课外拓展提高 32.1 第3课时 特殊角的三角函数值-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

在Rt△EFC中，EF=√CF2-CE=3, FE FE 3 tan∠FBD=BEBC+CE-0 ◆一题多解法 (2)如图②，过点F作FE⊥ BD,垂足为E. BF为AD边上的中线， ,.F是AD的中点 图G FE⊥BD,AC⊥BD, .FE∥AC,∴.FE是△ACD的中位线， ∴FE=AC=3,CE=2CD=2 1 FEFE 在Rt△BFE中，tan∠FBD=BE=BC+CE 10 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.B3.D4.A 5.C【解析】令∠A=45°，∠C= 30°，如图，过点B作BH⊥AC, 垂足为H. 在Rt△BHC中， ∠C=30°，.BC=2BH. 在Rt△BHA中，sinA=sin45二-2 .'.AB=/2 BH. BC_2BH=. 'thi A=thi 45"-ABBH 6.A【解析】，点O到△ABC三边的距离相等， ∴.BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-2（∠OBC +∠OCB)=180°-2×(180°-∠BOC)=180°-2× (180°-120)=60°，∴.tanA=tan60°=√3. 7.18.55° 号 10.100【解析】由等高线可得，A,B H 两地的实际高度差为550一500= 50(m).依题意作图，得∠B=30°， AH=50m,∠AHB=90°，.AB= AH 1 sin B =50÷2=100(m). 11.6+2 4 【解析】sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° -E×B+2×1_6+2 =22+2X2=4. 12.π【解析】如图，连接OD,BD ,tan∠ACD=√3， ∠ACD=60 ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠ADB=90°， .∠BAD=∠BCD=30°， ∠B0D=2∠BCD=60,AD AB c0s30°= 2 AD=35,.AB=6,∴.OB=3, :BD的长为60xX3=元 180 18限：0原式-号×号-5+号 1 Γ2 -2 ②原武-1+4×号×号-× 23 =1+√6-1 =√6. (3)原式=3× 3 -21x +4x 2 =√5-√5+2 =2. 14.解：：∠A=60°，.tanA=√3 tanA,cosB为一元二次方程2.x2-3m.x十3=0的 两个实数根，tanA·cosB=之·cosB=3 -2 ∠B为锐角，∠B=30°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形. ◆一题多解法 ∠A=60°，tanA=√3. 把x=3代入方程2x2-3m.x+3=0,得2× (5)2-3√5m十3=0，解得m=√3. 把m=√3代人方程2x2-3m.x十3=0， 得2x2-35x+3=0, 解得x1=3,x=2 a8-9 ∠B为锐角，∴.∠B=0°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形. 15.解：(1)1 (2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° 下册详解详析 33Λ =(sin1°+sin289)+(sin2°+sin88)+…+sin45 =1+1+…+1+2 1 =44+2 16.解：(1)：∠B=45°，∠C=75, ∴.∠A=180°-∠B-∠C=60°. b ”sin Asin B-sinC: :6 b “sin60°-sin45b=26. AB AC (2)”sin∠ACB-sinB 10=14 53 sin Bsin B=3 ∠B=60. 14 tan B=CD_ BD-3..BD-3 3 CD. 由勾股定理，得AC2=CD2+AD, 196=CD+(10- 3CD), CD=8√3（负值已舍去）， ∴.景观桥CD的长度为8√3m. 32.2解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 1.A【解析】如图，过点A作AM⊥BC,垂足为M. ∠C=42°，∠BAC=88°， .∠B=50. 在Ri△ABM中，sinB=AM AB· ∴.AM=6sin50° 2.D【解析】在Rt△CED中， sinD=5=5,∴设EC=4x,则CD=5x,■ .ED=√(5.x)2-(4x)=3.x. ,四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,即AE十ED= CD,.2+3x=5x,解得x=1, .EC=4, ∴由勾股定理可得AC=√AE+EC=√2+4= 25. 3.5【解析】如图，过点C作CD⊥ AB于点D. 在Rt△ACD中，∠A=30°， AC=2√3， ∴.CD=AC·sin30°=√3， AD=AC·cos30°=3. 134 九年级数学RJ版 在Rt△BCD中，tanB, 小品-gm-2 ∴.AB=AD+BD=3+2=5. 4.2【解析】如图，过点A作AD⊥ BC,垂足为D 设AC=x,则AB=√2x. D √2 在Rt△ACD中，AD=AC·sinC= ,CD= AC·cosC=2 在R1△ABD中，AB=2,AD= 2x, BD=AB-AD6 x, :c-D+cD-9+号 x=6+2, ∴x=2,即AC=2. 【解析】分两种情况讨论： ①设∠A=a,∠B=B,过点C作AB的 D 垂线交AB于点D,如图①所示. mA6- 图① .DC>AD,∴∠A>45°， .不存在2a十3=90°. ②设∠A=B,∠ABC=a,过点B作BE⊥AC交AC 的延长线于点E,过点C作CF⊥AB于点F,如图②所 示 :△ABC是“特征三角形”，.2a十B= B 90°.又：∠A+∠ABE=90°， ∴∠ABE=2∠ABC, E ∴.BC平分∠ABE,.CF=CE. mA-得E-台 图② 设AF=3.x,则CF=CE=4x,.AC=5x,.AE= 9x,.BE=12x. 在Rt△ABE中，AE2+BE=AB2,即81x2+144x2= 625,解得x=号（负值已合去）∴AC=25 5 3 25 综上所述，线段AC的长为 AC 6.解：1)tanB=BC心设AC=3x,则BC=4x, AC2+BC2=AB2, ∴.(3x)2+(4x)2=5,解得x=1(负值已舍去)， ∴AC=3,BC=4. BD=1,∴.CD=3, .AD=/CD+AC=32」目第3课时特殊角的三角 1.若0°<0<90°，且 sin 0-2 +(cos0-3)2 2 =0,则tan0的值等于 (B) 3 B.3 1 A.√3 C.2 D③ 2 2.下列计算错误的个数是 (B) ①sin60°-sin30°=sin30°；②sin45°+cos245 =1:③am60'=号：④an30°=030 1 c0s30° A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，以点O为圆心，任意长为 B 半径画弧，与射线OM交于点 A.再以点A为圆心，AO的长0 为半径画弧，两弧交于点B,画 第3题图 射线OB,则sinO的值为 (D) A B号 C.3 4.一半径为8的圆中，圆心角0为锐角，且sin0 ,则角0所对的弦长等于 (A) A.8 B.10C.8√2D.16 5.新定义题定义：在∠C=30°的△ABC中， 我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫作 BC ∠A的“邻弦”，记作hiA,即hiA=AB thi45°的值为 (C) A号 B.1 C.√2D.√3 6.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相 等.若∠BOC=120°，则tanA的值为(A) 2 A.√3 D.2 第6题图 第9题图 函数值（建议用时：45分钟) 7.计算：3-2|+2sin60°-2027°=1 8.已知锐角a满足√2cos(a一10°)=1，则锐角 a的度数为55° 9.如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透 镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的 光线相交于点P,点F为焦点.若∠1= 160°，∠2=25°，则∠3的正弦值为 2 2 10.跨地理学科如图所示的是一小山的等高 线示意图，小明同学计划利用这个等高线 示意图计算AB的距离，他从A处看B处 的视线与水平线的夹角为30°，则AB= 100m. 520m 550m 500m B 第10题图 第12题图 11.定义一种运算：sin(a十B)=sin acos B十 cos asin B,sin(a-β)=sin acosβ- cos asin3.例如：当a=60°，3=45°时， sm(60-45)-9×号-号×竖 2 2 2 √6-√2 6+√2 .sin75的值为 4 4 12.如图，AB是⊙O的直径，⊙O上的点C,D 在直径AB的两侧，连接AC,BC,AD, CD.若AD=3√3，tan∠ACD=√5，则BD 的长为π， 13.计算： (1)sin45°cos45°-tan60°÷cos30°. 解)原式-号×号-8+g}=一} 2 44444 下册课外拓展提高 91 (2)tan45+4cos30°sin45°- 3tan 60 解：a原武-1+4x×号-×3 =1+√6-1 =6. (3)3tan30°-2tan45°cos30°+4cos60°. 解：(3)原武=3x停-2X1X+4X =3-5+2 =2. 14.一题多解法在△ABC中，已知∠A=60°， ∠B为锐角，且tanA,cosB为关于x的一 元二次方程2x2一3mx十3=0的两个实数 根.判断△ABC的形状. ::∠A=60°，∴tanA=√3. :tanA,cosB为一元二次方程2x2一3mxr+3=0的 两个实数根，tamA·csB=3 2 =号 :∠B为锐角，∴∠B=30°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. 15.观察下列等式： ①sim30°- 2,c0s60°=1 ②sin45°- 2c0s45°= 2 ③sin60°= 2,c0s30°= 2 (1)根据上述规律，计算sin2a+sin(90° a)的值为 1 92 九年级数学RJ版 (2)计算：sin21°+sin22°+sin23°+… +sin89°. 解：(2)sin21°+sin22°+sin3°+…+sin289° =(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+… +sin245 =1中1++1+号 =44十2 16.几何直观已知锐角三角形ABC中，∠A, ∠B,∠C的对边分别为a,b,c,边角总满 足关系式：sinA-sin B sinC C (1)如图①，若a=6,∠B=45°，∠C=75°， 求b的值. (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水 池ABC中建一座小型景观桥CD(如图 ②).若CD⊥AB,AC=14m,AB=10m, sin∠ACB=5,3 ,求景观桥CD的长度. 图① 图② 解：(1)∠B=45°，∠C=75, .∠A=180°-∠B-∠C=60°. 6 b sin A-sin B-sin C sin 60=sin 45= 26. AB AC (2) 'sin∠ACB sin B' 1014 5=,simB三·∠B=60 14 六amB=D-3,dBD= CD 3 CD. 由勾股定理，得AC2=CD2+AD2, 16=m+(10-m). 、1 .CD=83(负值已舍去)， .景观桥CD的长度为83m.