专题03 锐角三角函数综合题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专题03 锐角三角函数综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构造直角三角形求值 题型二、同角关系式化简求值 题型三、互余关系求值 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法解法—明晰核心解法，助力能力迁移 锐角三角函数综合问题是初中几何与代数结合的核心重难点，所有题型均围绕直角三角形的边角关系、三角函数定义、特殊角三角函数值、同角与互角关系、新定义转化五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是使用三角函数定义必须基于直角三角形，非直角三角形需先构造直角三角形再求解；二是所有三角函数值必须符合取值范围（锐角范围内0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0），所有角度需满足三角形内角和为180°，所有结论最终均需合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构造直角三角形求值 典例1如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 题型模版 一、 题型特征 题干给出一个全新的三角函数相关定义（如新运算规则、新三角比、新几何量），要求利用该定义求值、证明或解决实际问题。核心特征是“陌生定义+熟悉背景”，解题关键是读懂新定义的本质，将其转化为已学的三角函数知识求解。 二、 解题方法 拆定义：逐字阅读新定义，明确新符号、新运算的含义，提取定义中的关键条件（如涉及的边、角、运算规则）。 找关联：将新定义与已学的sin、cos、tan、勾股定理等知识建立联系，看能否用已有知识解释或转化新定义。 套模型：在直角三角形中，按照新定义的规则代入已知边角，列式计算或推导结论，必要时构造直角三角形辅助求解。 验特例：用特殊角（30°、45°、60°）或特殊三角形验证新定义的合理性，快速判断推导方向是否正确。 三、 易错提醒 定义理解错：没读懂新定义的运算规则或适用范围，导致列式错误，阅读时要圈出关键词反复确认。 转化生硬：强行套用新定义却不结合三角函数本质，解题时要回归直角三角形的边角关系。 忽略限制：新定义可能有适用范围（如仅适用于锐角、仅适用于直角三角形），使用时需确认条件是否满足。 四、 解题底线 所有推导必须严格遵循新定义的规则，不得随意修改或扩大定义范围。 最终结果需符合三角函数的基本性质（如正弦、余弦值在0到1之间），验证合理性。 变式1-1如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ． 变式1-2如图，在中，，，，求的面积． 变式1-3如图，在中， ，，，求、的长． 类型二、同角关系式化简求值 典例2 如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 题型模版 一、 题型特征 题干给出同一个锐角的三角函数关系式，要求化简代数式或求未知三角函数值。核心特征是“同角三角函数值相互关联”，解题关键是熟练运用平方关系和商数关系，通过代换、变形完成化简或求值。 二、 解题方法 记同角公式： 平方关系：sin²A + cos²A = 1 商数关系：tanA = sinA / cosA 看所求结构：分析代数式中三角函数的次数和组合形式，确定用哪个公式变形。 代换化简： 已知sin或cos求另一个，用平方关系，注意锐角范围内取正值。 已知tan求sin、cos的组合式，可将分子分母同除cos，统一转化为tan代入计算。 整体代入：对于高次式，可先用平方关系降次，再代入已知值计算。 三、 易错提醒 符号搞错：平方关系开方时有正负两个值，锐角三角函数值均为正，但非锐角需注意符号。 公式用混：把平方关系记成sin²A - cos²A = 1，或商数关系记反分子分母。 化简不彻底：代数式还能继续约分或合并，却提前代入数值，导致计算量增大且易出错。 四、 解题底线 同角公式仅适用于同一个角，不同角不能直接套用。 化简结果必须是最简形式，求值结果需符合三角函数取值范围验证合理性。 变式2-1阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 变式2-2第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则_____． 变式2-3如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 类型三、互余关系求值 典例3 若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 题型模版 一、 题型特征 题干给出两个角互余的条件（和为90°），要求求三角函数值、代数式值或角度。核心特征是“互余角三角函数值互换”，解题关键是利用互余角的三角函数关系直接转化，无需计算具体角度。 二、 解题方法 记互余公式：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1。 找互余角：从题干中找出互余的两个角，明确已知的是哪个角的三角函数值，要求的是哪个角的三角函数值。 直接转化：根据互余公式，将已知角的三角函数值转化为所求角的对应值，如已知sinA=3/5且A+B=90°，则cosB=3/5。 结合其他条件：若题干还有边长、其他角度等条件，可结合勾股定理、三角函数定义进一步求解。 三、 易错提醒 公式记反：把sinA=cosB记成sinA=sinB，要牢记“正弦变余弦，余弦变正弦”。 忽略前提：未确认两个角确实互余就直接用公式，使用前必须先验证两角和为90°。 正切关系忘：互余角的正切值互为倒数，tanA·tanB=1，这个关系容易被忽略。 四、 解题底线 互余公式仅适用于两个锐角互余的情况，钝角不适用。 转化后的三角函数值必须符合取值范围（正弦、余弦在0到1之间，正切大于0），验证合理性。 变式3-1已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 变式3-2观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 变式3-3【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 典例4在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 题型模版 由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型模板 一、 题型特征 题干给出三角形内角的三角函数等式，要求判断三角形的形状。核心特征是“三角函数值→特殊角→形状判定”，解题关键是熟记特殊角的三角函数值，由等式求出内角度数，再结合三角形分类标准得出结论。 二、 解题方法 记特殊值：熟记30°、45°、60°的三角函数值：sin30°=1/2，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2；cos30°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=1/2；tan30°=√3/3，tan45°=1，tan60°=√3。 求角度：根据已知三角函数等式，反推出对应的内角度数，注意锐角范围内三角函数值与角度一一对应。 判形状：根据求出的三个内角判断——有一个角为90°是直角三角形，有两个角相等是等腰三角形，三个角都是60°是等边三角形，三个角都小于90°是锐角三角形。 验内角和：求出所有角后，验证三角之和是否为180°，排除计算错误。 三、 易错提醒 特殊值记混：sin和cos的值容易搞反，tan值记错，建议考前默写一遍强化记忆。 漏判多解：某些等式可能对应多个角（如sinA=1/2时A=30°或150°），需结合三角形内角和排除不合理情况。 形状判断不全：只判断出直角或等腰，忽略等边、等腰直角等特殊形状，要穷尽所有分类标准。 四、 解题底线 三角函数值必须与特殊角准确对应，不能凭感觉猜测角度。 最终形状判定必须基于三个内角的度数，且满足内角和为180°，结论需符合三角形分类定义。 变式4-1在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 变式4-2如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 典例5 定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为，则称该四边形为“倍四边形”． (1)①如图1，在中，对角线与交于点，点为中点．若四边形为倍四边形，则的值为__________； ②如图2，在倍四边形中，若对角线被平分，则__________；（用含的代数式表示） (2)如图3，四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，且满足，，求的值； (3)如图4，已知定点，，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，连接，，，构成四边形．若平分，，四边形为2倍四边形，求的值． 题型模版 一、 题型特征 题干给出一个全新的三角函数相关定义（如新运算规则、新三角比、新几何量），要求利用该定义求值、证明或解决实际问题。核心特征是“陌生定义+熟悉背景”，解题关键是读懂新定义的本质，将其转化为已学的三角函数知识求解。 二、 解题方法 拆定义：逐字阅读新定义，明确新符号、新运算的含义，提取定义中的关键条件（如涉及的边、角、运算规则）。 找关联：将新定义与已学的sin、cos、tan、勾股定理等知识建立联系，看能否用已有知识解释或转化新定义。 套模型：在直角三角形中，按照新定义的规则代入已知边角，列式计算或推导结论，必要时构造直角三角形辅助求解。 验特例：用特殊角（30°、45°、60°）或特殊三角形验证新定义的合理性，快速判断推导方向是否正确。 三、 易错提醒 定义理解错：没读懂新定义的运算规则或适用范围，导致列式错误，阅读时要圈出关键词反复确认。 转化生硬：强行套用新定义却不结合三角函数本质，解题时要回归直角三角形的边角关系。 忽略限制：新定义可能有适用范围（如仅适用于锐角、仅适用于直角三角形），使用时需确认条件是否满足。 四、 解题底线 所有推导必须严格遵循新定义的规则，不得随意修改或扩大定义范围。 最终结果需符合三角函数的基本性质（如正弦、余弦值在0到1之间），验证合理性。 变式5-1 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知，如图，在直角中，，，如果点在边上，且是准直角三角形，那么_____． 变式5-2 一次函数的图像是一条直线，就像这条直线的‘倾斜密码’——它等于直线和轴正方向的夹角的正切值，简单记： （直线与轴正方向的夹角）． 如图1，我们已经知道夹角是，所以． 如图2，若我们先知道直线的表达式是；由可知． 现在，看到最右侧图像，图像中、、等等这种线段都平行于轴，、、等等这种线段都平行于轴，利用三角函数和斜率的关系，如果你尝试去求、、的长度，就能得到一个等式，即_______________________ 变式5-3 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________（填序号）． (2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，则的长___________ (3)【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（    ）． A． B．3 C． D． 2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：_____． 3．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 4．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． 5．如图，在中，为边上一点，交的延长线于点，点在直线上，且，连接交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 6．计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 7．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 8．和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 10．如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，则① ②③ 用以上的公式和定理解决问题： （1）在锐角△ABC中，设的对边分别为a，b，c，且，则∠A= ； （2）如图3，在△DEF中，，的对边分别是3和8，则 ，DE2= ． （3）如图4，在△ABC中，已知，△、△、△分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△、△、△的面积分别为，求证：．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 锐角三角函数综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构造直角三角形求值 题型二、同角关系式化简求值 题型三、互余关系求值 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法解法—明晰核心解法，助力能力迁移 锐角三角函数综合问题是初中几何与代数结合的核心重难点，所有题型均围绕直角三角形的边角关系、三角函数定义、特殊角三角函数值、同角与互角关系、新定义转化五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是使用三角函数定义必须基于直角三角形，非直角三角形需先构造直角三角形再求解；二是所有三角函数值必须符合取值范围（锐角范围内0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0），所有角度需满足三角形内角和为180°，所有结论最终均需合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构造直角三角形求值 典例1如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 【答案】 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型模版 一、 题型特征 题干给出一个全新的三角函数相关定义（如新运算规则、新三角比、新几何量），要求利用该定义求值、证明或解决实际问题。核心特征是“陌生定义+熟悉背景”，解题关键是读懂新定义的本质，将其转化为已学的三角函数知识求解。 二、 解题方法 拆定义：逐字阅读新定义，明确新符号、新运算的含义，提取定义中的关键条件（如涉及的边、角、运算规则）。 找关联：将新定义与已学的sin、cos、tan、勾股定理等知识建立联系，看能否用已有知识解释或转化新定义。 套模型：在直角三角形中，按照新定义的规则代入已知边角，列式计算或推导结论，必要时构造直角三角形辅助求解。 验特例：用特殊角（30°、45°、60°）或特殊三角形验证新定义的合理性，快速判断推导方向是否正确。 三、 易错提醒 定义理解错：没读懂新定义的运算规则或适用范围，导致列式错误，阅读时要圈出关键词反复确认。 转化生硬：强行套用新定义却不结合三角函数本质，解题时要回归直角三角形的边角关系。 忽略限制：新定义可能有适用范围（如仅适用于锐角、仅适用于直角三角形），使用时需确认条件是否满足。 四、 解题底线 所有推导必须严格遵循新定义的规则，不得随意修改或扩大定义范围。 最终结果需符合三角函数的基本性质（如正弦、余弦值在0到1之间），验证合理性。 变式1-1如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ． 【答案】 【分析】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值． 【详解】解：如图：作于，作于，连接， 四边形是菱形， ， 是中点 ， ，且 ，， 折叠， ，， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， 点是中点， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键． 变式1-2如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点A作ADCB于点D，利用，，勾股定理，结合三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，过点A作ADCB于点D， 因为，AB=6， 所以， 所以=； 因为，AD=3， 所以DC=3AD=9， 所以的面积为：=． 【点睛】本题考考查了化斜为直解直角三角形，勾股定理，熟练掌握解直角的基本方法，灵活选择三角函数是解题的关键． 变式1-3如图，在中， ，，，求、的长． 【答案】 【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：过作，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 类型二、同角关系式化简求值 典例2 如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 题型模版 一、 题型特征 题干给出同一个锐角的三角函数关系式，要求化简代数式或求未知三角函数值。核心特征是“同角三角函数值相互关联”，解题关键是熟练运用平方关系和商数关系，通过代换、变形完成化简或求值。 二、 解题方法 记同角公式： 平方关系：sin²A + cos²A = 1 商数关系：tanA = sinA / cosA 看所求结构：分析代数式中三角函数的次数和组合形式，确定用哪个公式变形。 代换化简： 已知sin或cos求另一个，用平方关系，注意锐角范围内取正值。 已知tan求sin、cos的组合式，可将分子分母同除cos，统一转化为tan代入计算。 整体代入：对于高次式，可先用平方关系降次，再代入已知值计算。 三、 易错提醒 符号搞错：平方关系开方时有正负两个值，锐角三角函数值均为正，但非锐角需注意符号。 公式用混：把平方关系记成sin²A - cos²A = 1，或商数关系记反分子分母。 化简不彻底：代数式还能继续约分或合并，却提前代入数值，导致计算量增大且易出错。 四、 解题底线 同角公式仅适用于同一个角，不同角不能直接套用。 化简结果必须是最简形式，求值结果需符合三角函数取值范围验证合理性。 变式2-1阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【分析】由题干给出的例子归纳得到，代入已知的值，结合即可求出结果． 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 变式2-2第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证是关键． 设，，则，，，，得出，即，求出和即可解答． 【详解】 解：设，，则，，，， ∵在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∴； 故答案为：． 变式2-3如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 类型三、互余关系求值 典例3 若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 题型模版 一、 题型特征 题干给出两个角互余的条件（和为90°），要求求三角函数值、代数式值或角度。核心特征是“互余角三角函数值互换”，解题关键是利用互余角的三角函数关系直接转化，无需计算具体角度。 二、 解题方法 记互余公式：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1。 找互余角：从题干中找出互余的两个角，明确已知的是哪个角的三角函数值，要求的是哪个角的三角函数值。 直接转化：根据互余公式，将已知角的三角函数值转化为所求角的对应值，如已知sinA=3/5且A+B=90°，则cosB=3/5。 结合其他条件：若题干还有边长、其他角度等条件，可结合勾股定理、三角函数定义进一步求解。 三、 易错提醒 公式记反：把sinA=cosB记成sinA=sinB，要牢记“正弦变余弦，余弦变正弦”。 忽略前提：未确认两个角确实互余就直接用公式，使用前必须先验证两角和为90°。 正切关系忘：互余角的正切值互为倒数，tanA·tanB=1，这个关系容易被忽略。 四、 解题底线 互余公式仅适用于两个锐角互余的情况，钝角不适用。 转化后的三角函数值必须符合取值范围（正弦、余弦在0到1之间，正切大于0），验证合理性。 变式3-1已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解： ，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 变式3-2观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 变式3-3【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）由得，再代入，即可求解； （3）将原式化简为，根据，即可求解． 【详解】（1）解： ，且， ； （2） ， ， ； （3） ． 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 典例4在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， ∵，且是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 题型模版 由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型模板 一、 题型特征 题干给出三角形内角的三角函数等式，要求判断三角形的形状。核心特征是“三角函数值→特殊角→形状判定”，解题关键是熟记特殊角的三角函数值，由等式求出内角度数，再结合三角形分类标准得出结论。 二、 解题方法 记特殊值：熟记30°、45°、60°的三角函数值：sin30°=1/2，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2；cos30°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=1/2；tan30°=√3/3，tan45°=1，tan60°=√3。 求角度：根据已知三角函数等式，反推出对应的内角度数，注意锐角范围内三角函数值与角度一一对应。 判形状：根据求出的三个内角判断——有一个角为90°是直角三角形，有两个角相等是等腰三角形，三个角都是60°是等边三角形，三个角都小于90°是锐角三角形。 验内角和：求出所有角后，验证三角之和是否为180°，排除计算错误。 三、 易错提醒 特殊值记混：sin和cos的值容易搞反，tan值记错，建议考前默写一遍强化记忆。 漏判多解：某些等式可能对应多个角（如sinA=1/2时A=30°或150°），需结合三角形内角和排除不合理情况。 形状判断不全：只判断出直角或等腰，忽略等边、等腰直角等特殊形状，要穷尽所有分类标准。 四、 解题底线 三角函数值必须与特殊角准确对应，不能凭感觉猜测角度。 最终形状判定必须基于三个内角的度数，且满足内角和为180°，结论需符合三角形分类定义。 变式4-1在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 变式4-2如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 【答案】A 【分析】根据题意可得，在正六边形网格找与相似的三角形，即找三边的比值为的直角三角形，分析图形可得共三种情况，即可解答． 【详解】解：∵的边长分别为1，，2，即，，， ∴，即 ∴为直角三角形， ∵ ∴，． 在正六边形网格中作出三边比为的直角三角形，如图所示： 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； ∴k可取，，． 综上所述，嘉嘉正确，佳佳不正确． 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 典例5 定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为，则称该四边形为“倍四边形”． (1)①如图1，在中，对角线与交于点，点为中点．若四边形为倍四边形，则的值为__________； ②如图2，在倍四边形中，若对角线被平分，则__________；（用含的代数式表示） (2)如图3，四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，且满足，，求的值； (3)如图4，已知定点，，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，连接，，，构成四边形．若平分，，四边形为2倍四边形，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，根据点为中点，得出，结合倍四边形的定义，即可求解； ②过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而根据三角形的面积比，即可求解； （2）过点作交于点，证明得出，设，进而表示出的长，即可求解； （3）设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为；分两种情况讨论，当时，设，证明得出，设，则，证明得出，进而求得的值，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解；当时，同理可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为倍四边形， ∴； ②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵四边形为倍四边形，对角线被平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，过点作交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为倍四边形，其对角线平分对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为 ①当时，设，如图4， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 在中，， ∴； ②当时，设，如图4， 同①可得，， ∴， 同①可得， ∴， 设，则， ∴，， ∵，即， 解得：， ∴,， 在中，， ∴， 综上所述，的值为或． 题型模版 一、 题型特征 题干给出一个全新的三角函数相关定义（如新运算规则、新三角比、新几何量），要求利用该定义求值、证明或解决实际问题。核心特征是“陌生定义+熟悉背景”，解题关键是读懂新定义的本质，将其转化为已学的三角函数知识求解。 二、 解题方法 拆定义：逐字阅读新定义，明确新符号、新运算的含义，提取定义中的关键条件（如涉及的边、角、运算规则）。 找关联：将新定义与已学的sin、cos、tan、勾股定理等知识建立联系，看能否用已有知识解释或转化新定义。 套模型：在直角三角形中，按照新定义的规则代入已知边角，列式计算或推导结论，必要时构造直角三角形辅助求解。 验特例：用特殊角（30°、45°、60°）或特殊三角形验证新定义的合理性，快速判断推导方向是否正确。 三、 易错提醒 定义理解错：没读懂新定义的运算规则或适用范围，导致列式错误，阅读时要圈出关键词反复确认。 转化生硬：强行套用新定义却不结合三角函数本质，解题时要回归直角三角形的边角关系。 忽略限制：新定义可能有适用范围（如仅适用于锐角、仅适用于直角三角形），使用时需确认条件是否满足。 四、 解题底线 所有推导必须严格遵循新定义的规则，不得随意修改或扩大定义范围。 最终结果需符合三角函数的基本性质（如正弦、余弦值在0到1之间），验证合理性。 变式5-1 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知，如图，在直角中，，，如果点在边上，且是准直角三角形，那么_____． 【答案】或 【分析】本题是一道结合 “新定义” 的直角三角形综合题，核心考查勾股定理、全等三角形、角平分线性质及锐角三角函数的应用，解题关键是紧扣 “准直角三角形” 的定义，对两种可能的情况进行分类讨论，避免漏解．情况①中，通过作垂线构造全等三角形；情况②中，利用 “等角的正切值相等”，直接建立方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 是准直角三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作交于，如图1所示： ， 又， ， 即为的平分线， ，于， ， 设， 在和中， ， ， ， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； ②当时，如图2所示： ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ． 综上所述：或． 故答案为：或． 变式5-2 一次函数的图像是一条直线，就像这条直线的‘倾斜密码’——它等于直线和轴正方向的夹角的正切值，简单记： （直线与轴正方向的夹角）． 如图1，我们已经知道夹角是，所以． 如图2，若我们先知道直线的表达式是；由可知． 现在，看到最右侧图像，图像中、、等等这种线段都平行于轴，、、等等这种线段都平行于轴，利用三角函数和斜率的关系，如果你尝试去求、、的长度，就能得到一个等式，即_______________________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象的性质和三角函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，过M点作轴交于点N，延长交于点H，由直线的值和三角函数的关系推出，，，，，，，，再利用等量代换即可得解． 【详解】解：过M点作轴交于点N，延长交于点H， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∵图像中、、等等这种线段都平行于轴，、、等等这种线段都平行于轴， ∴，，，，四边形为矩形， ∴，，，，，， ∵根据已知斜率的定义可知， ∴，， ∴ ∵，，，， ∴，，，， ∴，，， ∴， 故答案为： 变式5-3 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________（填序号）． (2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，则的长___________ (3)【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)①；② (3)或或； 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据勾股定理求解即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：（1）观察图知，图①、图③中不存在对角互补，图②、图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②、图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①；理由如下： 延长至点E，使，连接，如下图， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过A作于F，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ， ∴（负值已舍）， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时， 如图，连接，过N作于H， ∴， 在中，， 在中，， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴， 过点N作交于G， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 当时， 连接，过N作于H，如图， ∵， ∴， ，即 解得：， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 综上，或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正切的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 设，由正切的定义可得；再根据全等三角形的性质可得、,再证，依据相似三角形的性质列方程求解可得，再运用线段的和差及勾股定理可得、、、；再证明、，依据相似三角形的性质列方程求解可得，最后根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：如图：设， ∵， ∴， ∵， ∴，, ∴, ∴, ∴，即,解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，, ∴， ∴,即，解得：，解得：， ∵的面积为7， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∴． 故选：D． 2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：_____． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状． 【详解】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0， 所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0， 即cosA＝，tanB＝1， 所以∠A＝45°，∠B＝45°， 所以 所以△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提． 3．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 【答案】或 【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形，，，是的中点， ，，，， 由旋转的性质可得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 点在边上 ， 在中，， 在中，， ， 点落在上， 是的中点， 在中，， 在中，， 由旋转性质可知， ， 是的中点， ，即， 点在上， ， ， ， ， ， 即， 解得，． 【点睛】解题核心是利用旋转性质与全等三角形转化线段，结合等腰三角形“三线合一”和三角函数建立方程，将几何关系转化为代数问题求解． 4．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 5．如图，在中，为边上一点，交的延长线于点，点在直线上，且，连接交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，得出，进而得证； （2）过点作于点，求得，得出，再求得，进而得证； （3）由题意，求得；再得出，，，从而，；令由，解得，最后求得结果． 【详解】（1）证明：， ． 又， ， ． 得证． （2）过点作于点． 由题意得 ． 又， ， ． ， ． 得证． （3）， ． 由题（2）知， ． ， ． 设， 由， 得， 解得（舍去负值）． ． 【点睛】本题主要考查了三角形的全等的判定和性质，相似三角形的判定，一元二次方程的解法和锐角三角函数的求值，是一道综合题型；牢固掌握相关基础知识是解题关键． 6．计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 【答案】 （1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高 ∴ 又∵ ∴ ∴，即 又∵ ∴ （2） 【分析】（1）先求证，得到，再根据，即可求证； （2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）在，， 由锐角三角函数关系可得：，即 由（1）得， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键． 8．和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． (3)16 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【详解】（1）解： ． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】 （1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 10．如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，则① ②③ 用以上的公式和定理解决问题： （1）在锐角△ABC中，设的对边分别为a，b，c，且，则∠A= ； （2）如图3，在△DEF中，，的对边分别是3和8，则 ，DE2= ． （3）如图4，在△ABC中，已知，△、△、△分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△、△、△的面积分别为，求证：．    【答案】（1）60°； （2），49； （3）证明：， ， 两边同时乘以得，， ，，是等边三角形， ，，，， ， ． 【分析】（1）根据正弦定理，将已知等式变形，可得，从而得到∠A的度数； （2）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论； （3）利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠A=60°； （2）在中，，、的对边分别是3和8， ，， ， ， 故答案为：，49； （3）略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $