专题07 锐角三角函数的概念与求值（题型专练）数学新教材人教版九年级下册

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07 锐角三角函数的概念与求值 (题型突破举一反三) 1题型01三角函数的定义识别 三典例精析 【典例1】 【答案】C 【详解】解：：∠C=90°， A、cosB= c,:cs、 a Cos B' 故A错误： B、tanB= b a tanB,故B错误； C、simB=b ’b=c~sinB,故C正确； D、tanB=b ’b=a-tanB' 故D错误. 故选：C 举一反三 【变式1-1】 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据锐角三角函数的定义： 正切：tan A-4,tan5合：正8：simB=:余%：cos1=么 b c 对式子逐一分析： 因为tanA-a, =方可得a=btand:并非a=ctan d所以①不成立： 1/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b 因为sinB= 等式两边同乘c,可得b=csin B' 所以②成立： 6 因为cosA= 等式两边同乘。，得到b=ccos4"所以③成立： 因为tanA= a 6, 等式两边同乘b’有。=btan A,所以④成立： 6 因为tanB=a可得b=atanB,不是c=btan B, 所以⑤不成立. a 综上，②③④成立，能成立的个数有3个. 故选：B 【变式1-2】 【答案】D 【详解】解：∠BAC=90°，AD⊥BC, .sin B= AD BC ≠ AB AB 故A错误； BD AD .'cos B= ≠ AB AB 故B错误； AB ∴.tanC= A AC BC,故C错误： .tan C=4D CD 故D正确， 故选：D 【变式1-3】 【答案】B 【详解】解：A如4=总结论错炭，枚不符合影盒 b B.tanB=二，结论正确；故符合题意； a a C.tan A= ，结论错误，故不符合题意： D.cos B=a ,结论错误，故不符合意： 2115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选：B 题型02 由两边求三个三角函数值 典例精析 【典例2】 【答案】B 【详解】解：连接BD,如图， :四边形ABCD是菱形， CD-4B=10 ACLBD OC-74C=6. 在RtaC0D中，OD=VCD2-0C2=V102-6=8, :O、E分别是AC、AD的中点， .OE是△ACD的中位线， .OE∥CD .LAOE=∠ACD ·sin∠AOE=sin∠ACD=OD_8_4 CD105 举一反王 【变式2-1】 【答案】A 【详解】解：如图，取在BC上格点D,连接AD,设小正方形边长为1， C D 3/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由网格可知，AD=VP+12=2,CD=V22+22=2√2，AC=VP+32=√0， :AD2+CD2=(V2)+(22)=10,AC2=(1o)=10, .AD2+CD2=AC2. ∴.△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°， :.sinc=4D 5 AC V105 【变式2-2】 2V2 【答案】 3 【详解】解：设矩形ABCD的边AB=a,AD=b,平行四边形ABEF边AB上的高为， :矩形ABCD的面积是平行四边形ABEF的面积的3倍， ∴ab=3ah,即b=3h, ,木框边长不变 ∴.AF=AD=b 如图：过点F作FG⊥AB于点G,则FG=h, D------C B 在RtA4FG中，AG=VAF2-FG2=V(3h)2-R=V8=2V2h :cos∠FAB=4C_2V2h2V2 AF 3h 3 :四边形ABEF是平行四边形， ∠E=∠FAB ∴.coS∠E=coS∠FAB= 2W2h22 3h3 【变式2-3】 6 【答案】 3 【详解】解：如图， 4115 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ACB=90°，CD⊥AB, :.∠A+∠ACD=∠B+∠A=90° ∠B=∠ACD .tanB=tan∠ACD CD AD :.BD CD' .CD2=AD.BD, AD 2 :BD3' .设AD=2m,BD=3m, ∴CD2=AD.BD=6m2,即CD=V6m, .'tan B= CD_√6m√6 BD 3m 3 题型03由三角函数值反求边长 典例精析 【典例3】 【答案】A 【详解】解：如图所示： B 在RtA4Bc中，2C=90,simA =13,则设BC=5k,4B=13k, .由勾股定理可得AC=VAB2-BC2=12k, 5115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则tanB= AC 12k 12 BC 5k 5' 故选：A. 三举一反目 【变式3-1】 【答案】2V万 【详解】解：：点D是Rt△ABC斜边的中点， .AD=BD=CD :在RIAABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2, .∠DAC=60°， △ADC为等边三角形， .∠ADC=60°，且AD=AC=2, .AB=2AD=4. :AE⊥AB,即∠DAE=90°， ∠AED=30°， AE=AD 2 =2W5 在 中， tan30° RtAAED 3 在RtAEB中，BE=VAB+AE2=4P+(2) =2W7 【变式3-2】 【答案】(1)见详解：(2)2√5 【详解】(1)证明：：CE∥AB, .∠BAC=∠ACE, AE=AE, ∴.LADE=∠ACE, 又∠B=∠ADE, .∠B=∠BAC. .AC=BC: 6115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：：AC为⊙0直径， .∠ADC=90°，即AD⊥BC, .'tanB= AD=2, BD .AD =2BD. 设BD=a(a≠0)，则AD=2a, CD=3, .AC=BC=BD+CD=a+3. 在RtAACD中，由勾股定理可得AD2+CD2=AC2, (2a)}+32=(a+3)2,整理可得a2-2a=0,解得a,=2,a,=0(不合题意，舍去)， .BD=2,AD=2×2=4, ∴在Rt△ABD中，AB=VAD2+BD2=V42+22=25 【变式3-3】 24 18 【答案】()7：（②）5或5 【详解】(1)解：如图， C D B :四边形CEDF为正方形， .CE=ED=DF=FC,EDI‖BC,DF∥AC, .∠ADE=∠B,∠A=∠BDF, .△ADESADBF 设CE=ED=DF=FC=x,则AE=6-x,BF=8-x, △ADE∽ADBF, AE ED 6-x=x DEBE·即x8-x解狼t 7 7115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24 .CE= 7 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, AB=VAC2+BC2=V62+82=10, .CosA=4C=6 3 AB105: 分两种情况讨论： 情况一：如图，ACEFACAB,即CE:CF=AC:BC=3:4 E A A D B :∠C为公共角， .EF‖AB 由折叠性质可知CD⊥EF,因此CD⊥AB,即CD为AB边上的高. 在Rta4CD中，cosA=0.即4D_3 =4C,即6=5， 解得AD=I8 情况二：如图，△CEF∽aCBA,即CF:CE=AC:BC=3:4, E A D B 由相似性质得∠CEF=∠B 由折叠性质可知CD⊥EF,所以∠CEF+∠ECD=90°， 又∠A+∠B=90°，因此∠ECD=∠A, .AD=CD 同理，由相似性质得∠CFE=∠A, 由折叠性质可知CD LEF,所以∠CFE+∠FCD=90°， 8115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又∠A+∠B=90°，因此∠B=∠FCD, CD=BD. ∴.AD=CD=BD ∴.D为AB中点， :4D=AB=5: 2 18 综上， AD的长为5或5. 题型04同角关系sin'A+cos2A=1及其变形 典例精析 【典例4】 【答案】C 【详解】：在Rt△ABC中，∠C=90°，对边分别为a、b、c(c为斜边)， 由勾股定理，a2+b2=c2,选项A正确： 6 .sin B= cos A, 选项B正确： tanA= b ∴选项C错误； sin2 4+cos2A= ++- 选项D正确 故选：C 举一反王 【变式4-1】 【答案】0 【详解】解：设a=sina,b=cosa(0<a<1,0<b<1),则a2+b2-1 9115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :sina+cosa=√2，即a+b=√2 ∴.(a+b)2=a2+b2+2ab=2 .2ab=1 ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=(N2)-2=0 .a-b=0,即sina-cosa=0 故答案为：0 【变式42】 【答案】0)见详解，②50 3 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB,即∠BAC+2LACB=180°. .BD⊥AC, .LBDC=90°，即LDBC+LACB=90°， :2∠DBC+2LACB=180°， ∴LBAC=2∠DBC. (2)解：如图，连接OA、OB、OC,过点O作OM⊥AB,垂足为M. Mb-io 在Rt△ABD中，AB=10,BD=6, ∴根据勾股定理，AD=√AB2-BD2=V102-62=8, .DC=2」 在Rt△BDC中，根据勾股定理，BC=VDC2+BD2=√22+62=2√10， OM⊥AB,OA=OB, AM=AB=5. ，∠OAM=∠OBM .AB=AC, 10/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=4C, .∠AOB=∠AOC, .OA=OC .∠OAC=∠OCA, .2∠OAM+∠AOB=180°，2LOAC+∠AOC=180°， 1 201M=∠01C=2∠BMC, :由(I)得∠BAC=2∠DBC, ∠OAM=∠DBC. .cos∠OAM=cos∠DBC, AM BD 56 5V10 O4=BC,即0A2N10,解得0A= 3 v10 “00的半径为 3 【变式43】 > 【答案】（①1：1：②1；③）见详解，④ 【详解】(1)解：如图①、图②， B B C2 1 A 图① 图② 根据正弦、余弦的定义得： sin= 胎 cos4=49=V5 42,si4 ,S-1-2 4,C2.1V2 B24,V2 2 cos 42= B4,V22 2) =1 (2)解：如图③， 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 3 C3 4 A3 图③ 根据正弦、余弦的定义得： sin2+cos2= AB. -旷 根据(1)得： 根据上述计算，可猜想：sin2A+cos2A=1 (3)证明：如图④， 2 b 图④ 根据正弦、余弦的定义得： sin24+cos24= 月 根据勾股定理得：a2+b2=c2, ..sin2A+cos2A=a+b2 c2 c2.1, .'sin2 4+cos2 A=1. 解：“sn2A+o=1sin4cos4 25 2449 .'(sin4 +cos)2=sin24+cos24+2sinA.cos=1+ 2525 0°<∠A<90°， .sinA>0,cosA >0. 12/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 497 .sin4+cosA=(sin4+cosA) V25 六sinA+cosA的值为5： 题型05互余关系sinA=cos(90-A) 三典例精析 【典例5】 【答案】B 【详解】解：若a,B为锐角，则sina=cos(90°-a). .sina=cosB, ∴.cos(90°-a)=c0sB :a,B都是锐角，90°-α也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， 90°-a=B, .a+B=90° 举一反三 【变式5-1】 【答案】C 【详解】解：：sin30°= 2sin60= ,sin45°= ,c0s450=V2 2 2 ÷sin30°+sin30°=1+ 22 =1≠sin60°= 2 故①错误： sin45°=V2 cos45°= 2 2 故②正确： :65°+25°=90°，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， .cos25°=sin65°，故③正确： :sinA=c0s28°，且∠A为锐角，∠A+28°=90°，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， sinA=sin(90°-28)=sin62° 13/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠A=62°，故④正确： 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C. 【变式52】 1 【答案】①03：（②）-13：6)1 【详解】(1)解：∠A+∠B=90,且sim4= cosB=sinA= 3: (2).,tand=sinA cosA =4, ∴.sinA=4cosA, 5c0sA+2sin4_5c0s4+2×4c0s4_13c0s4-13, .'3cosA-sinA 3cosA-4cosA-cosA (3)tanl°.tan2°.tan3°.tan4°.tan86°.tan87o.tan88°.tan89° =(tanl.tan89)-(tan2°.tan88)(tan3°.tan87）-(tan4°.tan86)=l×1×1x1=l. 【变式5-3】 9 【答案】①1，(22 【样解】少第@m0-分m60P-m(90-309）=5 (0-1 ②：sin45°=V2 , 3sin450=sin(900-459）=2 , sin245°+sin2(90°-45）= 14/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..sin2a+sin2(90-a)=1; (2)解：sin2a+sin2(90°-a)=1, ∴.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =(sin21°+sin289）+(sin22°+sin288）+…+(sin244°+sin246）+sin245o =1+1++1+ +22 15/15 专题07 锐角三角函数的概念与求值 （题型突破·举一反三） 题型01 三角函数的定义识别 题型02 由两边求三个三角函数值 题型03 由三角函数值反求边长 题型04 同角关系及其变形 题型05 互余关系 ▌题型01 三角函数的定义识别 1．定义的前提：锐角三角函数只在直角三角形中定义，研究对象是锐角。若题目给出的三角形不是直角三角形，必须先作高（或其他辅助线）构造出直角三角形，才能使用定义；不能在斜三角形中直接套用比值。 2．三个函数的边角对应：在中，，记的对边为a（即BC）、邻边为b（即AC）、斜边为c（即AB） 则（的对边：斜边）；（的邻边：斜边）；（的对边：邻边）。 口诀：正弦对斜、余弦邻斜、正切对邻。 3．找边的三步法：①先认角：看清求的是哪一个锐角；②再找斜边：直角所对的边，永远是三角形中最长的那条；③最后分对、邻：这个角“对面”的那条边是对边，角的两边中除去斜边后剩下的那条是邻边。 4．三角函数的取值范围：，，。 5．三个易错点：①把邻边与对边弄反；②三角形三边同时扩大（或缩小）时，三个三角函数值都不变，因为它们是比值；③同一个锐角无论放在哪个直角三角形中，三角函数值都相同，这是“等角代换”的依据。 【典例1】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：；正弦：；余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 【变式1-2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． ▌题型02 由两边求三个三角函数值 1．两种基本类型：①已知两条直角边；②已知一条直角边和斜边。两类题的处理方式完全一样：先补出第三边，再按定义写比值。 2．三步通法 第一步：定直角、定斜边（斜边是直角所对的最长边）； 第二步：用勾股定理求出第三边； 第三步：按“对、邻、斜”代入三个定义，并把结果化为最简分数或最简根式。 3．常用勾股数组 3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；7，24，25；9，40，41熟记这些数组可以在考场上省去开方，也便于自检结果是否为“好数”。 4．结果的形式要求：含根号的结果必须分母有理化。 【典例2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【变式2-2】（2026·四川成都·二模）已知桌面上平放着一个矩形木框，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框，其示意图如图所示，若矩形的面积是平行四边形的面积的3倍，则的值为______． 【答案】 【详解】解：设矩形的边，，平行四边形 边 上的高为 h， ∵ 矩形 的面积是平行四边形的面积的 3 倍， ∴，即， ∵ 木框边长不变 ∴ 如图：过点 F 作 于点 G，则， 在中， ∴． ∵ 四边形 是平行四边形 ， ∴， ∴． 【变式2-3】（26-27九年级上·上海·阶段检测）在中，，于D．若，则的正切值为___________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ， ∴，即， ∴． ▌题型03 由三角函数值反求边长 1．本质：三角函数值是“边与边的比”。已知一个函数值，就等于已知了两条边的比；再配合题目给出的一条边的实际长度，就能把三条边全部确定。 2．设份数k法：①把已知的函数值写成最简比，如，则设的对边为3k、斜边为5k；②用勾股定理求出第三条边；③由题目给出的那条边的实际长度求出k；④回代求出其余各边。 3．可直接使用的三边比：直接打代入三边比进行求值。 4．方程思想：用定义列方程，代入求值。 【典例3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示： 在中，，，则设， 由勾股定理可得， 则， 故选：A． 【变式3-1】（2026·安徽亳州·一模）如图，中，，，点D是的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，若，则______． 【答案】 【详解】解：∵点D是斜边的中点， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴在中， ． 【变式3-2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴，整理可得，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴在中，． 【变式3-3】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为（分别在边上）． (1)若四边形为正方形，则___________． (2)当的长为___________时，与相似． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∴． 设，则，， ∵， ∴，即，解得． ∴． （2）在中，，，， ∴， ∴． 分两种情况讨论： 情况一：如图，，即 ∵为公共角， ∴． 由折叠性质可知，因此，即为边上的高． 在中，，即， 解得； 情况二：如图，，即， 由相似性质得， 由折叠性质可知，所以， 又，因此， ∴． 同理，由相似性质得， 由折叠性质可知，所以， 又，因此， ∴， ∴ ∴D为中点， ∴； 综上，的长为或5． ▌题型04 同角关系及其变形 1．基本关系：对任意锐角：，且。 2．“知一求二”：利用平方关系：（锐角取正号），再用商的关系求； 3．常用其他变形：；；； 【典例4】（25-26九年级上·四川巴中·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为____． 【答案】 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴，即 故答案为：． 【变式4-2】（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解；(2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 在中，根据勾股定理，， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴，即，解得． ∴的半径为． 【变式4-3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1；(2)1；(3)见详解；(4) 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． ▌题型05 互余关系 1．互余关系：若，则，，。 2．三种常用变形：，；；。 【典例5】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川内江·期中）下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③正确； ∵ ，且为锐角，，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 【变式5-2】（26-27九年级下·全国·单元测试）【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ①；②；③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：，且， ； （2）， ， ； （3） ． 【变式5-3】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1；(2) 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 锐角三角函数的概念与求值 （题型突破·举一反三） 题型01 三角函数的定义识别 题型02 由两边求三个三角函数值 题型03 由三角函数值反求边长 题型04 同角关系及其变形 题型05 互余关系 ▌题型01 三角函数的定义识别 1．定义的前提：锐角三角函数只在直角三角形中定义，研究对象是锐角。若题目给出的三角形不是直角三角形，必须先作高（或其他辅助线）构造出直角三角形，才能使用定义；不能在斜三角形中直接套用比值。 2．三个函数的边角对应：在中，，记的对边为a（即BC）、邻边为b（即AC）、斜边为c（即AB） 则（的对边：斜边）；（的邻边：斜边）；（的对边：邻边）。 口诀：正弦对斜、余弦邻斜、正切对邻。 3．找边的三步法：①先认角：看清求的是哪一个锐角；②再找斜边：直角所对的边，永远是三角形中最长的那条；③最后分对、邻：这个角“对面”的那条边是对边，角的两边中除去斜边后剩下的那条是邻边。 4．三角函数的取值范围：，，。 5．三个易错点：①把邻边与对边弄反；②三角形三边同时扩大（或缩小）时，三个三角函数值都不变，因为它们是比值；③同一个锐角无论放在哪个直角三角形中，三角函数值都相同，这是“等角代换”的依据。 【典例1】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 由两边求三个三角函数值 1．两种基本类型：①已知两条直角边；②已知一条直角边和斜边。两类题的处理方式完全一样：先补出第三边，再按定义写比值。 2．三步通法 第一步：定直角、定斜边（斜边是直角所对的最长边）； 第二步：用勾股定理求出第三边； 第三步：按“对、邻、斜”代入三个定义，并把结果化为最简分数或最简根式。 3．常用勾股数组 3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；7，24，25；9，40，41熟记这些数组可以在考场上省去开方，也便于自检结果是否为“好数”。 4．结果的形式要求：含根号的结果必须分母有理化。 【典例2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·四川成都·二模）已知桌面上平放着一个矩形木框，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框，其示意图如图所示，若矩形的面积是平行四边形的面积的3倍，则的值为______． 【变式2-3】（26-27九年级上·上海·阶段检测）在中，，于D．若，则的正切值为___________． ▌题型03 由三角函数值反求边长 1．本质：三角函数值是“边与边的比”。已知一个函数值，就等于已知了两条边的比；再配合题目给出的一条边的实际长度，就能把三条边全部确定。 2．设份数k法：①把已知的函数值写成最简比，如，则设的对边为3k、斜边为5k；②用勾股定理求出第三条边；③由题目给出的那条边的实际长度求出k；④回代求出其余各边。 3．可直接使用的三边比：直接打代入三边比进行求值。 4．方程思想：用定义列方程，代入求值。 【典例3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·安徽亳州·一模）如图，中，，，点D是的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，若，则______． 【变式3-2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3-3】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为（分别在边上）． (1)若四边形为正方形，则___________． (2)当的长为___________时，与相似． ▌题型04 同角关系及其变形 1．基本关系：对任意锐角：，且。 2．“知一求二”：利用平方关系：（锐角取正号），再用商的关系求； 3．常用其他变形：；；； 【典例4】（25-26九年级上·四川巴中·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为____． 【变式4-2】（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式4-3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． ▌题型05 互余关系 1．互余关系：若，则，，。 2．三种常用变形：，；；。 【典例5】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【变式5-1】（25-26九年级上·四川内江·期中）下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（26-27九年级下·全国·单元测试）【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ①；②；③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【变式5-3】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $