九年级数学期中质量检测
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A．，， B．，，
C．0，， D．，，
2．已知抛物线，下列说法正确的是
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
3．雪花也称银粟、玉龙、玉尘，是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花，如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的最小值为
A．30 B．60 C．90 D．120
4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B．
C． D．
5．钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率（）是琴弦张力（N）的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），应该如何调整张力？
A．增大至 B．减小至 C．增大至 D．减小至
6．如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
8．已知与点在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点在 （填“内、上或外”）．
9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是 °．
10．如图，是圆的弦，半径于点，且，．则半径的长为 ．
11．如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为 ．
三、解答题(12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分)
12．解方程：．
13．已知一个二次函数的图象以点为顶点，且经过点．求该函数的解析式．
14．某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率．
15．如图，在中，，，求的度数．
16．已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小 ．
17．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上．
（1）在图①中作四边形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且；
（2）在图②中作四边形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且．
18．已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（2）当时，的取值范围是 ；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为 ．
19．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离
1
1.5
2
2.5
3
拉力的大小
300
200
150
120
100
（1）根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足 函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；
（2）求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）已知的长为，小亮想用的拉力汲水，小亮能否成功？请说明理由．
20．如图，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动．当点与点和点不重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设运动时间为秒，和重叠部分的图形面积为．
（1）点与点重合时， ；
（2）当点在上时， ；
（3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
21．【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点旋转得到矩形，点，，分别旋转到点，，．
【初步探究】（1）如图2，若，，恰好经过点，则 ，到的距离为 ．
【深入探究】（2）如图3，若恰好经过点，连接交于，试判断线段与的数量关系，并证明．
【探究应用】（3）若，，所在直线恰好经过点，直接写出的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，点是该抛物线上的一点，其横坐标为（），过点作轴，且点的横坐标为．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当点在抛物线上时，求线段的长度；
（3）当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值；
（4）已知，连接、、，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
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